Fenomeni ondulatori - Esercitazioni 1

La velocità del suono e le onde sonore

Chiamiamo velocità del suono perché è quella che compare nell'equazione di d'Alembert come velocità di propagazione della perturbazione. Le onde sonore sono onde compressive, cioè il suono viene propagato tramite compressioni di fluido perché la densità varia. Ora moltiplichiamo per. Anche le variazioni di pressione si propagano con l'equazione di d'Alembert. Applichiamo ora l'operatore di divergenza all'equazione di Eulero linearizzata: Deriviamo rispetto al tempo. Quindi anche soddisfa un'equazione di d'Alembert, cioè si propaga come se fosse un'onda. Questo risultato non è strano poiché una variazione di pressione è legata a espansioni o compressioni del fluido (date da ). 1.2 Gas perfetto Dato un volume di gas all'equilibrio, con tutti i punti alla stessa pressione e in equilibrio termico si può scrivere un'equazione di stato: Ora dobbiamo esprimere la.il calore si distribuirebbe uniformemente nel gas e non avremmo una situazione di equilibrio termico locale. Inoltre, supponiamo che il gas sia composto da particelle ideali, cioè che non interagiscono tra di loro e che occupano uno spazio trascurabile rispetto al volume totale del gas. In queste ipotesi, possiamo scrivere l'equazione di stato dei gas perfetti in forma locale come:

PV = nRT

dove P è la pressione, V è il volume, n è il numero di moli del gas, R è la costante dei gas ideali e T è la temperatura assoluta. Dividendo entrambi i membri per il volume dV, otteniamo:

P = (n/V)RT

Dato che la massa contenuta nel volume dV è dm = (n/V)m, dove m è la massa di una singola molecola, possiamo riscrivere l'equazione di stato come:

P = (dm/m)RT

Infine, facendo l'ipotesi che il gas compia solo trasformazioni adiabatiche, eliminiamo la dipendenza dalla temperatura T. Questo significa che il gas non scambia calore con l'ambiente circostante. Riassumendo, l'equazione di stato dei gas perfetti in forma locale, considerando un volume dV e facendo l'ipotesi di equilibrio termico locale e trasformazioni adiabatiche, è:

P = (dm/m)RT

il flusso di calore tenderebbe a smorzare l'onda. La trasformazione adiabatica di un gas perfetto è descritta da γ, con detto indice adiabatico. Per un volume dV si scrive: dQ = -P dV. Dividiamo per dV: dQ/dV = -P Equazione adiabatica in forma locale: dQ/dV = -P Con γ ci riferiamo alla situazione prima che l'onda arrivasse, quindi: γ = Cp/Cv Equazione costitutiva: P = K ργ Calcoliamo: dP/dV = -K γ ργ-1 dρ/dV Dall'equazione di stato: P = K ργ 1.3 Onde sonore in 1D Consideriamo ora onde piane che si propagano in una direzione ben precisa. Muovendoci sul piano parallelo a i valori di pressione, densità e volume non cambiano. Quindi: dP = 0 dρ = 0 dV = 0 Quindi è diretta lungo x, cioè lungo la direzione di propagazione dell'onda. Ciò equivale a dire che le onde sonore sono longitudinali. Soluzione particolare: onde armoniche Supponiamo che le tre grandezze abbiano uguale pulsazione e vettore d'onda. Possiamo dedurre una regola generale: - per le derivate: d/dx = i k - le variabili vengono sostituite con le corrispondenti ampiezze complesse: P = P0 ei(kx - ωt) ρ = ρ0 ei(kx - ωt) V = V0 ei(kx - ωt) Quindi: dP/dx = i k P0 ei(kx - ωt) dρ/dx = i k ρ0 ei(kx - ωt) dV/dx = i k V0 ei(kx - ωt)passati da un sistema di equazioni alle derivate parziali a un sistema lineare omogeneo. Ora se il determinante della matrice associata è diverso da zero abbiamo solo la soluzione banale (quindi nessuna onda). Perciò imponiamo det = 0, ma in questo modo troviamo infinite soluzioni perché le equazioni non sono indipendenti tra loro. Relazione di dispersione delle onde sonore Dividiamo per e sostituiamo troviamo quindi che le fluttuazioni di densità e quelle di velocità sono direttamente proporzionali tra loro. 1.4 Onde stazionarie Le onde stazionarie si formano quando il dominio spaziale in cui l'onda si può propagare è limitato. Onde su una corda vibrante Consideriamo una corda con lunghezza finita L. Condizioni al bordo: Condizioni iniziali: con e note Tra le soluzioni dell'equazione di d'Alembert abbiamo un'onda armonica che si propaga in avanti con e una che si propaga all'indietro con Essendo l'equazione did'Alembert lineare, la somma di queste due soluzioni è soluzione. SupponiamoImponiamo la prima condizione al bordo: Sin e cos sono linearmente indipendenti, quindi affinché la combinazione lineare sia nulla occorre che: Eleviamo al quadrato e sommiamo membro a membro: Primo caso: Quindi: Secondo caso: In entrambi i casi si ottiene la stessa espressione, e la dipendenza dallo spazio e dal tempo appaionofattorizzate, ciò caratterizza le onde stazionarie. Imponendo la seconda condizione al bordo: (per hp avevamo imposto k>0, quindin>0, ed escludiamo n=0 perchéaltrimenti non abbiamo nessunaonda) Il valore di k è quantizzato. Quindi Per costModi propri di oscillazione: La soluzione più generale è data da tanti modi di oscillazione differenti. Per le pulsazioni si ha: , e per n = 1 si ha il modo fondamentale, gli altrin sono detti armoniche superiore. In un suono tutte le frequenze coinvolte sono multipli interi di quella fondamentale. Essendo

L'equazione di d'Alembert lineare, si può scrivere: Chiamiamo Consideriamo, questo è un insieme di funzioni ortogonali tra loro.

Definiamo il prodotto scalare tra funzioni come: (siamo autorizzati a chiamare questo prodotto scalare perché soddisfa le proprietà del prodotto scalare).

Mostriamo che sono ortogonali:

Per n m:

Per n = m:

Quindi: