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Def. Funzione Iniettiva, Suriettiva, Biiettiva
- ϕ si dice Iniettiva se:
(∀x∈A)(∀x'1∈A)((x≠x'1 ⇒ ϕ(x)≠ϕ(x'1))
oppure
(∀x∈A)(∀x'1∈A)(x≠x'1 ⇒ ϕ(x)≠ϕ(x'1))
(Legge della contronominale)
In termini di equazioni ci può essere al massimo una soluzione ∀y
- ϕ si dice Suriettiva se:
(∀y∈B)(∃x∈A)(ϕ(x)=y)
oppure
(∀y∈B)(∃x∈A)(ϕ(A)=B)
In termini di equazioni ci deve essere almeno una soluzione ∀y
- ϕ si dice Biiettiva (se è entrambe sia suriettiva che iniettiva) se:
(∀y∈B)(∃!x∈A)(ϕ(x)=y)
oppure
(∀y∈B)(∃!x∈A)(ϕ(A)=B)
In termini di equazioni ci deve essere esattamente una soluzione ∀y
E importante applicazione: biiettività in geometria
Il piano euclideo, d(P, Q) distanza euclidea tra P e Q in ∀ ℝ2 è una isometria ogni applicazione T: ℝ2 → ℝ2 che conserva le distanze cioè T : C → C
∀P, Q ∈ ℝ: d(T(P), T(Q)) = d(P, Q)
Un'isometria è necessariamente biiettiva e la sua inversa è anche un'isometria (è isometria ogni rotazione e movimento rigido del piano traslazioni, simmetrie assiali e centrali).
Definizione: Funzioni Composte
Siano f: A→Φ e g: B→\C due funzioni t.c. il codominio della prima è uguale al dominio della seconda.
Si definisce funzione composta di f e g e si indica con g o f: A→C t.c.
- (∀x∈A) (g∘f)(x) = g(f(x))
Def/oss: Funzioni Inverse
La funzione inversa di φ è definita come φ⁻¹: B→A t.c. ∀ y ∈ B. φ⁻¹(y) è l'unica soluzione di φ(x)=y.
Sia φ: A→B biettiva e φ⁻¹: B→A l'inversa. Allora
- (∀x∈A) (∀y∈B) (φ(x)=y ⇔ φ⁻¹(y)=x)
Si ha infatti:
- φ(x)=y ⇔ ∃ z φ⁻¹(φ(x))=φ⁻¹(y) ⇔ x = z⇐⇒ x = φ⁻¹(y)
- φ⁻¹(y)=x ⇔ ∃z φ(φ⁻¹(x))=φ(x)=y⇐⇒ x=φ(x)
Def: Funzione Invertibile
Una funzione si dice invertibile se è iniettiva e si definisce come segue
- φ⁻¹: φ(A)→A
- ∀ y ∈ φ⁻¹(A): φ⁻¹(y)=x → unico elemento di A t.c. φ(x)=y
Attenzione:
Se voglio cambiare una funzione da iniettiva a biettiva devo identificare l'immagine e cambiare il codominio.
Proprietà numeri naturali
- (ℚ, +, ., ≤) campo totalmente ordinato e completo (o continuo)
- ℕ in ℚ è il più piccolo sottoinsieme induttivo di ℚ
Principio di induzione (1° forma)
Sia A⊂ℕ t.c.
- 0 ∈ A
- ∀n ∈ ℕ: n ∈ A => n+1 ∈ A
Allora A = ℕ
Principio di induzione (2° forma)
Sia P(n) un predicato su ℕ con n variabile libera
Supponiamo che
- P(0) è vera [base dell'induzione]
- ∀n ∈ ℕ P(n) => P(n+1) [passo induttivo]
Allora P(n) è vera ∀n ∈ ℕ
Prop numeri naturali
- ∀n ∈ ℕ: 0 < n => 1 (0 un non naturale)(0 ≠ 1)
- ∀n ∈ ℕ: S(n) ≠ n
- ∀m ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ: m = n => n ∈ ℕ
- ∀m ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ: m ≠ n
- ∀m ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ: m ≠ n => < m-n ∈ ℕ
Prop numeri naturali
- m ∈ ℕ n ∈ ℕ: ∃ m φ(x2)
Def. FUNZIONI MONOTONE, STRE MONOTONE
Una funzione crescente o decrescente si dice MONOTONA
Una funzione strettamente crescente o decrescente si dice STRET MONOTONA
In questo caso possiamo dire che φ è iniettiva e quindi invertibile
Def. INVERSA DI FUNZIONI MONOTONE
Sia φ: A ⊆ IR strettamente monotona. Allora si può considerare φ-1: φ (A) ⊆ IR e risulta:
- φ strett. cresc. ⇒ φ-1 strett. cres
- φ strett. decrescente ⇒ φ-1 strett. decrescente
FUNZIONE LOGARITMO
È l'inversa della funzione esponenziale e si denota con loga.
loga: (ℝ*+) → (ℝ)
loga(x1·x2) = loga(x1) + loga(x2)
- loga è strettamente crescente se a ≥ 1 e strettamente decrescente se a < 1
- loga(expa(x)) = x ∀ x ∈ ℝ (logaax = x)
- expa(loga(x)) = x ∀ x ∈ ℝ*+ (alogax = x)
- logabx = x logab ∀ x ∈ ℝ ∀ b ∈ ℝ*
(b = alogab ⇒ bx = (alogab)x = ax·logab = expa(x logab))
=> logabx = x logab)
FUNZIONE POTENZA CON ESPONENTE REALE
- Pα: ℝ+ → ℝ Pα(x) = xα se α > 0
- Pt: ℝ* → ℝ Pt(x) = xt se t ∈ ℝ*
Proprietà:
(i) Essere scritta in termini di log e exp. Infatti loga(x) = t logax = xα = expa(t logax)
Pt = exp o φα o log φα(t) = dt
Quindi
- (ii) Pα è strettamente crescente se α > 0 e strettamente decrescente se α < 0
- (iii) Pα(ℝ*+) = exp(Pα(log(ℝ*+))) = exp(φα(ℝ)) =
= exp(ℝ) = ℝ*+
DEF. LIMITE
Sia A ⊂ ℝ e ϕ: A → ℝ. Sia xo ∈ ℝ un p. di accumulazione per A e l ∈ ℝ. Si dice che l è limite di ϕ(x) per x che tende a xo e si scrive
ϕ(x) → l per x → xo oppure lim ϕ(x) = l x → xo
se ∀ V intorno di l ∃ U intorno di xo t.c. ∀ x ∈ (U ∩ A \ {xo}) ∶ ϕ(x) ∈ V
A xo ∈ Λ(Σ\{xo}) possiamo scrivere la condizione di limite così:
∀ V intorno di l ∃ U intorno di xo t.c. ϕ((U ∩ A \{xo})) ⊂ V
OSS. LIMITE
U ∩ A ≠ ∅ perchè xo è punto di acc. per A
DEF. LIMITI SPECIALIZZATI (xo ∈ l o l sono finiti, o ±∞)
- Caso l ∈ ℝ, xo ∈ ℝ
- (i) lim ϕ(x) = l x → xo
- (ii) ∀ ε > 0 ∃ U intorno di xo t.c. ∀ x ∈ U ∩ A xo ∶ |ϕ(x) - l| < ε ⟹ ϕ(x) ∈ l-(ε, l+ε)
- Caso l ∈ ℝ, xo ∈ ℝ
- (i) lim ϕ(x) = l x → xo
- (ii) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ A ∶ 0 < | x-xo | ≤ δ ⟹ |ϕ(x) - l| ≤ ε
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