Fenomeni ondulatori - esercitazioni 3

Rifrazione e riflessione

Consideriamo una superficie piana che separa due materiali con costante dielettrica differente. Immaginiamo un'onda incidente, con un vettore d'onda ben definito, che proviene da molto lontano (così da poterla approssimare a un'onda piana) e incide sulla superficie di separazione dei due dielettrici. A questo punto si visualizzano due onde: una trasmessa e una riflessa. Studiamo la situazione nel caso più generale.

Caso generale

Ricaviamo le equazioni delle due onde a partire dalle equazioni di Maxwell. Partiamo dalla legge di Faraday: Integriamo sulla superficie S che supponiamo fissa e come la superficie di un rettangolo che mettiamo a cavallo della superficie di separazione. Dal teorema del valor medio sappiamo che l'integrale di una funzione su un dominio è pari al prodotto del valor medio della funzione per l'ampiezza del dominio, quindi: Facciamo il Facciamo il i valori medi diventano valori puntuali. Quindi, punto

Per punto, sulla superficie di separazione vale che:

Consideriamo ora la legge di Gauss in presenza di dielettrici: integrando su una superficie S chiusa si ha:

Scegliamo come superficie S una superficie cilindrica a cavallo della superficie di separazione dei dielettrici e supponiamo che non ci siano cariche libere:

Facciamo il

Facciamo il

Supponiamo di aver a che fare con dielettrici lineari:

Analogamente, con le altre equazioni di Maxwell otteniamo:

Hp:

Facciamo il

Facciamo il

Abbiamo trovato quindi che tutte le componenti sono continue tranne la componente perpendicolare del campo elettrico che soddisfa la .

Ora scegliamo un sistema di riferimento in modo che il vettore d'onda dell'onda incidente giaccia nel piano xy, che definiamo piano di incidenza (contiene il vettore d'onda dell'onda incidente e la normale alla superficie di separazione). Scriviamo quindi:

Scriviamo i campi elettrici delle varie onde:

Consideriamo la e scriviamola esplicitamente, scegliendo come componente

quella lungo x (avremmo potuto scegliere anche quella lungo z). (per y = 0 perché siamo sulla superficie di separazione) Capiamo che il secondo membro non può dipendere da z: Di conseguenza, tutti e tre i vettori d'onda sono contenuti nel piano di incidenza. Ora, considerando che la dipendenza da x e t è di tipo oscillatoria: Le oscillazioni devono essere uguali punto per punto (). Di conseguenza: Ragionando analogamente si trova Definiamo ora i seguenti angoli:

• Angolo di incidenza (l'angolo che forma con la normale alla superficie di separazione)
• Angolo di riflessione
• Angolo di trasmissione

Consideriamo le uguaglianze che riguardano l'onda incidente e l'onda riflessa: In generale vale la relazione di dispersione dove è legata all'indice di rifrazione: L'onda incidente e l'onda riflessa hanno lo stesso vettore d'onda, e quindi stessa lunghezza d'onda. Sostituendo in si ha: legge della riflessione La leggedella riflessione era stata osservata sperimentalmente, prima ancora che si scoprisse il comportamento particellare della luce (fotoni), anche dal punto di vista della meccanica classica. Consideriamo ora le altre due equazioni che vengono fuori da ePartiamo daOra ricaviamo delle relazioni sulle ampiezze delle tre onde. Sappiamo che per le onde elettromagnetiche piane i vettori k, E e B formano una terna destrorsa ortogonale. Consideriamo alcuni casi particolari. 3.2 Onde polarizzate nel piano di incidenza UtilizziamoVediamo se e ci danno informazioni aggiuntive (se così fosse il problema sarebbe sovradeterminato, e quindi non risolubile).ma in un'onda elettromagnetica Quindi imponendo la continuità delle componenti del campo magnetico non abbiamo ottenuto alcuna nuova informazione. Supponiamo ora di conoscere e cerchiamo eIl problema è ben posto poiché abbiamo un sistema lineari di due equazioni e due incognite:Definiamo Equazioni di FresnelFacciamo alcune

Considerazioni. Gli indici di rifrazione sono necessariamente maggiori di 1, quindi:

Inoltre:

Per cui i due denominatori nelle equazioni di Fresnel non si annullano mai e sono sempre maggiori di 0, per cui e rimangono finite.

Inoltre, quindi l'onda incidente e l'onda trasmessa sono sempre in fase tra loro.

Ciò non vale per l'onda riflessa, infatti essa è in fase con l'onda incidente se , in antifase se .

Si nota che per , quindi non c'è onde riflessa. Vediamo quando si verifica questa situazione.

Utilizziamo la legge di Snell e otteniamo:

Definiamo angolo di Brewstel l'angolo per cui:

Se:

Se:

Incidenza normale.

Consideriamo ora il caso particolare in cui:

L'onda riflessa è in fase con l'onda incidente se:

L'onda riflessa è in antifase con l'onda incidente se:

Se. Ciò ha senso solo se , altrimenti non c'è onda trasmessa.

Calcoliamo , quindi: