Esami passati Fisica 1

A

orizzontale passante per O distante L/10 da un suo estremo. Per effetto dell'applicazione all'altro

estremo di una forza F diretta verso l'alto l'asta è in equilibrio

in posizione orizzontale.

Determinare:

a) il modulo della forza F necessaria per l'equilibrio

b) la reazione vincolare in O

c) una volta eliminata la forza F , il periodo di oscillazione

dell'asta.

d) la reazione vincolare in O quando l'asta passa nel suo moto nella posizione verticale.

e) i valori numerici delle domande precedenti nel caso in cui m = (10.0 ± 0.1) kg, L = (20 ±1) cm.

A

3) Il sistema in esame è costituito da due corpi di massa m e m collegati tra loro da una corda, di

1 2

massa trascurabile rispetto a quella dei corpi, che scorre senza attrito su due carrucole (assimilabili

a dischi di massa m e m = 4 m e raggi r e r = 2 r ).

C1 C2 C1 1 2 1

La massa m poggia su un piano orizzontale scabro, avente

1 μ

coefficiente di attrito statico , mentre la massa m è sospesa

2

ad una quota h rispetto al piano stesso.

a) Determinare il massimo valore di m per cui il sistema

2

rimane in equilibrio statico

b) Nella condizione in cui m = m determinare le

2 2max

reazioni vincolari applicate dagli assi delle carrucole.

c) Se la massa m = 5 m determinare la velocità con la

2 2max

quale la massa m arriva a terra tenendo conto che il

2

coefficiente di attrito dinamico è la metà di quello statico.

d) Come cambia il risultato della domanda c) se la corda invece di scorrere senza attrito sulle

carrucole le trascina solidalmente al proprio moto? μ

e) i valori numerici delle domande precedenti nel caso in cui h = (50.0 ±0.1) cm, = (0.20 ± 0.01)

m = (8.00 ± 0.01) kg, m = (100 ± 1) g, r = (2.0 ± 0.1) cm.

1 C1 1

Tempo a disposizione: 2 ore.

Si possono consultare testi e appunti. Si può usare la calcolatrice. I cellulari devono essere

spenti. COMPITO DEL 03/05/2018

Problema 1

Quesito a

Affinché il sistema sia in equilibrio statico devono valere le due equazioni cardinali della

~ ~

(e) (e)

statica che si traducono nelle relazioni vettoriali F = 0 e M = 0. Il problema non

tratta rotazioni di corpi e quindi possiamo cercare di risolverlo considerando solo la prima.

La molla ha la proprietà di applicare, una volta deformata, due forze uguali e contrarie ai

~

suoi estremi. Nel caso del quesito le forze hanno quindi modulo | F | = k L/2. Analoga-

m

mente la corda inestensibile ha la proprietà di applicare due forze uguali e contrarie ai

suoi estremi il cui modulo indicheremo con T .

Scegliendo un sistema di riferimento con l’asse y perpendicolare al pavimento e l’asse x

parallelo ad esso, le forze applicate a ciascuna delle due masse sono:

~

1) la forza peso P = m~g = −mg ~u y

2) la reazione vincolare del piano orizzontale che, essendo liscio, è solo perpendicolare al

~

piano, ovvero R = R ~u y ~

3) la spinta della molla che per la massa di sinistra sarà data da F = −k L/2 ~u (e per

m x

quella di destra avrà segno opposto) ~

4) la trazione del filo che per la massa di sinistra sarà data da T = T ~u (e per quella di

x

destra avrà segno opposto)

Applicando quindi la prima equazione cardinale al corpo di sinistra

~ (e) (e) = 0 = R − Mg

F = 0 → F

y

(e)

→ F = 0 = T − kL/2

x

da cui R = Mg T = kL/2

Lo stesso risultato lo otterremo applicando la prima equazione cardinale al corpo di destra.

Quesito b

La forza di attrito dovuta al pavimento si oppone al moto dei due corpi, è diretta nel

verso positivo dell’asse x scelto per la massa di sinistra, negativo per quella di destra, e

~

quindi può sostituire la forza T prima applicata dal filo. Sappiamo inoltre che il modulo

della forza di attrito R è legato alla componente normale della reazione vincolare del

att

pavimento dalla relazione R ≤ µ · R, con µ coefficiente di attrito statico. Per quanto

att

riguarda le forze dirette verticalmente nulla è cambiato rispetto al caso precedente (in

1

~

particolare la reazione verticale R = R ~u è rimasta invariata) e quindi per il corpo di

y

sinistra avremo quindi

~ (e) (e)

F = 0 → F = 0 = T + R − kL/2 ≤ T + µ · mg − kL/2

att

x

La relazione ottenuta ci dice che la tensione T e la forza di attrito possono ambedue

contribuire a tenere ferma la massa. Nel nostro caso la tensione della corda si occupa di

mantenere fissa la distanza tra le due masse, compensando la spinta della molla, e quindi

i due corpi non hanno alcuna tendenza a muoversi e conseguentemente la forza di attrito

non entra in gioco. Nelle nostre ipotesi, la tensione T del filo rimane quindi la stessa del

quesito b).

Quesito c

Il sistema è simmetrico rispetto al punto centrale della distanza tra i due corpi, punto

dove, è facile capirlo, si trova il centro di massa del sistema. Una volta eliminato il

filo inestendibile, le uniche forze non compensate agenti sul sistema sono le forze appli-

cate dalla molla ai corpi, che sono forze interne al sistema. Applicando quindi la prima

equazione cardinale della dinamica al sistema complessivo dei due corpi avremo, indicando

con M = m + m la massa totale

1 2 ~ (e)

F = 0 = M ~a

CM

dove ~a è il vettore accelerazione del centro di massa. Da questa equazione segue

CM

immediatamente che ~a = 0 e quindi il centro di massa, che inizialmente era fermo,

CM

resterà fermo anche successivamente.

Sfruttando questo fatto, potremo limitarci a studiare il moto di una sola delle due masse,

ad esempio quella di destra, prendendo come origine delle ascisse quella del centro di

massa.

Riferendoci quindi alla sola massa di destra, essa, inizialmente ferma, si muoverà sotto

l’effetto della sola forza applicata dalla molla.

Particolare attenzione va posta nella determinazione di tale forza: il fatto di aver spezzato

il sistema totale in due parti fa sı̀ che la nuova molla da tenere in considerazione ha

lunghezza dimezzata rispetto a quella originaria. La nuova molla avrà lunghezza di riposo

L/2 (metà di quella originale), posizione di rilascio a una lunghezza L/4 e spinta iniziale

di modulo uguale a quello determinato in condizioni statiche, cioè kL/2. Per tale motivo

la nuova molla avrà una costante elastica k = 2k. Questo risultato lo avremmo potuto

′

ottenere direttamente ricordando che due molle aventi la stessa costante elastica k e

′

messe in serie formano un’unica molla avente costante elastica k pari alla metà di k ,

′

ovvero k = k /2.

′

Consapevoli di tale risultato possiamo ora applicare la prima equazione cardinale al corpo

di destra e ottenere ~ (e) (e) ′

F = m ~a → F = −k (x − L/2) = mẍ

x 2

che, riordinando i termini, porta all’equazione differenziale non omogenea

k k L

′ ′

ẍ + x =

m 2m

La soluzione generale di questa equazione differenziale è data dalla somma della soluzione

dell’equazione omogenea (ovvero con il secondo membro uguale a zero) + una soluzione

particolare della equazione non omogenea.

L’equazione differenziale omogenea è quella caratteristica di un moto armonico e ha per

p k /m e A e φ da determinarsi con le

soluzione x (t) = Acos(ωt + φ) con ω = ′

omog

condizioni iniziali.

Una semplice soluzione particolare dell’equazione differenziale non omogenea è data da

x (t) = L/2 (basta sostituirla nell’equazione differenziale e verificare che valga l’ugua-

nonom

glianza). Concludendo, la soluzione generale dell’equazione differenziale non omogenea è

data da: x(t) = Acos(ωt + φ) + L/2

Imponendo le condizioni iniziali x(0) = L/4 e ẋ(0) = 0 si ottengono i seguenti valori per

A e φ: A = −L/4, φ = 0. Infine avremo che l’equazione del moto della massa m è

x(t) = L/2 − (L/4) cos(ωt)

ovvero un moto armonico di pulsazione ω intorno alla posizione x = L/2.

Il periodo di oscillazione del corpo è dato da

r r

2π m m

T = = 2π = 2π

ω k 2k

′

Quesito d

Il distacco della massa m dalla molla avviene quando la molla raggiunge la sua posizione

di riposo e quindi basterà determinare il valore di ẋ quando è x = L/2, ovvero quando

t = T /4.

Avremo quindi ẋ(t) = (L/4) ω sen(ωt)

che, calcolato in t = T /4 = π/(2ω) dà

ẋ(T /4) = (L/4) ω

Allo stesso risultato si sarebbe potuti arrivare utilizzando la conservazione dell’energia

meccanica: allo studente è lasciato il piacere di verificarlo.

Quesito e

I valori numerici delle domande precedenti sono:

a) T = (2.50 ± 0.08) N

b) µ = (0.051 ± 0.002)

c) T = (4.44 ± 0.07) s

d) ẋ = (0.354 ± 0.008) m/s 3

Problema 2

Quesito a

Affinché il sistema sia in equilibrio statico devono valere le due equazioni cardinali della

~ ~

(e) (e)

statica che si traducono nelle relazioni vettoriali F = 0 e M = 0. Il problema tratta la

rotazione di un corpo e quindi la seconda equazione cardinale sarà di particolare interesse.

Prendendo un sistema di riferimento cartesiano con asse x orizzontale diretto verso destra,

asse y diretto verso l’alto ( e quindi asse z uscente dal foglio), le forze agenti sull’asta sono:

~

- il peso P = m ~g = −m g ~u che potremo pensare applicato nel centro dell’asta

A A y

~

- la reazione vincolare R che l’asse fisso di rotazione applica all’asta nel punto di contatto

~

- la forza F = F ~u verticale applicata all’estremo esterno dell’asta

y

Se prendiamo come asse di riferimento per il calcolo dei momenti di forza l’asse fisso

di rotazione, la reazione vincolare avrà momento nullo, la forza pesa darà un momento

~ ~ ~

M = M ~u e la forza F un momento M = −M ~u .

P p z F F z

Proiettando quindi la seconda equazione cardinale della statica sull’asse z si ha

~ (e) (e)

M = 0 → M = 0 = −(9/10) L F + (4/10) L M g

A

z

Da questa si ricava immediatamente che

F = (4/9) M g

A

Quesito b

Per determinare la reazione vincolare dell’asse dovremo utilizzare la prima equazione car-

dinale della statica. Le altre forze esterne agenti sull’asta sono tutte verticali e quindi

anche la reazione vincolare dell’asse si dovrà preoccupare di compensare solo forze ver-

~

ticali, ovvero avrà solo componente verticale ( R = R~u ). Applicando quindi la prima

y

equazione della statica all’asta avremo

~ (e) (e)

F = 0 → F = F + R − M g

A

y

Tenendo conto del valore di F ottenuto nel quesito a) abbiamo quindi

R = −F