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Esercizio 1
Una trave di lunghezza L è incastrata in un'estremità e sollecitata in quella opposta da un momento torcente Mt. Determinare le valore della tensione tangenziale massima, dell'angolo di torsione unitaria e degli angoli di torsione totali nei due casi seguenti:
- Sezione trave B con profili saldati e chiusa
- Sezione trave B con una sezione aperta di setti angoli sottili
Mt = 60.000 Nmm L = 3 m = 3 x 103 mm G = 80.000 MPa Ztmax? u? tot?
Mt = 3000 Nmm L = 3 m = 3 x 103 mm G = 80.000 MPa Ztmax? u? tot?
Svolgimento
SEZIONE A: sezione chiusa di setti angoli sottili.
Essendo una sezione chiusa, la tensione u dovuta al momento torcente è data dalla formula di Bredt:
Zt / Mt = 4
Quindi, se tensioni hanno l'andamento riportato in figura e sono costanti lungo lo spessore, la Ztmax si ottiene lungo le lato di spessore più sottile, quindi t = 16 mm.
Calcolo
Ad
A = (160 - 16) · (160 - 16)
= 18 104 mm2
Quindi:
Mx max = 60 000·103
2 · 18 104.6
= 48,36 MPa
Quindi calcolo σ+; è angolo di torsione unitario:
σu:
RIFLETTO ALLA LINEA MEDIA
G: (A - y)2
St
τo =
60 000.103
80 000 460 810
σu =
46695
2,054·10-5
460
2,054·10-5
y
= 1,18·10-3 o/mm
Passo in gradi:
2,05·10-5 · 180 π
x: 1,18·10-3 o/mm
Quindi:
yz: L = 1,18·10-3 /mm · 3.103
3,54
sezione B
sezione aperta di rettangoli sottili
In questa caso φ è dovuta a
momento torcente a data distanza
Calcorerà
1
x
3Jt =
1
a distanza
Jt =
S1
460·16
46920 mm4
Calcolo
τy max = St
Hπ =
3·103
460 810
280
3 000·103 .16
= 108,89 MPa
con σu =
CALCOLATO RISPETTO
ALLA LINEA MEDIA
G:
St + Ht
MOMENTO D'INERZIA
180.π
Su
τu =
η: 5,5·10-5
8,5·10-5
τT OT = Su L = 4,87·10-3 3·103 m/s
τzx=
1T·Sxx/I B2
Sxx=
(B(B-t3)·tw)
·(H H2)
+t3) 2
-39375 mm3)
τzx +
1,033 MPa
Quindi passo
1,033·4,6 =
4,9
PUNTO C:
360 35
0 = 0 MPa
τzy =
S=
H
STRESSORE
retiangola
DIEL
DEI
VERTICALE
50·100
4,8 =
36,8 MPa
τzy =
Sxxx
Sezione
v(Box3·g)
SxxG = 1/12 (B - 2tw)(H - 4ts)³ + 6² [B - 2tw)(H - ts)]
= 1/12 [80 - 6,4 )( 40 - 5)³ + 6 (40 - 5 + 5 - 50,35 ]² (80-6,4) (40-5) =
= 1,997 x 10⁷ mm⁴.
Quindi SxxG - SxxG = 2,26 - 10⁷ - 1,997 - 10⁷ = 2,63 - 10⁵ mm⁴
Poi vado a visualizzare Jw per lo scarupo di Colombo:
Jw = 1/3 [ 2/12 4/[(4/ 1/2
RIFERITO ALLA LINEA MEDIA
St = 2/3 [80 - 3,2)³ = 320
Non cambia nulla, ma anche questo è rigido a G.
A questo punto posso iniziare a calcolare di tensioni nei punti scelti A, B e C.
PUNTO A
Nel punto A io che σD = dovuta a Mxx è massimo poiché siamo alla
massima distanza dell’asse mici lamento e la calo cata con Navier:
σG = Mxx/Sxx, y = 115080/2,63 - 10⁵
y = 115080 3,92 MPa
Nel punto A io che la τxy = dovuta al taglio è
massima, come si vede dal diagramma di Jouawski
Nel punto A io che la τxx dovuta al “M” è non massa, perché sono a
metà del lato corto del rettangolo rettifica soffice. Con lo scarpio di
Colombo, il so colucare sono di τxy max a metà del lato lungo, quindi
anche nel punto A calco questo un vantaggio di sicurezza
σzx = Mt + τt = 51540 = 3,92 + 29,86 MPa
Punto A
Nel punto A ho anche una τzx dovuta al momento torcente Mt, che calcolo con la formula di Bredt poiché ho una sezione chiusa.
Quindi, sommando algebricamente τzxt e τzxMt, posso ricavarmi τzx:
Quindi ho una σ8 ed una τ8 e vado a ricavarmi la σeq con il criterio di Von Mises:
Infine posso andarme a calcolarmi il coefficiente di sicurezza statico:
Punto B
Nel punto B ho una σ8 tensione dovuta a flessione che è di trazione ed è normale si calcola con Navier:
Nel punto B ho una tensione dovuta al taglio, τzy, che è non nulla e si calcola con la formula di Jourawski:
Nel punto B ho una τzyMt dovuta al momento torcente, che calcolo con la formula di Bredt:
SEZIONE DI INCASTRO, AZIONI INTERNE E TENSIONI:
T (TRA SUCCO TENSIONI)
N = 20000 N
Mgsup = 1,95 · 106 Nmm
Mgxx = 2,55 · 106 Nmm
T = 15000 N
Mt = 3,75 · 105 Nmm
A = π ((De/2)2 - (Di/2)2) = 1,237 mm2
Jxx = π/64 (De4 - Di4) = 4,35 · 105 mm4
SEZIONE 1-1
- σxy ≠ 0
- σyx = τxy = τyx = 0
- σxx ≠ 0
- σyy ≠ 0
Questi sono i punti più sollecitati in cui devo andare a fare verifica statica?
Il pianostatico con 6Z2 sia messo bene in X ed equivalenza. Quindi vado a risolvere. La resistenza statica
B1 è sicuramente meno critico del punto B. Però vado comunque a fare la verifica di resistenza statica per esercizio.
SEZIONE 1-4
- σxx = 0
- σyy = 0
- σyx = 0 perché sciocco
- σxy ≠ 0
- τxy ≠ 0
- τyx ≠ 0
SxexJxx = int
Prima di valutare la resistenza statica nei punti evidenziati vado a calcolarmi le proprietà geometriche.
Jxx = int
1/12 BH³ - (B - 2tx) (H - 4ty)³
A∗ = (B - tx) (H - 4ty)
A∗ = (80 - 4) (150 - 5) = 41020 mm²
per sezione rispetto alla linea media
6,036 ×106 mm4
AULA LINEA YEDDA
Quindi passo passando alle verifiche di resistenza statica in A, C, E, D.
PUNTO A
Nel punto A ho una σzzx dovuta a momento flettente attorno ad xmax che è massima e di compressione. La calcolo con navier:
σzzx max = 1max Ymax/Ixx … 150/2 = θ 2,13 MPa(6,036 · 105)
di compressione
Nel punto A ho anche una σzzy dovuta a momento flettente attorno ad maxYY che è massima e di compressione:
σzzy = Myy … Xmax = 59,29 MPa(2,046 · 105)
di compressione
Nel punto A ho anche una σzz dovuta alla spinta assiale, che è cost.ed è di compressione:
σzz = N/A = 1,128 MPa
Nel punto A, essendo in uno spigolo, la τxy dovuta al momento torcenteè nulla. Calcolo la σzz tot come somma algebrica, che sarà di compressione:
σzz = 62,13 – 59,29 – 1,128 = –122,55 MPa
Questa è anche maggiore di eq e pertanto posso calcolarmi il coefficiente disicurazza al taglio …τs = θ 355/2,89 — 1,5 verifica ok!
PUNTO C
Nel punto C ho una σzzy dovuta a momento flettente Myy che è maxe di compressione quindi uguale a quella calcolata in A.
σzzy = Myy … Xmax = 59,29 MPa
Nel punto C ho una σzz dovuta a spinta assiale che è di compressione edessendo cost. è uguale a quella calcolata in A:
σzz N = &sup>N⊂/A = 1,128 MPa
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