Esercizi di Elettrotecnica sul metodo simbolico

Ora ci serve capire che tipo di regime sarà. Per capirlo devo

guardare alle sorgenti del nuovo circuito. Esso sarà

caratterizzato da:

1 sorgente costante

● 1 sorgente sinusoidale

●

Per cui non possiamo dire che è un regime stazionario ma

nemmeno sinusoidale. L’unica cosa che possiamo dire è che ,

essendoci sorgenti sinusoidali e costanti ci aspettiamo

grandezze perlomeno dello stesso tipo, si tratta quindi di un

regime periodico A questo punto dobbiamo trovare il(t)

data dalla somma di due contributi.

è una variabile di stato cioè l’energia

immagazzinata è legata ad il(t). In questo

circuito è l’induttore che immagazzina

l’energia ed essa è pari a 1/2l i(t)

Dato che è una variabile di stato posso applicare la continuità ma questo

perché? Perché la corrente deve essere continua? deve essere continua

perché l’energia a cui è legata deve essere continua. A sua volta l’energia deve

essere continua perché nel circuito considerato non ci sono generatori di

potenza infinita. La derivata dell’energia è la potenza. Se volessi avere un

energia discontinua dovrei avere Potenza infinita.

Anche le tensioni ai capi dei condensatori sono variabili di stato

Per trovare questo termine devo studiare l’omogena associata all’eq

differenziale del circuito. Dato che nell’equzione omogenea associata i il

termine noto deve essere zero. Ma da chi è dato il termine noto? Da una

combinazione lineare dei generatori. Pertanto posso passivizzare la rete

Lambda è una frequenza

naturale e deve essere a parte

reale negativa La costante di tempo è

l’opposto del reciproco della

frequenza naturale

La posso trovare anche per ispezione.

Nel circuito passivizzato dove c’è

l’induttore si può calcolare come: L

fratto la resistenza equivalente vista ai

capi dell’induttore

Si tratta di un regime periodico

Posso applicare il principio di sovrapposizione degli effetti

In questo circuito compare solo un

generatore di tensione sinusoidale,

pertanto posso applicare il metodo

simbolico Convertiamo eq differenziali

in eq algebriche ai numeri

complessi

Devo sempre stabilire un riferimento di

fase ciò significa scegliere qual è il vettore

da mettere sull’asse reale

Una resistenza in parallelo ad un corto è

equivalente ad un corto cioè un ramo

con resistenza nulla

A regime stazionarioL diventa un

corto e C diventa un aperto

Rappresentare nel diagramma fasoriale

Determinare i(t) di regime sinusoidale

Determinare i (t) a regime sinusoidale per t>0

Il termine transitorio è nullo poiché le soluzioni di regime a sono uguali.

Il transitorio serve come raccordo tra due soluzioni di regime

Si applica il metodo simbolico che ricordo essere utilizzato solo quando il

circuito è a regime sinusoidale con forzamenti isofrequenziali

Calcolare l’equivalente di Thevenin da R1

Le potenze nel metodo simbolico

Ricavare I1 e I2

Lo stesso procedimento può essere usato per trovare I2

Come identifico i vettori I1 e I2 nel piano

complesso che non li ho calcolati

esplicitamente? Posso ragionare con le

somme vettoriali e notare che la Itot sarà il

vettore somma di I1 e I2. Pertanto

necessariamente questi due devono essere

in ritardo

Rappresenta nel diagramma fasoriale sapendo che C =1/wR

Si tratta di un caso ohmico

capacitivo per cui I sta in

anticipo rispetto a V di -alfa. V

ed I sarebbero state in fase

solo nel caso di un carico

puramente ohmico

Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la

potenza istantanea assorbita dall’induttore L2.

Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente il(t)

Siamo in regime sinusoidale permanente e l'obiettivo è disegnare il

diagramma fasoriale delle tre correnti.

esiste una pulsazione alla quale la corrente nel resistore, IR, vale

sicuramente zero? Consideriamo l’impedenza equivalente, trascurando

R che non dipende da omega, ma focalizzandoci solo sul parallelo L-C.

Se l'impedenza totale vista dai morsetti della rete è infinita, la corrente

IR (che in questo caso è la corrente che attraversa il resistore) sarà

zero.L'impedenza totale è data da R in serie con il parallelo di L e C.

Calcolate l'impedenza di questo parallelo L-C: scoprirete che esiste

una pulsazione specifica per cui questa impedenza parallela tende

all’infinito

In corrispondenza di questa pulsazione di risonanza, il parallelo L-C si comporta

come un circuito aperto, presentando un'impedenza infinita. Di conseguenza,

l'impedenza totale vista ai morsetti (data da R in serie con il parallelo L-C, che ha

impedenza infinita) tende anch'essa all'infinito. Questo spiega perché, a questa

precisa pulsazione, la corrente totale IR (che attraversa il resistore) sarà zero.

Cerchiamo di capire meglio il motivo fisico analizzando i fasori.Possiamo indicare

la tensione ai capi del parallelo con V. Essendo un parallelo, questa tensione è

comune sia all'induttore (L) sia al condensatore (C). Per comodità, impostiamo V

come fasore di riferimento sull'asse reale del diagramma fasoriale.

Poiché entrambe sono sfasate di 90° rispetto a V ma in direzioni opposte, le

due correnti IC e IL sono in opposizione di fase tra loro.La corrente IR (intesa

come la corrente totale che entra nel parallelo L-C) è la somma vettoriale IC +

IL. Stiamo cercando la pulsazione omega0 (la pulsazione di risonanza) per cui

questa somma vettoriale è nulla. Visto che i fasori sono in opposizione di fase,

ciò accade quando i loro moduli sono identici.

Analizziamo ora cosa accade quando la pulsazione è diversa da omega0 :

omega > omega0 (Sopra risonanza): Le relazioni di fase (quadratura anticipo/

ritardo) non cambiano, ma cambiano i moduli. La corrente nel condensatore (|IC|

= omega C V) è proporzionale a omega, quindi cresce.

La corrente nell'induttore (|IL| = V / (omega L)) è inversamente proporzionale a

omega, quindi diminuisce.

Rispetto alla risonanza, il fasore IC (verso l'alto) sarà più lungo di IL (verso il

basso). La loro somma vettoriale (IR) sarà una risultante netta diretta sul

semiasse positivo immaginario (comportamento capacitivo). omega < omega0

(Sotto risonanza): Succede il contrario. |IC| diminuisce e |IL| aumenta. La

corrente induttiva

Ora ci proponiamo di risolvere una rete alimentata da due generatori sinusoidali

non isofrequenziali, come indicato dalla presenza delle due diverse pulsazioni,

omega1 e omega2.

Vogliamo calcolare la corrente i(t) a regime.

Dobbiamo innanzitutto chiederci che tipo di regime abbiamo. Di sicuro non è

sinusoidale. Sarebbe sinusoidale, e di conseguenza anche periodico, solo se

omegal e omega2 fossero uguali.II regime sarebbe periodico (ma non

sinusoidale) se, ad esempio, omega2 fosse un multiplo intero di omega1. In

questo caso, però, stiamo considerando omega1 e omega2 come due valori

arbitrari di pulsazione, non necessariamente proporzionali tra loro attraverso un

numero intero. Potrebbe verificarsi il caso in cui il rapporto omega2 / omega1

sia un numero irrazionale; in questa situazione, il regime risultante non sarà né

periodico né sinusoidale.

Applico principio di sovrapposizione

Supponiamo di aver fatto i conti e supponiamo di avere:

NON POSSIAMO SOMMARLI POICHÉ NON SONO ISOFREQUENZIALI,

INFATTI OMEGA1 E OMEGA2 SONO DIVERSI, BISOGNA PASSARE PER IL

DOMINIO DEL TEMPO.

Devi antitrasformare I1 fasore e I2 fasore in i1(t) e i2(t), per poi calcolare

i(t)=i1(t)+i2(t)