Esame Meccanica del continuo

Generalizzazione del Problema della Flessione

Ipotesi: Sezioni Trave rimane piana sia per Trave Curva in campo elastico che per Travi rettilinee nel campo plastico.

Trave Curva

ki = 1/_Ri → Curvatura Iniziale

Lo Trave nello stato iniziale può trovarsi in due condizioni.

Trave Debolmente Curve

Raggio curvatura 1 ordine di grandezza maggiore alla sezione.

Trave Fortemente Curve

Raggio curvatura dello stesso ordine grandezza della sezione (Analitica Meccanica).

Flessione

Quindi partiamo già da una Trave Curvata; ora vediamo come questa si comporta se decidiamo di applicare un momento flettente Mx.

ki = 1/_Ri

kf = 1/_Rif

Considerando un generico cavo di Pare, facciamo le seguenti ipotesi:

• Due rimuovere un piano.

Solitizzando il cavo di Pare notiamo che le forze (... saranno più rigide (polarizzate) rispetto (... all'esterno

Σ_z = ΔL_εi

Δz - Σ_zz

• Sono una compressa forte (...
• Avessimo una (...

⇒ Una forma maggiore rispetto (...

d: distanza asse neutro e asse bancentr

(Determinato ponendo N = 0)

Mx = E σ_rd_A = E σ_rd R_i r_A = εd K r_i A d

Definizio :

J_z^{^} = R_i A d → Mx = E d K J_z^{^}

Dal legame costitutivo

εz = E d K y = Mx Ȳ 3x

1 4 k i y 1 4 k i y

Questo mi dice che a differenza delle travi rettilinee in cui si

svolge un diagramma a parabole, nel caso delle travi

curve il grafico non è un'inteme in quanto compare

y_y e numeratore e denominatore

Questo vuol dire che:

• Tensioni diminuiscono nel lato verso il centro della curvatura e usare le classiche prove di Navier condurre ad un errore di sottostima tensioni del 25 + 30 %
• Tensioni diminuiscono dal lato opposto della curvatura

Asse - flessione elastico plastica

• Inserire una vite a_NL e una quando appico uno sforzo normale (N ≠ 0).

In questo caso si ha un atto simmetrico. In questo caso la presenza di uno sforzo normale (la risultante non è nulla) implica che considerando il polo rispetto al cuore calcoliamo il momento stesso.

In asse neutro e manteniamo calcolato sull'asse neutro una base monolitica. Si voglia configurare quindi come vado il momento a resistere e uno sforzo normale deve avere l'uso necessario per fare i calcoli e rimane sempre fisso.

Quindi M_u vale:

• M_u = ∫_A⁺∫_A^- y^'da - Δs ∫_A^- y^'dA = Δs (S⁺x - S^-y).

Usando lo sforzo normale:

• A = A⁺ + A^-
• N / Δs = A⁺ - A^-

• A⁺ = 1/2 (A + N / Δs)
• A^- = 1/2 (A - N / Δs)

Approccio alternativo:

• Descrizione una genitiva configurazione con posizioni asse neutro e y_n del baricentro. Trovato la posizione dell'asse neutro y_n con una funzione continuiamo y_n

BIPOLARIZZIONE A FORCHETTA SUBCRITICA

E(β) = 1/2 KL²sen(β)² - PL(1-cos(β)) = 1/2 KL²sen(β)² - PL(1-cosβ)

dE/dβ = 0 → KL²sen(β)cos(β) - PLsen(β) = 0

d²E/dβ² = KL²(cos²(β))/R - PLcosβ

per β=0 → KL = PL → P > KL → d²E/dβ² < 0 instabile

PL < KL → d²E/dβ² > 0 stabile

per β ≠ 0 → P(β) = KL cos 3 → d²E/dβ² = KCL⁶(cos(2β) - cos²(β)) < 0 sempre instabile

In forma matriciale:

_{⎡ (6K/L - ρ) -3K/L ⎤} ⎡ δ₁ ⎤ = ⎡ 0 ⎤

_{⎢ 3K/L (6K/L - ρ) ⎥} ⎢ δ₂ ⎥ ⎢ 0 ⎥

Kδ = 0

Configurazione NON sbanata ⇒ δ₁ = δ₂ = 0

Configurazione sbanata:

det[K] = 0 ⇒ ((6K/L - ρ)² - 9K²/L²) = 0

→ 36K²/L² - 12K/L ρ + ρ² - 9K²/L² = ρ² - 12K/L ρ + 27K²/L² = 0

{

    P₁ = 3K/L

    P₂ = 9K/L

Si ottengono 2 soluzioni che identificano 2 diversi punti di circonduzione

Se ne deduce che:

Per un sistema a N gradi di libertà ci sono N punti di circonduzione.

→ Il carico critico è quello più basso perché una volta arrivato lì ormai la mia configurazione è sbanda

P_cr = min{Pi} ⟹ P_cr = min{P₁,P₂} = P₁ = 3K/L

Per conoscere la forma della sbanda sostituire P₁ e P₂ nelle eq. di equilibrio

CASO I: P_cr = P₁ → 3K/L = 3K/L δ₂ = 0 → δ₁ = 0 δ₂ ≠ 0

CASO II: P_cr = P₂ → X/L = 3K/L - 3K/L δ₂ = 0 → δ₁ = -δ₂

Aggiungendo uno studio (un grado diminuito) diminuito il carico critico non si verifica più → K continua ad esistere ma essendo più alto di K₁ ha triplicato il carico critico

Riassunto: Cinematica in Grandi Spostamenti

Vogliamo studiare i moto al di là dei piccoli spostamenti e studiare la meccanica del solido in grandi spostamenti.

• Oggetto più importante: il parametro (per stabilire configurazione di riferimento per lo spostamento
• Nel contesto delle particolari interpretano la configurazione di riferimento che per un solido è la posizione iniziale.
• Nel metodo del punto è tutto governato dal riferimento (F) in maniera lucare perché stiamo nello stesso vettore e non avviene niente ma piccoli spostamenti.
• Abbiamo introdotto il tensore destro (C) e sinistro (B) di Cauchy–Green e il tensore di Green–De Saint Venant dal c'è id volume estensivo ma piccoli spostamenti del tensore ombra rappresentano indefinissimo (E)

Cose più importanti:

• Gradiente di deformazione (F)
• Deformazioni rilevanti
• Cambio osservatore galileiano
• Tensore dx e sa Cauchy–Green (C e B)
• Teorema di decomposizione polare (F=RU=VR)

cos_αf = γ

Primo abbiamo visto che: E_n = |F_n| - 1 ⇒ |f_ni| = E_n + δ

def_f: arccos

Sostituendo gli angoli nella formula di γ_nm

Altro costruiamo la definizione di C:

Variacioni di Volume

• coefficienti di variazione di Volume multidimio ad punto

Prima di vettori e₁, e₂, e₃ non compani nel'intorno di p: per le regole del productto misto

Ricordando che il determinante di una applicazione lineare è il rapporto tra volume finale e initale in mai

Rappresentare in componenti

F = R U = V R^T V = R U R^T

U = R^T V^T = U^T V R

C = U^T U = R^T V^T V R = R^T V V R = R^T B R = R^T B R

B = C = R^T C R

Siano λ_n autovalore ed autovettore di C

Cη = λη

Moltiplicando per R entrambi i membri

RCη = λRη = RCη = R Cη = R U^T R η = C Rη

Cη = B Rη _autoinversa

• Rη = η
• B Rη = η

Inoltre C = B hanno gli stessi autovalori e quindi la ricerca lineare si fa sulle diagonali in questo perchè possiamo fare

i₂ = Tr(C) ± Tr(B), i₂ = 1/2 [(tr(C)²) ± tr(C)],

i₂ = 1/2 [(tr(B)²) − tr(B)],

i₂ = det(C) = det(B)

mentre gli a tuovalori di B non sono altro che gli inversori di C ruotati da R

INDIZIONE DEL PROBLEMA DI DECOMPOSIZIONE RLUKE

F_R = RU -> R = F ⁻¹ R

U considerato che ∀ simmetrica e positiva e la sua inversa è unica dec.

U = R_2^-1 U_1^-1 = Ω = I