Appunti completi di Finanza Aziendale (Asset Pricing e finanziamento delle imprese)

PUT-CALL PARITY

Relazione put-call

Ipotizziamo che:

• Non ci siano costi di transazione, margini, o tasse
• Sia possibile dare e prendere a prestito allo stesso tasso

Consideriamo opzioni put e call Europee, con stessa scadenza e stesso strike price, su un'azione che non paga dividendi. Costruiamo la seguente posizione: 42

Alla data di scadenza, due scenari:

PUT-CALL PARITY

Questa equazione è nota come la relazione put-call parity per opzioni Europee su azioni che non pagano dividendi

Rappresentazione grafica

Put-call parity in caso di azioni che pagano dividendi

Posta D la somma dei valori attuali dei dividendi pagati prima della scadenza dell'opzione:

C = P + S - D VA(K)

Il prezzo dell'azione è sostituito dalla differenza tra il prezzo stesso e il valore attuale dei dividendi.

Attenzione: chi possiede l'azione riceve il dividendo; chi ha una posizione corta sull'azione deve restituire il dividendo al prestatore; chi possiede l'opzione

non riceve il dividendo.

Esercizio 43

LIMITI AI PREZZI DELLE OPZIONI

Dividendi incerti

La precedente assunzione che i dividendi monetari che dovranno essere pagati nel periodo di durata dell'opzione sono noti con certezza è spesso non verificata.

Poniamo allora:

D+ valore attuale dei massimi dividendi che verranno pagati durante la durata residua dell'opzione

D- valore attuale dei minimi dividendi che verranno pagati durante la durata residua dell'opzione

Proposizione 1 (limiti di prezzo)

Dimostrazione P1

Rappresentazione grafica

Proposizione 2 (strike price)

Dimostrazione P2/a

Rappresentazione P2 (c)

Rappresentazione grafica

Proposizione 3 (tempo a scadenza)

Proposizione 4 - Il valore di una call deve essere maggiore di S K in ogni momento diverso dalla scadenza o subito prima della distribuzione di un dividendo.

Dimostrazione: supponiamo che C = S K tra due date di distribuzione dividendi. Sorgerebbe allora un'opportunità di

• Compro la call
• Vendo l'azione
• Investo VA(K) in obbligazione
• Liquido l'intera posizione subito prima della successiva data di distribuzione del dividendo. Il profitto sarà almeno pari all'interesse ottenuto sullo strike price.

1. Una call non dovrebbe mai essere esercitata in un momento diverso dalla data di scadenza o subito prima di una data ex-dividend
2. Se il valore attuale dei massimi dividendi che devono essere pagati durante la vita residua di una call sarà sempre minore del concomitante valore attuale degli interessi che possono essere guadagnati sullo strike price durante lo stesso periodo, allora la call non

n-1 indipendenti e identicamente distribuiti.

Modello binomiale monoperiodale

Ipotesi:

Il prezzo dell'azione segue un modello binomiale moltiplicativo nel discreto

▪▪ Orizzonte temporale monoperiodale

A fine periodo avremo quindi due possibili prezzi dell'azione: (u = up; d = down)

Valutiamo la call su questa azione ipotizzando che scada nel periodo successivo: 55

(1) Metodo del portafoglio equivalente

C = ΔS + BE' una prima formula per il prezzo dell'opzione che si basa sulla costruzione del portafoglio equivalente.

Se tale portafoglio presenta lo stesso rendimento dell'opzione call corrispondente, allora deve avere lo stesso valore di mercato (assenza di arbitraggio).

In particolare:

Δ numero di azioni incluse portafoglio corrispondente

B numero di obbligazioni prive di rischio

Esempio /1 5657

(2) Metodo delle probabilità neutrali al rischio

• degli investitori riguardo il rialzo/ribasso dell'azione

Probabilità soggettive

sonoirrilevanti nel calcolo del prezzo dell'opzioneo Infatti, la probabilità q non è inclusa• Il valore della call non dipende dall'attitudine degli investitori verso il rischioTali informazioni sono già incorporate nel prezzo dell'azione sottostante,o che è la sola variabile casuale da cui dipende il prezzo della callE’ possibile calcolare il valore di un'opzione ipotizzando che tutti gli investitori− sianoneutrali al rischio: tutte le attività finanziarie (opzioni incluse) avrebbero lo stessocosto del capitale = tasso di interesse privo di rischioEsempio 58Dal portafoglio equivalente alle probabilità neutrali al rischioModello binomiale multiperiodale (n=2) 59ESERCIZIO 60Totale B in t=1 dopo un rialzo nel prezzo di S: somme delle duecomponenti = -47.434*1.04 -13.168 = -62.5 61GeneralizzazioneTriangolo di PascalFunzione di distribuzione complementare binomiale 62Modello binomiale: generalizzazione

Formula binomiale del prezzo di un'opzione call

Esercizio 6465

La formula di Black-Scholes

Se il periodo di riferimento del modello binomiale fosse, ad esempio, il giorno, si potrebbero avanzare le seguenti critiche:

• I prezzi nell'arco di un giorno possono assumere più di due valori
• Le negoziazioni di mercato possono avvenire più di una volta al giorno
• Nella realtà, le trattazioni hanno luogo sempre più frequentemente
• Il numero di periodi n tende a infinito
• La loro durata tende a zero

Il processo binomiale, in questo caso, approssima la distribuzione dei prezzi dell'azione ad una lognormale.

È possibile dimostrare che la formula binomiale del prezzo delle opzioni contiene, come caso limite, la formula di Black-Scholes che determina il valore di call europea su azioni che non pagano dividendi

Valutazione di un'opzione put

Valore di un'opzione put

Sopra a sinistra una put americana, a destra una put europea.

Black-Scholes è valido, quindi il prezzo delle opzioni sulla stessa azione con la stessa scadenza deve essere calcolato utilizzando la stessa volatilità implicita, anche con diversi strike prices. Graficamente, la relazione volatilità implicita-strike price dovrebbe essere:

Anomalie nella relazione strike price-volatilità implicita:

• L'assunzione della Black-Scholes sulla log-normalità della distribuzione dei rendimenti azionari non è rispettata (le distribuzioni effettive sono caratterizzate da leptocurtosi)
• Nel caso dei mercati azionari, c'è un'alta probabilità (rispetto a quella che ci sarebbe nella log-normale) di improvvisi crolli dei prezzi di borsa, che aumenta il valore delle put out-of-the-money

Sezione 2.3: Il modello di option pricing nelle decisioni aziendali

Valore d'impresa: capitale proprio e debito in termini di opzioni

(1(2) Analisi degli investimenti: opzioni reali

può essere così riassunta:

Possiedono l'impresa

Hanno venduto una call sull'impresa con strike price 100 €

Opzioni put: azionisti

La posizione degli azionisti in termini di opzione put può essere così descritta:

• Gli azionisti possiedono l'impresa
• Gli azionisti devono 100 € ai creditori

Se il debito fosse privo di rischio, queste due affermazioni sarebbero sufficienti. Ma siccome esiste la possibilità di fallimento, aggiungiamo che:

Gli azionisti possiedono un'opzione put sull'imp