Riassunto esame Meccanica dei Continui e delle Strutture

Meccanica dei continui

Statica del continuo

Tensore di Cauchy

θ = sforzo di Cauchy, forza per unità di superficie necessaria ad assicurare l’equilibrio al corpo continuo, è una funzione della posizione. Le componenti del vettore sforzo sono riferite ciascuna ad una direzione della terna di assi coordinati; ogni componente θ è un vettore individuato a sua volta da α₁, α₂, α₃.

Componenti cartesiane:

• Primo indice indica la direzione della normale alla giacitura su cui agisce lo sforzo
• Secondo indice indica la componente considerata

1Tθ = n * θ, trovo la componente di θ lungo la direzione parallela a n → α₁₁.

12Tθ = n * θ, trovo la componente di θ lungo la direzione parallela a n → α₂₂.

22Tθ, n * θ, trovo la componente di θ lungo la direzione perpendicolare a n e → α₁₂ = α₁.

21Tθ, n * θ, trovo la componente di θ lungo la direzione perpendicolare a n e → α₂₁ = α₂.

Relazione di Cauchy: θ = θ * n.

Teorema di coniugazione degli sforzi tangenziali: il tensore di Cauchy è una matrice simmetrica (la dimostrazione avviene considerando l’equilibrio del corpo, cioè uguagliando la risultante dei momenti a 0).

Direzioni principali di sforzo e sforzi principali

Diagonalizzando la matrice del tensore degli sforzi attraverso la risoluzione del polinomio caratteristico trovo:

• Autovalori s₁, s₂, s₃ (sforzi principali)
• Autovettori n₁, n₂, n₃ (direzioni principali), direzioni della terna tale per cui le componenti tangenziali dello stato di sforzo sono nulle; assumendo tale terna come sistema di assi cartesiani il vettore sforzo ha direzione coincidente con quella normale alla superficie; sono sempre tutti reali perché il tensore è simmetrico; sono sempre tutti ortogonali tra loro.

Nel polinomio caratteristico: s³ - s²I₁ – sI₂ – I₃ = 0

I₁, I₂, I₃ rappresentano gli invarianti del tensore degli sforzi al variare dell’orientamento della terna x, y, z, tutte le componenti della matrice del tensore degli sforzi assumono valori differenti, mentre I₁, I₂, I₃ rimangono invariate.

• I₁ = tr(θ)
• I₂ = -(θ₁₁*θ₂₂ + θ₂₂*θ₃₃ + θ₃₃*θ₁₁) + τ₁₂ + τ₂₃ + τ₁₃
• I₃ = det(θ)

Cerchio e arbelo di Mohr

Considerando il fascio di piani il cui versore n è perpendicolare a una componente della terna, trovo una direzione principale nulla. Calcolando la risultante delle forze nelle altre due direzioni, trovo che i punti del piano θ-τ descrivono una circonferenza:

• C = (s₁-s₂)/2
• R = (s₁-s₂)/2 + τ₁₂

Cerchio di Mohr: fornisce una rappresentazione bidimensionale dello stato di sforzo. Il raggio rappresenta il valore della tensione tangenziale massima nel piano.

Convenzione di Mohr: dalla rappresentazione dello stato di sforzo del cubetto orientato secondo il riferimento cartesiano, ricavo le coordinate dei punti del cerchio (θ, τ):

• θ (ascisse): sforzi di trazione positivi, sforzi di compressione negativi
• τ (ordinate): sforzi con tangente che ruota in senso orario positivi, sforzi con tangente che ruota in senso antiorario negativi

Identifico così nel cerchio i punti (θ, τ) A e B corrispondenti alle giaciture del cubetto. Nella rappresentazione di Mohr, gli angoli sono raddoppiati: due giaciture realmente perpendicolari (90°) nel cerchio di Mohr sono identificate da due punti diametralmente opposti (180°).

L’arcotangente dell’angolo formato tra il diametro che collega i punti A e B rappresentativi delle giaciture e l’asse delle ascisse, identifica la particolare inclinazione per mezzo della quale riesco a disegnare le direzioni principali di sforzo, perpendicolari tra loro.

Nel cerchio di Mohr si identifica anche il polo delle normali N, che è dato dall’intersezione delle rette passanti per i punti A e B rappresentativi delle giaciture parallele agli assi. La congiungente di N con qualsiasi punto S del cerchio di Mohr forma con l’asse orizzontale un angolo pari all’inclinazione della giacitura cui si riferisce il punto del cerchio S.

È dunque possibile tracciare i cerchi di Mohr per i piani i cui versori sono perpendicolari anche alle altre due direzioni: i 3 cerchi ottenibili risultano tangenti a due a due in corrispondenza dei punti rappresentativi degli sforzi principali. Il cerchio più esterno è rappresentativo degli stati di sollecitazione più “faticoso”, al cui raggio corrisponde la massima tensione tangenziale (τ max).

Tutte le altre possibili coppie di θ e τ relative alle giaciture non facenti parte dei tre fasci rappresentati dai cerchi di Mohr sono comprese all’interno dell’area delimitata tra i 3 cerchi.

Arbelo di Mohr: l’arbelo di Mohr contiene cioè tutte le possibili giaciture che possono emergere. Lo sforzo tangenziale massimo nello spazio si trova calcolando il raggio del cerchio più esterno dell’arbelo di Mohr.

Tipologie di stato di sforzo

• Generico: s₁=/s₂=/s₃ stato di sforzo - esistono autovettori perpendicolari tra loro, ciascuno corrispondente ad una direzione principale di sforzo
• Cilindrico: s₁=s₂=/s₃ stato di sforzo - il cerchio di Mohr avente per fascio la direzione s₃ degenera in un punto (disegno un solo cerchio) - l’arbelo di Mohr in questo caso è degenere e coincide con l’insieme di punti che stanno sul cerchio di Mohr più esterno; gli autovettori uguali rappresentano un piano perpendicolare al terzo autovettore e risultano indeterminati (l’indeterminatezza si risolve normalizzando).
• Sferico/idrostatico: s₁=s₂=s₃ stato di sforzo - tutti i cerchi di Mohr degenerano nello stesso punto; non si può distinguere una direzione nello spazio perché tutte le direzioni sono direzioni principali di sforzo.
• Piano: esiste almeno uno stato di sforzo principale nullo - le componenti del tensore sono contenute unicamente nel piano individuato da S_x=0 - i cerchi dell’arbelo di Mohr in questo caso passano per l’origine degli assi - caso particolare: tensione puramente tangenziale (torsione pura).
• Tridimensionale: tutti gli stati di sforzo principali sono diversi da 0.

Forze interne = sforzi; forze esterne = forze volumetriche (b) e forze superficiali (f sul contorno caricato e r sul contorno vincolato).

Equazioni di equilibrio

Equazioni alle derivate parziali mettono in relazione sforzi interni e forze esterne: 3 equazioni vettoriali in 6 incognite, sono “indefinite” perché vengono completate dalle equazioni al contorno.

Equazioni di equilibrio indefinite sul volume V (legame sforzi-forze di volume):

dθ₁/dx₁ + dθ₂/dx₂ + dθ₃/dx₃ + b = 0 (derivata di θ in de x + b = 0)

Equazioni al contorno sul contorno µ (legame sforzi-forze superficiali):

θ * n = f

Cinematica del continuo

Configurazione e spostamento

X: configurazione iniziale

x: configurazione finale

u: vettore spostamento

Spostamento: x = X + u, u = x – X

Deformazione: dx = F dX, F = dx/dX = I + λ (tensore gradiente di deformazione: matrice che contiene derivate parziali di x in dX)

Trasformazioni di linee, aree e volumi

tC = F * F = 2E + I (tensore destro di Cauchy: matrice simmetrica)

λ = ds/dS = radice di (N * C * N), rapporto di allungamento (maggiore, minore o uguale a 1)

λ = 1: nessuna deformazione ma trasformazione rigida (o traslazione o rotazione)

λ utile per capire la direzione finale dell’allungamento della fibra (n = 1/λ * F * N)

J = dv/dV = detF, rapporto volumetrico (maggiore, minore o uguale a 1)

Misure di deformazione

E = ½ (C-I) tensore di deformazione di Green-Lagrange / tensore delle grandi deformazioni; matrice simmetrica;

Significato geometrico delle componenti del tensore di Green-Lagrange

Le componenti ad indice uguale di E rappresentano una misura dell’allungamento di una fibra disposta secondo direzioni parallele agli assi coordinati; le componenti di E ad indici disuguali rappresentano una misura dell’angolo formato fra due fibre inizialmente disposte in direzioni perpendicolari.

λ = du/dX (tensore gradiente di spostamento: matrice che contiene derivate parziali di u in dX)

λ = λ_simm + λ_asimm

• λ_simm: parte simmetrica si riferisce alle variazioni di volume e forma
• λ_asimm: parte antisimmetrica si riferisce alle rotazioni rigide

Tensore delle piccole deformazioni

tensore delle grandi deformazioni: E = ½ (λ + λ^T + λ * λ^T)

tensore delle piccole deformazioni: ε = ½ (λ + λ^T)

ε = λ_simm rappresenta la parte simmetrica del tensore di spostamento λ e si riferisce alle variazioni volume e forma.

ε = (ds – dS) / dS perché λ = 1 + ε allungamento fibr