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Caratterizzazione problema cinematico
Condizione necessaria alla determinazione cinematica è che il numero dei vincoli sia adeguato per mantenere stabile la configurazione della trave.
Ve ≥ 3
Ve < 3 Labile: si spostamenti: i vincoli non sono sufficienti per imporre la stabilità del corpo
Ve = 3 Isostatica: no spostamenti: la trave è cinematicamente isostatica determinata
Ve > 3 Iperstatica: no spostamenti: numero di vincoli sovrabbondante, cinematicamente iperdeterminata/ iperstatica
Sistema labile: V< GDL vincoli minori ai gradi di libertà
Nel sistema labile a vincoli applicati sono insufficienti a impedire tutti i movimenti del sistema e la struttura non è in equilibrio
Sistema isostatico: V=GDL vincoli uguali ai gradi di libertà
Nel sistema isostatico a qualsiasi valore dei carichi esterni sono associate reazioni vincolari che rendono il sistema in equilibrio e i vincoli sono sufficienti a impedire qualsiasi spostamento
Sistema iperstatico:
Nel sistema iperstatico i vincoli sono abbondanti e i possibili movimenti del sistema sono sempre impediti. La struttura in questo caso risulta essere eccessivamente rigida.
EQUAZIONI DI EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
Analisi cinematica di una trave rigida piana
[C] {u} = {0} -> le proprietà di [C] determinano le proprietà del sistema. Indicato con r, il rango dellamatrice [C], la discussione del sistema (sell’equazione di vincolo) possia sul noto teorema di rouche-capelli( teorema “esistenza e criticità della soluzione dei sistemi di equazioni lineari). Si ha che il rangodeve r≤min 3 -> r≤ al valore tra Ve e 3.
R=3 il sistema ammette solo la soluzione banale: (Va,Wa,fi)= (0,0,0) ossia non sono possibili spostamentirigidi infinitesimi piani per T. i vincoli privano la T di tutti i GDL e la trave si dice CINEMATICAMENTEDETERMINATA.
Ve=3=r-> le condizioni di vincolo presenti sono sufficienti ad
imporre la configurazione di T. La T si dice CINEMATICAMENTE ISODETERMINATA O ISOSTATICA
Ve > 3/2 -> le condizioni di vincolo presenti sono sovrabbondanti al fine di imporre la configurazione della trave, nel senso che è possibile sopprimere un numero di condizioni di vincolo senza introdurre GDL. Tale numero dipende dal cosiddetto GRADO DI PERSTATICITÀ DELLA STRUTTURA: i=Ve – 3 >0r >3 -> il sistema ammette soluzioni diverse dalla banale (in particolare indicata con l= 3-r >0 il grado di labilità) il sistema ammetterà ∞^1 soluzioni, ossia T ha l GDL residui per descrivere quali l occorrono parametri lagrangiani. La T si dice CINEMATICAMENTE INDETERMINATA O LABILE (INSUFFICIENZA NUMERO DI VINCOLI)
TEOREMA DI EULEROTEOREMA DI EULERO PER MOTO DI CORPI RIGIDI – DEFINIZIONE CENTRO DI ROTAZIONEASSIOMI DI EULERO
Sono condizioni necessarie sufficienti di equilibrio. Un corpo è in equilibrio se lo è ogni sua parte. Sappiamo che
per determinare l'equilibrio è necessario considerare le tre componenti delle forze e dei momenti. Le equazioni cardinali della statica per un corpo nello spazio tridimensionale sono: 1. Equilibrio alla traslazione: ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 Dove ΣFx, ΣFy e ΣFz rappresentano la somma delle componenti delle forze lungo gli assi x, y e z rispettivamente. 2. Equilibrio alla rotazione: ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0 Dove ΣMx, ΣMy e ΣMz rappresentano la somma dei momenti delle forze lungo gli assi x, y e z rispettivamente. Queste equazioni sono necessarie e sufficienti affinché un corpo rigido sia in equilibrio.le equazioni cardinali della statica corrispondono a 6 equazioni scalari (3 alla traslazione e 3 alla rotazione). Nel caso piano (le traiettorie dei punti del corpo appartengono ad un piano, ove sono contenute le forze applicate), le equazioni della statica corrispondono a 3 equazioni scalari (due alla traslazione e una alla rotazione (attorno ad una direzione normale al piano del problema). CONDIZIONI DI EQUILIBRIO Si dice equilibrio sotto la stessa distribuzione se, abbandonando il sistema con atto di moto nullo, questo vi permane indefinitamente. È ben noto che la CN e sufficiente per l'equilibrio di un corpo è che il sistema di forze ad esso applicato sia nullo o equivalente a 0. Quindi le condizioni di equilibrio per un corpo rigido si possono ritrovare nelle due relazioni necessarie e sufficienti per l'equivalenza a zero di un sistema di vettori: R= 0 M(o)= 0 In cui R indica il risultante e M(O) il momento risultante rispetto ad un polo generico O del sistema dipolo O, il momento M(o) è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione r del punto di applicazione della forza rispetto al polo O e il vettore forza F: M(o) = r x F La trasposizione del momento si ottiene invertendo il segno del vettore posizione r: M(O') = -r x F In un sistema a risultante nulla, il momento risultante M(o) non varia al variare del polo O. Questo significa che il termine (O-O') R deve essere nullo, quindi: M(O') = M(o) = 0 Un sistema a risultante nulla è caratterizzato da tutti i vettori momento uguali. Un esempio di sistema a risultante nulla è la coppia di forze (P1,V1) e (P2,V2) aventi lo stesso modulo, stessa direzione e verso opposto. Un sistema è considerato nullo o equilibrato quando sia il momento M che la risultante R sono nulli: M = 0 R = 0 Il momento di una forza F rispetto ad un polo O è quindi definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r e il vettore forza F: M(o) = r x Fspostamento virtuale compatibile con la rigidità di B.spostamento rigido infinitesimo virtuale.
I TEOREMA DELLE CATENE CINEMATICHE
Dato un sistema piano di travi e considerata una qualsiasi coppia di travi i e j del sistema, nell'ipotesi che: u^i diverso da 0, u^j diverso da 0, u^i diverso da u^j indicato con Ci centro assoluto della trave i, con Cj il centro assoluto della trave j e con Cij il relativo di i e j, ricordando che Uij rappresenta lo spostamento relativo tra i e j, risulta che i centri: Ci,Cj, Cij sono allineati
Nel nostro caso si vuole verificare che il primo teorema delle catene cinematiche sia violato, ovvero che non si formi una catena cinematica, ovvero che i due centri assoluti e il centro relativo non siano allineati. Solo in questo modo è verificata la condizione dell'efficacia dei vincoli (CS).
II TEOREMA DELLE CATENE CINEMATICHE
Dato un sistema di travi rigide ma non regolarmente collegate, la CN, affinché una terna di elementi (i,j,k) formi una catena cinematica è che i loro centri relativi
sianoallineati.FORMULA FONDAMENTALE DELLA CINEMATICA
CONFIGURAZIONE DI UN CORPO MATERIALE
Indichiamo con B il corpo materiale, l'unica proprietà fisica rilevante è quella di occupare regioni dello stesso spazio euclideo. Identifichiamo il corpo materiale B con una regione regolare e limitata dello spazio euclideo e indichiamo con Ω: B <-> Ω lo spazio euclideo.
Si dice configurazione del corpo qualunque regione dello spazio euclideo che il corpo possa occupare. Fra le possibili regioni che il corpo può occupare si rifissa una in particolare che viene denominata configurazione di riferimento di Ω. I punti P e Ω sono detti punti materiali: l'evoluzione della configurazione di B nello spazio è descritta da una funzione: f: Ω -> spazio euclideo denominata deformazione (cioè come si spostano gli elementi di un corpo nello spazio euclideo).
F è una funzione vettoriale di variabile vettoriale e deve essere biunivoca e
regolareREAZIONI VINCOLARIIl corpo rigido è di norma vincolato, i vincoli oltre ad avere la funzione di limitare i GDL e diinfluire sul comportamento cinematico hanno anche la proprietà di esercitare sull'oggetto delleforze che ne condizionano l'equilibrio ed il moto. Le reazioni vincolari possono distinguersi in:forze(F) e coppie ( C )
COPPIECONFIGURAZIONELa configurazione di un sistema di l punti materiali P1 e P2…Pn è l'insieme delle posizioniassunte da ciascun punto del sistema, ossia le 3N coordinate xn,yn,zn rispetto alla terna diriferimento. Il sistema possiede 3N gradi di libertà.
CONNESSIONEDispositivo che impone la continuità (assenza di salto) su alcuni parametri dello spostamentodelle sezioni delle travi a cui è applicato (definito molteciplità della connessione, il numerodelle equazioni di continuità imposte)
SCONNESSIONEUna sconnessione può essere pensata come l'introduzione di una
O più possibilità di spostamento aggiuntivi rispetto a quelle proprie di un corpo rigido. Il grado dellasconnessione S indica il numero di spostamenti aggiuntivi introdotti.
Un vincolo interno rappresenta un concetto complementare a quello di sconnessione e rappresenta una o più limitazioni di spostamento relativo di due corpi. Anche i vincoli interni sono espressi attraverso equazioni caratteristiche del vincolo. A differenza dei vincoli esterni queste equazioni impongono l'uguaglianza tra più spostamenti. Si indicherà con Vi il numero di equazioni caratteristiche del vincolo. La complementarietà dei concetti di sconnessione e vincolo interni fa sì che:
Nel piano: S+Vi = 3
Nello spazio: S+Vi= 6
Limitando la trattazione al caso piano, le tipologie di vincolo interno/sconnessione possono essere ricondotte ai seguenti casi:
- Cerniera interna con n aste
- Doppio pendolo
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