Appunti completi di Finanza Aziendale (Asset Pricing e finanziamento delle imprese)

Finanza aziendale 2

Sezione 1.1: Modelli rischio-rendimento e analisi media-varianza

L'utilità attesa della ricchezza e l'attitudine degli investitori verso il rischio

L'utilità della ricchezza U(W) permette di attribuire una e una sola misura di utilità a ciascun livello di ricchezza.

Assunzioni:

• Il comportamento degli individui è dettato dall'obiettivo di massimizzare l'utilità derivante dalla loro ricchezza.
• L'utilità marginale della ricchezza è sempre positiva.
• Assioma di non-sazietà: In condizioni di incertezza (non conoscenza del futuro) gli individui:
• Identificano ex ante gli scenari che potranno manifestarsi in futuro.
• Associano a ciascuno di essi un grado di probabilità.

Il criterio di puro e semplice non è sufficiente: a ogni scelta non è associata una singola misura di utilità, ma diverse misure con rispettive probabilità. L'investitore sceglierà allora l'alternativa che massimizza la media delle utilità di fine periodo, cioè l'utilità attesa.

Ricchezza attesa: valore atteso della variabile casuale ricchezza. Valore atteso dell'utilità associata alla ricchezza di ciascuno scenario.

In condizioni di incertezza, l'individuo massimizzerà l'utilità attesa (non la ricchezza attesa).

Per calcolare l'utilità attesa della ricchezza E[U(W)], dobbiamo conoscere la funzione di utilità del soggetto. Ipotizziamo che sia la seguente:

Calcoliamo ora l'utilità attesa della ricchezza E[U(W)]:

In termini di ricchezza attesa E(W): Delta > Gamma

In termini di utilità attesa della ricchezza E[U(W)]: Gamma > Delta

Funzione di utilità: U'(W)>0

• Strettamente crescente (non-sazietà):
• Concava: gli incrementi di utilità al crescere della ricchezza sono decrescenti: U''(W)<0.

Utilità della ricchezza attesa U[E(W)]: In entrambi i casi: U[E(W)] > E[U(W)].

Investitori con funzioni di utilità concave preferiranno sempre un investimento con un livello di ricchezza certo a un investimento con lo stesso livello «incerto» (dato dalla ricchezza attesa di due scenari). Gli investitori con funzioni di utilità concave si dicono avversi al rischio.

Forme di funzioni di utilità

Definizioni:

• Rendimento di un investimento:
• Rendimento atteso (o medio) in situazione di incertezza:
• Varianza (σ scarto quadratico medio (σ):

Esempio: In termini di rendimento (ricchezza iniziale = 1000)

Gli indicatori di dispersione (rischio) dei due investimenti sono coerenti con la precedente scelta dell'investitore avverso al rischio: Gamma, pur avendo rendimento atteso inferiore, è preferito da tale investitore.

Esercizio: (Utilità attesa)

Supponete che il Signor Verdi abbia una funzione di utilità logaritmica così definita U(W)= ln(W). Egli possiede una ricchezza iniziale di 1000 euro. Supponete che il Signor Verdi abbia la possibilità di scommettere la sua ricchezza giocando ai dadi. In particolare, la scommessa prevede la possibilità di lanciare (una volta) un dado a sei facce, numerate da 1 a 6. Nel caso in cui escano numeri dispari il signor Verdi vincerà 50 Euro, nel caso in cui il dado si fermi sul 2 o sul 4 egli vincerà 400 euro, ed infine, nel caso in cui il dado si fermi sul numero 6 egli perderà 900 euro.

• a) Qual è il valore atteso della scommessa? [1008,3]
• b) Qual è l'utilità attesa proveniente dalla scommessa per il signor Verdi?
• c) Effettuerà il signor Verdi la scommessa?
• d) Siete in grado di dire cosa farebbe il signor Verdi se fosse un soggetto indifferente al rischio?

Dato che l'utilità attesa della ricchezza è minore dell'utilità della ricchezza attesa, allora si ha avversione al rischio.

La distribuzione normale

Variabile casuale «normale»:

• Simmetrica
• Media = mediana (valore per cui aree sottese a destra e sinistra sono di pari superficie) = moda (valore con p massima)

Esercizio: (Distribuzione normale e uso della tavola di probabilità [1.2])

Dato un titolo azionario con distribuzione di probabilità dei rendimenti annui normale, in cui il rendimento atteso è pari al 5% e lo scarto quadratico medio è pari al 20%, calcolare la probabilità di ottenere in un anno un rendimento:

• 1) Compreso tra -4% e 5%
• 2) Superiore al 40%
• 3) Compreso tra -36% e -5%
• 4) Compreso tra 20% e 35%
• 5) Compreso tra 5% e 25%
• 6) Compreso tra -3% e 30%
• 7) Inferiore a -30%

Il principio media-varianza e le condizioni per la sua validità

Assumendo che:

• 1) I rendimenti di un investimento si distribuiscano secondo una normale
• 2) L'investitore sia avverso al rischio
• 3) L'investitore massimizzi l'utilità attesa della ricchezza di fine periodo

L'investitore considera unicamente due parametri nella scelta tra diverse alternative di investimento:

• a. Il rendimento atteso (o media dei rendimenti)
• b. La varianza dei rendimenti

Egli massimizza l'utilità attesa scegliendo l'alternativa di investimento che:

• ▪ A parità di rendimento atteso, è caratterizzata da varianza minore, oppure
• ▪ A parità di varianza, è caratterizzata da rendimento maggiore

Distribuzioni non normali:

Differenze rispetto alla distribuzione normale si possono verificare in termini di:

• − Asimmetria
• − Curtosi

Asimmetria: si verifica quando scostamenti dalla media di pari entità ma di segno opposto hanno probabilità diverse.

Curtosi: la distribuzione di probabilità dei valori attorno alla media è diversa rispetto alla normale («spessore delle code»).

Rendimenti e rendimenti logaritmici:

Per intervalli di tempo brevi, il rendimento logaritmico è approssimativamente pari al rendimento di periodo.

• ▪ La forma logaritmica permette di esprimere il rendimento di un periodo come la somma delle variabili casuali dei rendimenti di ciascun sottoperiodo.

Teorema del limite centrale: la distribuzione di una variabile casuale data dalla somma di risultati estratti da altre variabili casuali i.i.d., anche non normali, si approssima alla normale al crescere degli addendi.

• ▪ Se la distribuzione dei rendimenti dei sotto periodi è stazionaria, la distribuzione dei rendimenti logaritmici di periodo ln (1+r ) tenderà alla normale.
• ▪ Se ln(1+r ) segue una distribuzione normale, allora r segue una distribuzione lognormale, che ne è una buona approssimazione.

Verifiche empiriche mostrano, tuttavia, che i rendimenti presentano distribuzioni con caratteristiche di non normalità:

• • Non stazionarietà: media e varianza cambiano nel tempo
• • Leptocurtosi: maggiore probabilità di osservare valori vicini o lontani dalla media, minore probabilità di osservare valori intermedi
• • Asimmetria: il rendimento di un titolo non ha limiti superiori, mentre non può essere inferiore al -100% (perdita del capitale investito). Se un titolo perde il 50%, deve successivamente guadagnare il 100% per tornare al valore iniziale

Leptocurtosi, in particolare, asimmetria nella distribuzione dei rendimenti rendono inapplicabile il criterio della media-varianza.

Diversificazione di portafoglio

Composizione di un portafoglio all'interno di un portafoglio è la frazione investita in ciascun titolo in rapporto all'investimento totale di portafoglio:

Esempio: Portafoglio con due titoli, 1 mln € in azioni Vodafone e 3 mln € in azioni British Airways. I pesi dei due titoli sono:

• Vodafone: € 1,000,000/€ 4,000,000 = 0.25 o 25%
• British Airways: € 3,000,000/€ 4,000,000 = 0.75 o 75%

Vendita allo scoperto di un titolo all'interno di un portafoglio può essere positivo o negativo.

• ▪ Positivo: posizione lunga (acquisto)
• ▪ Negativo: posizione corta (vendita allo scoperto, «short sale»)

Un investitore vende allo scoperto un titolo quando prende a prestito tale titolo da chi lo possiede e lo vende a un compratore. Per chiudere la posizione corta, l'investitore successivamente compra il titolo sul mercato e lo restituisce al proprietario originale.

Rendimento atteso di portafoglio

Il rendimento atteso di un portafoglio di titoli è pari alla media pesata dei rendimenti dei singoli titoli:

Esempio: Calcolo rendimento portafoglio 1€m Vodafone + 3€m British Airways. Rendimento: Vodafone = 10%; BA = 5%

➔ Media pesata dei rendimenti: 10% * 0.25 + 5% * 0.75 = 6.25%

Covarianza e correlazione

La covarianza tra i rendimenti di due titoli è la media dei prodotti dei loro scostamenti dalla media. >0 indica che i rendimenti tendono a muoversi nella stessa direzione. <0 indica che i rendimenti tendono a muoversi in direzioni opposte.

La correlazione tra i rendimenti di due titoli è la covarianza dei due rendimenti divisa per il prodotto dei loro scarti quadratici medi (o deviazioni standard). Non dipende dall'unità di misura delle due grandezze: è sempre compresa in [-1,1].

Varianza di un portafoglio con 2 o più titoli

Varianza di un portafoglio composto da due titoli a e b aventi peso rispettivamente x_a e x_b:

Questo è un caso particolare (n=2) della formula per il calcolo della varianza di un portafoglio con n titoli:

Frontiera efficiente

Rendimento e rischio di un portafoglio come somma di v.c.: Il rendimento atteso di portafoglio è uguale alla media pesata dei rendimenti dei singoli titoli, ma ciò non vale per lo scarto quadratico medio, per via di due effetti:

• 1. Effetto correlazione:
• ▪ ρ = 1: sqm di portafoglio = media pesata degli sqm dei singoli titoli
• ▪ ρ < 1 (quasi sempre): sqm di portafoglio < media pesata degli sqm dei singoli titoli
• ▪ ρ = -1: esiste una combinazione di pesi dei titoli tale per cui sqm di portafoglio = 0
• 2. Effetto numerosità: al crescere del numero di titoli, la varianza di un portafoglio dipenderà dalle covarianze delle coppie di titoli più che dalle varianze dei singoli titoli
• ▪ Se il numero di titoli tende a infinito, il contributo delle varianze dei singoli titoli alla varianza del portafoglio tende a zero.

Effetto correlazione (esempio grafico)

Effetto numerosità (esempio grafico)

Portafogli con possibilità di vendere allo scoperto

Investire in titolo privo di rischio

Il rischio può essere ridotto investendo una parte del denaro in un investimento privo di rischio o risk-free (ad es., titoli di Stato). Costruisco un portafoglio Q con pesi:

Indebitarsi a tasso privo di rischio: Per cercare di ottenere rendimenti attesi più elevati, un investitore può prendere a prestito denaro e investirlo in azioni: posizione corta su un investimento risk-free.

Portafoglio tangente

• ✓ Il portafoglio tangente massimizza il rendimento per unità di volatilità rispetto a qualunque portafoglio disponibile.
• ✓ Ha il più alto indice di Sharpe.
• ✓ Il portafoglio tangente è efficiente, così come lo sono tutti quelli ottenuti da combinazioni dell'investimento privo di rischio e del portafoglio tangente.
• ✓ Ogni investitore dovrà investire nel portafoglio tangente indipendentemente dalla sua attitudine al rischio. Le preferenze individuali determineranno solo quanto investire nel portafoglio tangente rispetto all'investimento risk-free.

Capital Market Line (CML)

Assunzioni dell'analisi M-V e equazione della Capital Market Line:

• ▪ Gli investitori valutano gli investimenti solo attraverso due parametri: media e varianza
• ▪ Assenza di costi di transazione e tasse
• ▪ Gli investitori possono acquistare/vendere qualsiasi volume di titoli a prezzo di mercato e prendere/dare a prestito denaro a tasso risk-free
• ▪ Gli investitori hanno aspettative omogenee su volatilità, correlazioni e rendimenti attesi dei titoli

➔ Allora tutti gli investitori sceglieranno portafogli situati sulla CML:

CML e SML

CML: luogo dei portafogli, ottenuti combinando risk-free e ptf efficiente, che massimizzano il rendimento atteso per ciascun livello di volatilità.

SML: rendimento richiesto per ciascun titolo in funzione del suo beta.

Esercizio

Il CAPM e i suoi approfondimenti

Capital Asset Pricing Model

Se le assunzioni dell'analisi media-varianza sono valide, allora:

• ➢ Il portafoglio di tangenza dev'essere il portafoglio di mercato
• ➢ Il portafoglio di mercato giace sulla CML, mentre tutti gli altri titoli e portafogli contengono una componente di rischio diversificabile e giacciono pertanto a destra della CML
• ➢ Tutti i titoli e portafogli giacciono sulla SML

I rendimenti attesi dei titoli sono determinati secondo l'equazione del CAPM:

• con R rendimento del portafoglio di mercato
• β stimato rispetto ai rendimenti del portafoglio di mercato

Beta di portafoglio

Il beta di un portafoglio è la media ponderata dei beta dei titoli che lo compongono:

Limiti del CAPM

Se alcuni investitori scegliessero di investire in un portafoglio non collocato sulla frontiera efficiente, allora anche il portafoglio di mercato non potrebbe essere situato sulla frontiera efficiente. In questo caso, l'equazione del CAPM: E(R_f + β (E(R_m) – R_f)) = R_i non sarebbe verificata.

• • Noti E(R_m) e R_f, non saremmo in grado di dire qual è il rendimento atteso E(R_i) di un titolo i sulla base della conoscenza del suo beta β.

L'investitore che rispetta il principio M-V non sceglierebbe mai il portafoglio C. Tuttavia, C potrebbe essere preferito per un terzo criterio non rappresentato sul piano M-V.

Ulteriori assunzioni del CAPM

1. Assenza di costi di transazione.
2. Infinita divisibilità degli investimenti.
3. Gli ordini di acquisto e vendita degli investitori non spostano il prezzo dei titoli.
4. Non esistono restrizioni alle vendite allo scoperto.
5. È possibile investire e prendere a prestito senza limite a tasso privo di rischio.
6. Non esistono imposte sui redditi da capitale.
7. Esiste piena omogeneità di aspettative da parte di tutti gli investitori.
8. Tutti gli investimenti sono negoziabili sul mercato.