Esercizi svolti Finanza aziendale (Asset pricing)

H L

entrambi i portafogli a 0,9. Il Sig. Smith, per cogliere un profitto di arbitraggio privo di rischio, acquista per

1000 il portafoglio H e vende per 1000 il portafoglio L.

a. Se il modello fattoriale usato dal Sig. Smith fosse effettivamente valido, riuscirebbe a ottenere il profitto di

arbitraggio privo di rischio?

b. Supponete che in realtà valga un modello a 2 fattori (con rischio idiosincratico), quindi il rendimento dei

titoli dipenda, oltre che dal fattore considerato dal Sig. Smith (1° fattore), da un altro fattore (2° fattore). I

ß dei 2 portafogli rispetto a tale 2° fattore sono ß =1,2 e ß2 =0,8. Esprimete in termini fattoriali il

2H L

rendimento e quantificate il rischio (varianza) del portafoglio costruito dal Sig. Smith, tenuto conto che la

varianza del 1° fattore è 0,25 e la varianza del 2° fattore è 0,36.

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 c. Ipotizzate che sia possibile selezionare un 3° portafoglio ben diversificato M, i cui ß rispetto ai 2 fattori

sono ß1 =1,3 e ß2 =0,2, con E(R )=8,7%. È possibile creare, a partire da L e M, usando se necessario il

M M M

titolo privo di rischio, un portafoglio con peso 1 e con stessi ß di H? Se la risposta è affermativa, mostrate

come tale portafoglio può essere costruito. Ottenuto tale portafoglio, può essere ottenuto un profitto da

arbitraggio privo di rischio comprando o vendendo H e vendendo o comprando il nuovo portafoglio?

Nello svolgimento dei calcoli, trattate come numeri interi i rendimenti, che sono espressi nel testo in termini

di % (quindi 8% nei calcoli sarà 8, non 0,08)

10/2/11 - Opzione di abbandono (E). La società editoriale Plus sta considerando un progetto d’investimento

espansivo consistente nell’apertura di un certo numero di nuove testate di periodici. Il costo del progetto

d’investimento, da attuare subito, sarebbe 10000. Si è calcolato il flusso di cassa operativo netto generato dal

progetto nel 1° esercizio sulla base dei seguenti dati :

Tale flusso di cassa si incrementerebbe per 20 anni del 2,5% all’anno, poi il progetto non avrebbe alcun

valore. Per calcolare il VAN del progetto si tiene conto di un costo del capitale azionario (è un’impresa priva

di debito, quindi il WACC coincide con il costo del capitale azionario) pari al 9,3% Il management ritiene che

.

per giudicare della convenienza del progetto si debba tener conto anche della possibilità di uscita se nei

primi 2 esercizi non si ottenessero risultati soddisfacenti. Al termine del 2° esercizio, si stima che sarebbe

possibile cedere a un concorrente, ottenendo un introito netto di 8700, le nuove testate in questione. Per

calcolare il valore dell’opzione, assumete che il progetto paghi dividendi (i flussi dei primi 2 anni) a un

dividend yield certo del 4,7%. Per tener conto di questa opportunità, si stima che lo SQM del valore attuale

del progetto sia 0,3. Il tasso privo di rischio (in capitalizzazione continua) è 0,048. Ritenete che la Plus debba

intraprendere il progetto?

23/6/11 - Valutazione binomiale (E). Dovete determinare il valore di una call su un’azione il cui prezzo è

S=90, K=120, mancano 2 periodi del percorso binomiale (n=2) a scadenza della call e l’azione non pagherà

dividendi fino a scadenza. I parametri del percorso binomiale sono u=1,3, d=0,8 e r=1,05. Oltre a

determinare il prezzo oggi della call, fornite la composizione del portafoglio equivalente (ammontare di

azione e valore debito) oggi, e come gestirete il portafoglio equivalente (che operazioni di compravendita

effettuerete) al termine del 1° periodo, quando ne mancherà ancora 1 a scadenza, a seconda dell’evoluzione

del prezzo dell’azione.

8/9/11 - Modelli fattoriali (E). Siamo in un’economia in cui i rendimenti dei titoli azionari seguono un

processo fattoriale, ma la struttura della variabilità dei rendimenti è semplice. Vale infatti un modello

unifattoriale, in cui in ogni periodo i rendimenti di ogni titolo i sono descritti dalla relazione

, ma il fattore comune può in ogni periodo assumere solo 1 di 2 valori equiprobabili, così

pure, per ciascun titolo, il termine di errore può assumere solo 1 di 2 valori equiprobabili (quindi, i rendimenti

del fattore e dei termini di errore hanno una struttura binomiale simmetrica). Si prendano in considerazione 2

titoli A e B per cui , inoltre, il fattore comune F può assumere valore 0 o

0,3. Procedete a calcolare l’intera distribuzione di probabilità dei rendimenti di A e B. Un investitore che sia

costretto a investire tutta la sua ricchezza, pari a 50, alternativamente in A o B (quindi la sua ricchezza finale

sarà pari a [50*(1+r)]), la cui funzione di utilità della ricchezza sia U(W)=lnW e che intenda massimizzare l’utilità

attesa della sua ricchezza, preferirà investire in A o B ?

.

22/9/11 - Limiti ai prezzi delle opzioni (T) Esponga il candidato il contenuto delle 2 serie di restrizioni di

arbitraggio sul valore di call US:

a. La prima serie, riguardante il rapporto tra valore della call, prezzo dell’azione sottostante, K e dividendi. Il

-t

valore della call dev’essere compreso tra max(0, S-K, S-Kr -D) e il valore dall’azione. Se il valore della call

fosse <0, potrei acquistare la call ricevendo un ammontare positivo immediato e ciò porta ad una

situazione di arbitraggio non rischioso. Se il valore della call fosse inferiore a S-K, potrei acquistare la call

con C<S-K e rivenderla subito ottenendo un profitto positivo pari a S-K, che è maggiore del valore della

-t

call appena pagato. Se C< S-Kr -D posso costruire un posizione con rendimento positivo e senza rischio:

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  Dimostrazione: se fosse: K >K e C(K )>C(K ) allora potrei mettere in atto

2 1 2 1

una posizione di arbitraggio senza rischio:

b. La seconda serie, riguardante il rapporto tra valori di call identiche eccetto che per K. Date 2 call

identiche eccetto che per K deve valere

22/9/11 - Costi d’agenzia del debito (E). Al momento t=0, il CEO dell’impresa Erre, priva di debito, deve

decidere se porre in atto un progetto d’investimento, che può realizzare usando la sua liquidità. Si ipotizzi che

esista perfetta simmetria informativa tra manager e finanziatori (azionisti o, nella 2 parte della domanda,

a

creditori), ma anche incertezza sul valore dell’impresa e prospettive del progetto d’investimento in futuro. In

particolare in t=1 l’impresa potrà trovarsi alternativamente in 1 dei 2 seguenti stati equiprobabili:

• Se non è effettuato l’investimento:

• Se è effettuato l’investimento:

a. Assumendo che il management agisca nell’interesse degli azionisti, accetterà il progetto (nello

svolgimento dei calcoli, ipotizzate un tasso di attualizzazione nullo tra t=0 e t=1, quindi il valore a t=1 è

semplicemente la media dei valori a t=0)?

b. Ipotizzate la seguente variante: che l’impresa già a t=0 sia indebitata e a t=1 debba rimborsare i creditori

per un valore di 500 (il valore dell’attivo rimane lo stesso, cambia solo la composizione del passivo).

Nell’interesse degli azionisti, il management approverà il progetto in questa 2 situazione (continuando

a

con l’assunzione di tasso di attualizzazione nullo, il valore del debito a t=0 è semplicemente la media del

valore a t=1)?

c. Supponete che, in ogni caso, il management intenda procedere con l’investimento. Se in questa 2

a

situazione esistono covenants che determinano la necessità del consenso dei creditori per procedere con

il progetto d’investimento, quale sarà la decisione di questi ultimi: approveranno o no il progetto?

d. Discutete se le seguenti azioni saranno proposte dal management (quindi, valutate se sono convenienti

dal punto di vista del valore del capitale azionario) per superare un eventuale rifiuto dei creditori

all’approvazione del progetto e se queste proposte verranno da questi ultimi accettate, inducendoli ad

approvare l’investimento:

Un rimborso parziale del debito, o

• Rinegoziazione delle condizioni del debito, che porti alla determinazione di un esborso di 750 per il suo

• rimborso a t=1.

Durante il corso si è parlato del fatto che i vari strumenti di monitoring e bonding (tra cui, nel caso dei costi di

agenzia del debito, i covenants) hanno sia benefici che costi. L’esercizio che avete svolto ha qualcosa a che

fare con questo argomento?

2/11/11 PI - CAPM (T). Esponga il candidato l’elenco delle assunzioni a base del CAPM, sviluppando per

almeno 3 di esse i motivi della fragilità del modello in caso di loro violazione. È di evidenza immediata che le

imposte incidono sulle scelte degli investitori, differenziandone le scelte, ad es. un portafoglio può avere un

certo rendimento atteso al netto delle imposte per un fondo pensione ed un rendimento diverso per un

investitore individuale, dato che la tassazione è diversa per i 2 soggetti, quindi non si può parlare di

portafogli efficienti in assoluto, ma solo in relazione alla posizione dei singoli investitori. È anche evidente che

non esiste piena omogeneità di aspettative tra tutti gli operatori, anche se il rispetto di questa assunzione è

parzialmente salvato osservando che le grandi banche e organizzazioni d’investimento tenderanno tutte ad

usare la miglior informazione disponibile ed elaborarla con modelli interpretativi simili, giungendo a stime

non difformi del vettore dei rendimenti attesi e della matrice varianze-covarianze (che è tutto ciò su cui

occorre vi sia omogeneità di aspettative per la validità del CAPM). Infine, l’assunzione per cui tutti gli

investimenti sono negoziabili sul mercato è insidiosa per la validità del CAPM, perché ogni individuo non può

negoziare parte importante della sua ricchezza, cioè il capitale umano; ciò fa sì che a seconda della

covarianza dei titoli con il valore del proprio capitale umano, ciascun individuo possa volere investire in un

portafoglio di mercato corretto, ad es. un ingegnere automobilistico potrà volere un portafoglio con tutte le

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azioni esistenti meno quelle del settore automobilistico, in quanto già abbastanza investito in quel settore e

sottoposto al relativo rischio.

2/11/11 PI - Utilità della ricchezza (E). Considerate le seguenti funzioni di utilità della ricchezza:

1. U(W)=2W+W 3

2. U(W) =-1/2W+e W

3. U(W)=3W 1/3

A quale categoria tra avversione al rischio, propensione al rischio o neutralità al rischio appartiene ciascuna di

esse? Inoltre, data una scommessa, a seguito della quale la ricchezza di un investitore avrà la seguente

distribuzione di probabilità l’investitore, caratterizzato da funzione di