Riassunto esame Meccanica dei Continui e delle Strutture

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLE COMPONENTI DEL TENSORE DI GREEN

LAGRANGE

Le componenti ad indice uguale di E rappresentano una misura dell’allungamento di

una fibra disposta secondo direzioni parallele agli assi coordinati;

Le componenti di E ad indici disuguali rappresentano una misura dell’angolo formato

fra due fibre inizialmente disposte in direzioni perpendicolari.

ɸ = du/dX tensore gradiente di spostamento: matrice che contiene derivate parziali



di u in dX

ɸ = ɸ + ɸ

simm asimm

ɸ parte simmetrica si riferisce alle variazioni di volume e forma



simm

ɸ parte antisimmetrica si riferisce alle rotazioni rigide



asimm

TENSORE DELLE PICCOLE DEFORMAZIONI

t t

tensore delle grandi deformazioni: E = ½ (ɸ + ɸ + ɸ * ɸ)

t

tensore delle piccole deformazioni: ε = ½ (ɸ + ɸ )

ε = ɸ rappresenta la parte simmetrica del tensore di spostamento ɸ e si



simm

riferisce alle variazioni volume e forma.

ε = (ds – dS) / dS perché λ = 1 + ε allungamento fibra parallela assi



11 11

coordinati

ε = cos (α ) / 2 dove α = angolo compreso tra fibre deformate inizialmente

12 12 12

perpendicolari scorrimenti angolari



COMPONENTE DEVIATORICA E VOLUMETRICA DELLA DEFORMAZIONE

ε = (σ/3) * I + e

σ = (dv – dV) / dV scalare, componente deviatorica del tensore delle piccole



deformazioni

e tensore, componente volumetrica del tensore delle piccole deformazioni (tr(e) =



0)

equazioni di congruenza esterna

equazioni alle derivate parziali seconde miste

 mettono in relazione tra loro quantità cinematiche

 assicurano che al campo di deformazioni ε corrisponda effettivamente un campo di



spostamenti regolare (continuo e differenziabile)

6 equazioni vettoriali in 9 incognite (6 per la deformazione ε e 3 per la traslazione



u)

ε = ½ (du /dX + du + dX )

ij i j j i

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

lavoro esterno = lavoro interno

- = condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio del continuo

- relazione integrale: vale globalmente

- di tipo energetico

- indipendente dalla natura del materiale di cui è costituito il continuo

- non risolve sbilanciamento equazioni-incognite tra cinematica e statica

- si estende anche all’ambito delle grandi deformazioni

LEGAME COSTITUTIVO

comportamento elastico

 mantiene una configurazione indeformata quando non è sottoposto a

o alcuna azione esterna;

lo sforzo dipende solo dal valore finale della deformazione θ = θ(ε)

o reversibile e conservativo

o

lineare = proporzionalità tra deformazioni applicate e sforzi agenti nel punto

 isotropo = assenza di direzioni principali di comportamento



LEGAME ELASTICO LINEARE

Il comportamento di molti materiali elastici almeno nella prima fase del processo

lineare,

possono essere approssimato come per cui nel caso pluriassiale si ha:

θ = D * ε

ij ijkl kl

ENERGIA DI DEFORMAZIONE

ω(ε) = integrale di linea ε di θ (ε ) *dε



(da 0 a ij) ij

ij kl

- dipende solo dal valore finale della deformazione

- nel caso uniassiale è rappresentata dall’area sottesa alla curva θ-ε

integrando = differenziale esatto

θ (ε ) *dε dω

ij =

ij kl

θ = derivata di ω in de ε ij

ij

lineare

dato che il legame è questa relazione deve produrre necessariamente il

 legame elastico diretto θ = D * ε

ij ijkl kl

ciò avviene quando si verifica la simmetria delle derivate parziali di D che è

 dunque condizione necessaria e sufficiente

Attraverso i 3 ordini di simmetria seguenti:

- simmetria del tensore degli sforzi di Cauchy Dijkl = Djikl



- simmetria del tensore delle piccole deformazioni Dijkl = Dijlk



- simmetria delle derivate parziali di D Dijkl = Dklij



lineare

il legame elastico diretto diventa:

θ = D * ε

il tensore Dijkl da 81 parametri passa ad averne solamente 21 indipendenti

 θ e ε non sono più matrici ma vettori di 6 componenti

 D è una matrice 6x6 simmetrica

 lineare

Nel caso l’energia di deformazione ω si esprime in forma quadratica ω = ½



t

ε * D * ε

ENERGIA COMPLEMENTARE

γ(θ) = integrale di linea di ε (θ ) *dθ



(da 0 a θij) ij

ij kl

lineare

Nel caso l’energia complementare γ si esprime in forma quadratica γ = ½



t

ε * D * ε lineare

Nel caso e uniassiale coincide numericamente con ω.

lineare

È possibile trovare dunque il legame elastico inverso perché c’è relazione

biunivoca tra sforzo e deformazione dovuta alla dipendenza lineare tra i due

considerata: ε = derivata di γ in de θ ij

ij ε = a * θ

dove a rappresenta la matrice inversa di D, con le medesime caratteristiche di D

LEGAME ELASTICO LINEARE ISOTROPO

isotropo

Nel caso lineare elastico

il legame costitutivo è indipendente dal sistema di riferimento

 non ci sono direzioni di deformazione preferenziali

 i parametri indipendenti di D si riducono a 2

 si possono utilizzare due diverse combinazioni di costanti per rappresentare i

 legami elastici:

λ e G costanti di Lamè



v e E costanti ingegneristiche



direzioni principali di deformazione e sforzo coincidono



Le costanti ingegneristiche si possono ricavare sperimentalmente tramite la prova in

trazione:

E = modulo elastico di Young (sforzo) θ/ε pendenza iniziale del diagramma θ-ε

 

v = coefficiente di Poisson (adimensionale) -ε /ε ordinata all’origine del grafico θ-

 

t

ε

G = modulo di elasticità tangenziale 

Relazione tra le costanti

λ = (E*v) / [(1+v)*(i-2v)]

G = E / [2*(1+v)]

E = [G * (3λ + 2G)] / (λ+G)

v = λ/ [2*( λ+G)]

Limitazioni delle costanti

E > 0

0 < v < ½

G > E/3 isotropo

Legame elastico lineare diretto θij = λ tr(ε)*δij + 2Gεij



isotropo

Legame elastico lineare inverso εij = (-v/E) tr(θ)*δij + (1+v)/E*θij



Altro modo per scrivere il legame costitutivo

Deformazione ε

= parte volumetrica (tr(ε)/3) *I + parte deviatorica E’

dove E’ è il deviatore delle deformazioni (no green Lagrange, no modulo di Young)

Sforzo θ

= parte idrostatica p*I + parte deviatorica S

dove p pressione idrostatica = (tr(θ)/3)

isotropo:

Legame costitutivo

p = K* 1/3tr(ε) K modulo di comprimibilità mette in relazione le parti

 

volumetriche

S = 2G*E’ G modulo di elasticità tangenziale mette in relazione le parti

 

ij ij

deviatoriche

Modulo edometrico H = [E*(i-v)] / [(i+v)*(i-2v)] si ricava dalla prova di



compressione confinata

PROBLEMA DI DE SAINT VENANT

Ipotesi:

- materiale

elastico

o lineare

o isotropo

o omogeneo (E modulo di young costante)

o

- privo di:

vincoli

o forze di volume

o forze di superficie sulla superficie laterale

o

Vale il Principio di equivalenza elastica:



Ciò che accade a una distanza sufficientemente lontana dalle basi di applicazione

delle forze superficiali è equivalente a ciò che accade sulla stessa sezione del solido

quando alle sue basi sono applicate delle risultanti efficaci delle forze di superficie,

che si ricavano tramite il metodo semi-inverso.

risultante asse x azione assiale N



risultante asse z momenti flettenti M



risultante asse y taglio T



Nel problema di De Saint Venant il sistema di riferimento considerato è un:

sistema baricentrico (assi coordinati passano per il baricentro)

 sistema principale di inerzia (momento di inerzia misto nullo)



La soluzione complessiva del problema elastico è data dalla sovrapposizione delle

risultanti dei singoli casi considerati.

AZIONE ASSIALE N

ipotesi statiche:

θ (y, z) oggetto sollecitato solo in direzione x

 

xx

non ci sono sforzi tangenziali



applico le equazioni governanti della statica:

equazioni di equilibrio sul volume verificate con identità



equazioni al contorno scarico (sup. laterale) verificate con identità



equazioni al contorno caricato (basi) verificate θ = f

  xx xx

ipotesi cinematiche:

ε = k deformazione costante lungo l’asse x

 

xx

non ci sono scorrimenti angolari



applico il legame costitutivo ricavo θ = k*E

 xx

devono esser soddisfatte le relazioni:

I. integrale di fx*dA = N

II. integrale di fx*z*dA = My = 0

III. integrale di fx*y*dA = Mz = 0

I. eq. soddisfatta per k = N / (E*A)



II. e III. eq. soddisfatte grazie alle ipotesi del problema di De Saint Venant: sistema

baricentrico

ottengo dunque: θ = N/A

xx

ε = N / (E*A)

xx

ε = ε = - (v/E) * (N/A)

yy zz

l’asse neutro non esiste

FLESSIONE RETTA Mz

ipotesi statiche:

θ (y, z) oggetto sollecitato solo in direzione x

 

xx

non ci sono sforzi tangenziali



applico le equazioni governanti della statica:

equazioni di equilibrio sul volume verificate con identità



equazioni al contorno scarico (sup. laterale) verificate con identità



equazioni al contorno caricato (basi) verificate θ = f

  xx xx

ipotesi cinematiche:

ε = ky deformazioni orizzontali non costanti ma dipendenti linearmente da y

 xx

non ci sono scorrimenti angolari



applico il legame costitutivo ricavo θ = k*E*y

 xx

devono esser soddisfatte le relazioni:

I. integrale di fx*dA = N = 0

II. integrale di fx*z*dA = My = 0

III. integrale di - fx*y*dA = Mz

II. eq. soddisfatta per k = - Mz / (E*I )

 zz

I. e III eq. soddisfatte grazie all’ipotesi del problema di De Saint Venant: sistema

baricentrico

ottengo dunque: θ = - y * (Mz / I )

xx zz

ε = - y * Mz / (E*I )

xx zz

ε = ε = y * (v/E) * (Mz/I )

yy zz zz

asse neutro (θ = 0)

xx

baricentrico



perpend