Esercizi Analisi 1

Tutorato 25/10

1. Dire se le seguenti funzioni sono periodiche e, in caso affermativo, calcolare il periodo.

1. \( f(x) = \sin x + \tan 5x \)

• \(\sin (x) \to T = 2\pi\)
• \(\tan (x) \to T = \pi\)
• \(\tan (5x) \to T = \frac{\pi}{5}\)

Rapporto tra periodi:

• \(\frac{3}{5}\pi : 3 = \mathbb{Q} \Rightarrow f(x) \text{ Periodica}\)

\( T = \operatorname{mcm} \text{ tra i due } T \Rightarrow T = \frac{3}{5}\pi \)

Verifica

\( f \left( x + \frac{3}{5} \pi \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} \left( x + \frac{3}{5} \pi \right) \right) + \tan \left( 5 \left( x + \frac{3}{5} \pi \right) \right) \)

\( = \sin \left( \frac{10}{3}x + \frac{10}{5^2}\pi \right) + \tan \left( 5x + 3\pi \right) \)

\( = \sin \left( \frac{10}{3}x \right) \hspace{10px} \tan \left( 5x \right) \)

\( f(x) \text{ Periodica} \)

2. \( g(x) = \tan x + \sin \sqrt{3x} \)

\( T = \pi \)

• \( T = \frac{2\pi }{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi \)

Rapporto:

\( \sqrt{2}\pi \hspace{5px}: \hspace{5px}\sqrt{2} \in \mathbb{P} \Rightarrow \) Non è periodica

Rapporto:

_^√2π/_^π = √2 ∈ ℑ → Non è periodica

3. f(x) = sen 2^x

Dominio → ∀x ∈ ℝ

Posto T tale che f(x+T) = f(x) ∀x ∈ ℝ

f(0) = f(-T)

sen (2⁰) = sen(1) = sen (2^-T)

Osservo che 2^-T ∈ ]0, π/2] → Funzione seno iniettiva, perchè strettamente crescente

Quindi → sen(2^-T) = sen(1)

2^-T = 1

T = 0 Assurdo

Non è periodica.

4. Usando la definizione di limite di una successione verificare che

_lim^n→∞ (2n² + n) / (n² + 1) = 2

∀ε > 0 ∃n: ∀n>ñ vale |a_n - L| < ε

Fisso ε > 0

Dominio

-1 < cos(x) < 1   ∀x ∈ ℝ

Segno

∀x ∈ ℝ → f(x) ≥ 0

Simmetrie

f(-x) = acos(cos(-x)) = acos(cos(x)) = f(x)   PARI

cos(x) = cos(-x)

Periodicità

f(x+T) = f(x)

acos(cos(x+T)) = acos(cos(x))

T = 2π

x ∈ [0,π]

y = t · t^-1

(t - ¹⁄_t) y = t + ¹⁄_t

t (t - ¹⁄_t) y = t² + 1

yt² - y = t² + 1

yt² - y - t² - 1 = 0

t² (y - 1) - y - 1 = 0

t² = ^{y + 1}⁄_{y - 1} → t = e^2x

e^2x = ^{y + 1}⁄_{y - 1}

2x ln e = ln ( ^{y + 1}⁄_{y - 1} )

x = ¹⁄₂ ln ( ^{y + 1}⁄_{y - 1} )

|y| > 1

cosh^-1(x) = ¹⁄₂ ln ( ^{x + 1}⁄_{x - 1} )   |x| > 1

Speziale perché dispari