Fenomeni ondulatori - esercitazioni 2

Equazioni lineari a coefficienti non costanti

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni lineari a coefficienti non costanti, poiché . Notiamo che rispetto alle variabili x e t è costante, quindi possiamo cercare soluzioni armoniche solo nella dipendenza da x e t: Le ampiezze complesse quindi non sono costanti, ma sono modulate con l'altezza. Facciamo lo stesso con le altre grandezze perturbate: Sostituiamo ora nel sistema ricordando che: Ora abbiamo ottenuto un sistema di equazioni differenziali ordinarie che conviene risolvere tenendo tutto nell'incognita. Sostituiamo nella Abbiamo ottenuto un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti non costanti. Dobbiamo ora decidere quali siano i bordi del nostro dominio e fissare le condizioni ai bordi. 2.2 Onde di superficie Immaginiamo ora che il fluido sia talmente esteso che , cioè che il fluido sia infinitamente alto e infinitamente profondo. Imponiamo che per ( se così non fosse l'onda perturbativa avrebbe un'energia infinita).Quindi:Si può dimostrare che con queste condizioni al bordo la soluzione esiste ed è unica.Ci mettiamo in un caso particolare, quello delle onde di superficie. In generale, un'onda di superficie si sviluppa sulla superficie di separazione di due fluidi, come la superficie di contatto fra l'acqua del mare e l'atmosfera.Supponiamo quindi di avere due fluidi sovrapposti con densità diverse e costanti.gestire la discontinuità presente in z = 0. È possibile che questa discontinuità si rifletta in una discontinuità dell'incognita a z = 0?Se così fosse, considerando la non riusciremmo a calcolare la derivata di , e quindi in z = 0 non potremmo calcolareDal punto di vista fisico il concetto di discontinuità è sostituito da quello di variazione molto veloce della grandezza. Dove la densità varia velocemente la tangente è infinita, ma deve rimanere una quantità finita, quindi richiediamo che continua.Consideriamo la discontinuità nei due semispazi z > 0 e z < 0. continua in z = 0: continua in z = 0:> lambda della perturbazione di velocità).>

l'equazioneCome facciamo a maneggiare i termini e non definiti in z=0? Conviene passare dalle derivate agli integrali.Consideriamo quindi un intervallo contenente la discontinuità e chiamiamo l'ampiezza del semiintervallo.Integriamo suRiduciamo l'intervallo a un punto facendo ilRiduciamo l'intervallo a un punto facendo il La funzione integranda è discontinua ma non singolare, quindi fare il equivale a valutare l'integrale in un punto, e si ottiene quindi 0.Quindi : Relazione di dispersioneIn questo caso abbiamo trovato , mentre per le onde sonore e le onde elettromagnetiche si haCalcoliamo la velocità di faseQuesta non è costante, ma dipende daPoiché si tratta di onde dispersive.Di solito le onde spazialmente e temporalmente limitate formano un pacchetto d'onda.Un pacchetto d'onda è visto come la somma di onde piane con un vettore d'onda e una pulsazione propria (un po' come avviene nell'analisi di

Fourier). Nel caso di onde piane il pacchetto d'onda trasla senza mai deformarsi, subisce quindi una traslazione rigida. Per le onde dispersive, il pacchetto d'onda si disperde: infatti man mano che si propaga si allarga e diminuisce la sua ampiezza fino a scomparire. Ciò che avviene in particolare è che l'energia del pacchetto rimane costante, ma la densità di energia diminuisce fino ad andare a zero poiché l'energia appare distribuita su una regione molto vasta.

Un'altra caratteristica dei pacchetti d'onda è l'inviluppo, che si propaga invece con la velocità di gruppo:

Per le onde di superficie risulta dunque: