Fisica

Anna Gallina 1° anno CTF 2023-2024

Fisica

PARTICELLA CON ACCELLERAZIONE COSTANTE

In questo caso l’accellerazione media relativa a qualunque intervallo di tempo è uguale all’accellerazione

istantanea in ogni istante di tempo. Di conseguenza, la velocità cresce o decresce con la stessa rapidità durante il

moto. Si ha che

con t1=0.

Quindi risulta che la velocità è uguale a

e permette di prevedere la velocità ad ogni istante t se la velocità iniziale e l’accellerazione costante sono note.

Quando l’accellerazione è costante, allora la velocità media per qualunque intervallo di tempo è data dalla media

fra la velocità finale e la velocità iniziale.

È possibile esprimere la posizione x in funzione del tempo per una particella in moto con accellerazione costante

attraverso la formula:

Quando la velocità è uguale a 0, la velocità rimane costante e la posizione varia linearmente con il tempo e quindi

tutto viene ricondotto al modello della velocità costante.

CORPI IN CADUTA LIBERA

Se venissero fatti cadere due corpi con diverse caratteristiche fisiche (diverso peso e diversa forma) in un sistema

in cui la resistenza dell’aria è assolutamente trascurabile, i due corpi cadrebbero con la stessa accellerazione.

Questo moto è la caduta libera. Un oggetto cade a terra per effetto della forza di gravità e l’accellerazione con cui

cade è uguale per tutti gli oggetti e vale 9,81 m/s , con il vettore g diretto verso il basso, al centro della terra.

2

Un oggetto in caduta libera indica un oggetto che si muove soltanto grazie all’azione dell’accellerazione di gravità,

indipendentemente dal suo moto iniziale.

Visto che il valore di g è costante lungo la superficie della Terra, allora si può assumere che per un oggetto in caduta

libera il modello della particella con accellerazione costante. L’unica modifica da fare è che il moto al posto di essere

in orizzontale si sta svolgendo in verticale e quindi si utilizzerà la y al posto della x e che l’accellerazione sarà verso

il basso e quindi a=g=-9,81 m/ s (- sta ad inidicare che l’accellerazione del corpo è verso il basso).

2

Un corpo in caduta libera guadagna 9,81m/s di velocità ad ogni metro in cui cadono.

MOTO IN DUE DIMENSIONI

Per descrivere il moto in due dimensioni di una particella è necessario porlo in un piano con le ordinate xy. Le

equazioni per la posizione e la velocità sono le stesse tranne che per la loro natura vettoriale.

Si tratta di tracciare un vettore r che parte dall’origine del piano cartesiano.

Nell’istante t0, la particella si trova nel punto 0; mentre nell’istante t1 si trova

nella posizione A. Quindi, nell’intervallo di tempo Δt (t iniziale – t finale), il

vettore posizione passa da r iniziale a r finale e vale

Da qui è possibile dedurre che la formula della velocità media non cambia,

perchè dipende dallo spostamento e non dal percorso che la particella fa per

andare dall’origine al punto A. Come nel caso del moto unidimensionale, se

una particella inizia il suo moto in un certo punto e ritorna allo stesso punto attraverso un percorso arbitrario, la

sua velocità media è nulla poichè il suo spostamento è nullo.

Anche le formule della velocità istantanea, dell’accellerazione media e dell’accellerazione istantanea sono

uguali a quelle del moto unidimensionale.

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON ACCELERAZIONE COSTANTE

Il moto in due dimensioni può essere rappresentato come due moti indipendenti in ciascuna delle due direzioni

perpendicolari associate con l’asse delle x e l’asse y, ossia quello che succede sull’asse x non ha effetti su quello

che accade nell’asse y e viceversa. Il moto di una particella può essere descritto se il vettore posizione è noto in

ogni istante di tempo (vettore sopra).

Quindi, la velocità della particella può essere ottenuta tramite:

e, essendo l’accellerazione costante sia in x che in y, allora si ha che:

affermando che la velocità di una particella in un certo istante t è uguale alla somma vettoriale fra la sua velocità

iniziale e della velocità addizionale at, acquistata nel tempo grazie alla sua accellerazione costante.

Si ottiene, inoltre, che

Implicando che il vettore posizione finale è la somma vettoriale fra il vettore posizione iniziale, lo spostamento vt

dovuto alla velocità iniziale e uno spostamento che vale ½ at dovuto all’accellerazione costante della particella.

Di conseguenza, il moto in due dimensioni con accellerazione costante equivale a due moti indipendenti in x e y con

accellerazioni costanti ax e ay.

MOTO DEL PROIETTILE

Il moto del proiettile, o di qualsiasi altro corpo che venga lanciato in aria ha una traiettoria specifica, ossia la

parabola. Se consideriamo che l’accellerazione di gravità è costante per tutto il moto ed è rivolta verso il basso e

la resistenza dell’aria è trascurabile, è possibile costruire un sistema in cui la y verticale sia sempre positiva e verso

l’alto e l’accellerazione in x è 0, in cui t0 equivale al momento in cui l’oggetto lascia l’origine (viene lanciato) con

una velocità v. Il vettore velocità forma un angolo θ con l’asse orizzontale e quindi è possibile individuare un

triangolo rettangolo per cui valgono le regole geometriche di seno e coseno.

Sostituendo queste espressioni con ax=0 e ay= - g, si ottengono le componenti della velocità e le coordinate della

posizione del proiettile:

Bisogna tenere a mente che la componente y del vettore cambia con il tempo, mentre quella x orizzontale non

cambia mai.

GITTATA E ALTEZZA MASSIMA DI UN PROIETTILE

La gittata di un proiettile R è la distanza orizzontale coperta dal proiettile all’istante in cui tocca il suolo, mentre

l’altezza massima di un proiettile h si trova nel punto x, a metà della gittata.

La formula per trovare la gittata è:

e ha un valore massimo quando l’angolo che si forma è di 45°.

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Se una particella si muove all’interno di una traiettoria circolare con velocità costante, si tratta di moto circolare

uniforme. Anche se la velocità è costante, essa ha comunque un’accellerazione perchè dipende dalla variazione

del vettore velocità, in particolare dal fatto che l’accellerazione può essere prodotta da una variazione della

direzione della velocità. Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria ed è perpendicolare al raggio del

percorso circolare, per questo il vettore velocità cambia costantemente.

L’accellerazione, invece, è perpendicolare alla traiettoria e punta verso il centro della circonferenza. Si calcola

tramite la formula in cui l’accelerazione è inversamente proporzionale al raggio:

Questo tipo di accelerazione è detto accelerazione centripeta.

Del moto circolare uniforme si calcola anche il periodo di rivoluzione T, ossia il tempo necessario per fare un giro

completo. Con il valore del periodo è possibile calcolare anche la frequenza, ossia la quantità di rivoluzioni che la

particella compie in un secondo. Entrambe si calcolano tramite le formule:

È possibile calcolare l’angolo θ secondo la formula:

in cui S è il segmento della traiettoria circolare e r il raggio della traiettoria.

La velocità angolare ω si calcola secondo la formula:

Da questa formula si ricava che l’accellerazione centripeta si può ricavare anche:

e il periodo di rivoluzione:

LEGGI DEL MOTO

Prima legge di Newton

La prima legge di Newton viene anche detta principio di inerzia e definisce i riferimenti inerziali. Afferma che se

un corpo non interagisce con altri corpi, è possibile identificare un sistema di riferimento (inerziale) in cui il corpo

ha un’accellerazione nulla. Non esistono interazioni dell’oggetto osservato con altri oggetti oppure non ha

accellerazione nella sua componente orizzontale; infatti un qualsiasi sistema di riferimento che si muove con

velocità costante relativa a un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento inerziale. Quando, il

sistema di riferimento accellera, esso non sarà più inerziale perchè sta accellerando rispetto al sistema di

riferimento inerziale della superficie terrestre.

In assenza di forze esterne, quando visto da un sistema di riferimento inerziale, un oggetto in quiete rimarrà in quiete

e un oggetto in moto perservererà nello stato di moto con velocità costante. Cioè, quando su un corpo non agisce

nessuna forza, la sua accelerazione è zero. La tendenza di un corpo a resistere ai cambiamenti della sua velocità è

l’inerzia. La velocità di un oggetto non varia se su di esso non agisce nessuna forza, ma rimane nel suo stato di

moto. Ma se una forza agisce, allora ci sarà una modifica nel moto, misurata dalla sua accelerazione.

La massa

È la proprietà di un oggetto che specifica la resistenza a cambiare la propria velocità: maggiore è la massa di un

oggetto, minore è l’accelerazione dell’oggetto sottoposto a una determinata forza. La massa è una proprietà

intrinseca del corpo ed è indipendente da quello che lo circonda e da ciò che viene usato per misurarla ed è la stessa

ovunque, indipendentemente dal sistema in cui si trovi.

Seconda legge di Newton

Se osservato da un sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla

forza risultante agente su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa:

dove F è una somma vettoriale che racchiude in sè tutte le forze che agiscono sull’oggetto. Nel SI, l’unità di misura

della forza è il Newton N.

L’accelerazione è costante quando anche la forza che agisce su una particella è costante.

La forza gravitazionale e il peso

La forza esercitata dalla Terra su un oggetto è la forza gravitazionale, forza diretta verso il centro della Terra, la cui

formula è:

Questa forza viene detta anche forza – peso. Esso dipende dalla posizione geografica in cui il corpo si trova poichè

g decresce all’aumentare della distanza dal centro della Terra.

Terza legge di Newton

Esprime la nozione che le forze sono sempre interazioni fra oggetti, infatti, se due corpi interagiscono la forza F

esercitata dal corpo 1 al corpo 2 è uguale in modulo e direzione ma di verso opposto alla forza F esercitata dal corpo

2 sul corpo 1. = −

1,2 2,1

Ciò equivale ad affermare che le forze si presentano sempre in coppia, e non esiste una singola forza isolata.

La prima viene detta forza di azione, mentre la seconda forza di reazione.

La forza che impedisce ad un oggetto non in moto di non cadere se appoggiato a una superficie è la forza normale,

che ha una direzione sempre perpendicolare alla superficie. Può assumere qualsiasi valore, fino al punto di rottura

della superficie di appoggio. È opposta alla forza gravitazionale che “spinge” l’oggetto verso la superficie, e quindi

la risultante delle forze che si esercitano sull’oggetto è nulla.

Moto sul piano inclinato

La forza normale è perpendicolare al piano, mentre la forza gravitazionale mg si trova in direzione verticale:

Da cui si ricavano le seguenti formule:

APPLICAZIONE DELLE LEGGI DI NEWTON

FORZE DI ATTRITO

Quando il corpo è in movimento su una superficie è presente una resistenza dovuta all’interazione del corpo con

quello che lo circonda. Questa resistenza è la forza d’attrito, che ci permette di camminare, di correre e per far

muovere i veicoli. È la forza che contrasta la forza F (per esempio, di trazione) e impedisce a un corpo di muoversi,

agendo in senso opposto alla forza F attrito statico f . Se la forza F aumenta, aumenta anche la forza di attrito,

→ s

mentre se F diminuisce, diminuisce anche l’attrito; la forza di attrito è massima quando l’oggetto sta per muoversi.

Quando l’oggetto è in moto, la forza di attrito è minore rispetto al massimo della f e diventa forza di attrito dinamico

s

F . Quando F e F si equivalgono, l’accelerazione è nulla e l’oggetto va verso destra con una velocità costante.

d d

Questa forza proviene principalmente dalla rugosità delle superfici.

La forza di attrito statico dipende dalla costante adimensionale μ, il coefficiente di attrito statico e n, ossia il

modulo della forza normale:

Mentre la forza di attrito dinamico è

dove μ è il coefficiente di attrito dinamico, indipendente dalla velocità relativa delle superfici.

I valori dei due coefficienti dipendono dalla natura delle superfici, ma in generale quello dinamico è inferiore

rispetto a quello statico.

Il verso della forza d’attrito che agisce su un oggetto è opposto a quello del moto o a quello del moto imminente

dell’oggetto relativamente alla superficie con la quale è in contatto.

Coefficienti d’attrito

Tensione

Una fune in tensione può trasmettere la forza ad un oggetto lungo la direzione della sua lunghezza. La tensione della

fune è il modulo della forza esercitata sull’oggetto mentre il verso è l’allontamento dall’oggetto.

Moto circolare uniforme

Per calcolare la forza che viene esercitata in moto circolare uniforme si usa la formula:

LA FORZA GRAVITAZIONALE

È la forza di attrazione reciproca fra due corpi qualsiasi dell’universo. Per calcolarla, Newton formulò la legge di

gravitazione universale, affermando che ogni particella dell’universo attrae ogni altra particella con una forza che

è direttamente proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro

distanza:

con G uguale a 6,674*10 N*m /kg , ossia la costante di gravitazione universale.

-11 2 2

SISTEMI E AMBIENTI

Un sistema è un modello ristretto in cui si studia una peculiare caratteristica dell’Universo, ignorando ciò che sta

al di fuori del sistema. Esso può essere un singolo oggetto o una particella, un insieme di oggetti o di particelle, una

regione dello spazio, un variare di dimensioni e forma.

Indipendentemente dal tipo di sistema, è possibile identificare un contorno del sistema, ossia una superficie

immaginaria che divide l’Universo in sistema e ambiente circostante al sistema. La forza che viene applicata al

sistema è l’influenza su di esso da parte dell’ambiente.

LAVORO

Il lavoro W fatto su un sistema da una causa che esercita una forza costante sul sistema è il prodotto del modulo

della forza F, del modulo dello spostamento del punto di applicazione della forza e del coseno dell’angolo compreso

fra ill vettore forza e il vettore spostamento:

ha come unità di misura il joule.

Il lavoro rappresenta un trasferimento di energia, in quanto l’energia è legata alla capacità di compiere un lavoro:

se W è positivo, allora l’energia viene trasferita al sistema, mentre se W è negativo, l’energia viene trasferita dal

sistema.

Una forza non produce lavoro su un corpo se essa non produce uno spostamento. Il lavoro è nullo anche se è

compiuto da una forza su un oggetto in moto, se essa è applicata in maniera perpendicolare allo spostamento nel

suo punto di applicazione (cos 90°=0).

Il segno del lavoro dipende anche dalla direzione della forza applicata: il lavoro è positivo se si trova lungo lo stesso

verso dello spostamento; mentre se è nel verso opposto allora sarà negativo il lavoro. Se una forza applicata agisce

nella stessa direzione e nello stesso verso, allora l’angolo è 0, il cos=1 e la formula del lavoro diventa:

questa formula rappresenta un prodotto scalare.

Se una particella compie uno spostamento molto piccolo, la componente della forza F sull’asse x può essere

considerata approssimativamente come costante lungo quell’intervallo e si può esprimere come:

oppure come somma di tutti gli intervalli che compongono lo spostamento:

Se la dimensione degli spostamenti tende a zero, allora il numero di termini della sommatoria cresce all’infinito,

mentre il valore della sommatoria tende a un valore finito uguale all’area delimitata dalla curva e dall’asse:

Se sul sistema agisce più di una forza ed esso può essere inteso come una particella, il lavoro totale svolto sul

sistema è il lavoro compiuto dalla forza risultante.

Mentre nel caso generale in cui è presente una forza risultante in cui modulo e direzione variano, si usa il prodotto

scalare. Non è possibile utilizzarlo quando il sistema non è possibile assimilarlo a una particella, in quanto forze

diverse che agiscono sul sistema potrebbero muoversi lungo degli spostamenti differenti. In questo caso bisogna

calcolare singolarmente ogni forza e poi sommarle in maniera algebrica.

Lavoro svolto da una molla

Se la molla è allungata o compressa rispetto alla sua posizione di equilibrio, essa eserciterà una forza sul blocco

pari a (legge di Hooke):

con x che è la posizione del blocco rispetto alla sua posizione di equilibrio (0) e k è la costante elastica propria di

ogni molla che esprime la rigidità della molla. Il segno sta a indicare che la forza è diretta sempre verso il verso

opposto a quello dello spostamento rispetto alla posizione di equilibrio. Visto che la forza della molla è sempre

diretta verso la posizione di equilibrio, viene detta anche forza di richiamo.

Questo tipo di forza, detta forza elastica, esercita un lavoro:

Se sul blocco agisce un agente esterno, è possibile calcolare il lavoro considerando che la forza applicata è uguale