Esame di fisica sperimentale - parte 2

Quantità di moto e impulso di una forza

F = m a

F = m ₀ γ³ a

Se m varia nel tempo: F = d/dt (m v) = m dv/dt

P = _pp²/_t

P = m v, quantità di moto

1 equazione cardinale della dinamica

dp/dt = F

Δp = ∫_ti^tf F dt = ∫_ti^tf ΔJ

Impulso della forza

ΔP= ∫^tf_ti F(t) dt = J

Teorema dell'impulso

m_a v_a = m_b v_b

ΔP = m_a Δv_a

Se F(t) = F

Se F = 0 => ΔP = 0

Conservazione della quantità di moto

Momento angolare

L_Ω = R x P = R x m v

Momento angolare rispetto a Ω

|L_Ω| = |R| |P| sinθ

Moto Circolare

L_z = r x m v_T = m r v_T sin 90° = m r v_T

ω_T = v_T / r → v_T = ω_T r

L_z = m r² ω_T

Moto Circolare

L_z = m r² ω

Momento di una Forza

d/dt (L_z = r x m v)

= d/dt (r x p) = d r/dt x m v + r x d/dt (m v)

= v x m v + r x F

Se ω = cost (r x ω = 0)

d/dt (L_z) = d (r x p)/dt

= r x F

Momento di F rispetto a O

M₀ = r x F

M₀ = d/dt (L_z)

Equazione Cardinale della Dinamica

ω_z = 0 → d/dt (L_z) = 0

Conservazione Momento Angolare

ΔL_z = 0

L₁ = m R₁² w₁ &hat;u_z

L₂ = m R₂² w₂ &hat;u_z

v_T = der² = R₂² w_z

w₂ = w_z R₂² / R₂² = w₁

Centro di Massa

Sistemi di Punti Materiali

Centro di Massa: punto geometrico, somma pesata delle posizioni delle masse

_CM = (m₁_₁ + m₂_₂ + ... + mₙ_ₙ) / m₁ + m₂ + ... + mₙ

= Σ m_ii / Σ m_i

_CM = d_dt = Σ m_i d_i / dt = Σ m_{i i} = _TOT / Σ m_i = _TOT / M_TOT

_CM = _TOT / M_TOT

_TOT = ^CM M_TOT

_CM = d^dt² = Σ m_i d_i / dt = Σ m_{i i} = / M_TOT

accelerazione centro di massa

Dinamica dei Punti Materiali

_INT secondo il 3° principio della dinamica

_INT = Σ_i=1 ^N F_i ^INT = F₁₂ + ₂₁ + ... = /

^EST interazioni del sistema con l'esterno

ex.

_INT = _AB + _BA = /

^EST = _PA + _PB + ^N = /

Energia Cinetica

E_M = E_K + E_P

E_K = ∑_i 1/2 m_iu_i²

E_P = ∑_i E_Pi

ΔE_M = ΔE_K + ΔE_P

E_K = E_Ki + 1/2 m_TOTU_CM²

ΔE₀ = 0

3 Categorie

• Urto Elastico: si conserva P₀, si conserva anche E_K (anche E_M)
• Urto Anelastico: si conserva P₀, non si conserva E_K
• Urto Completamente Anelastico: si conserva P₀, non si conserva E_K, i due corpi sono attaccati dopo l'urto anelastico

Urto Completamente Anelastico

P₀ si conserva, E_K non si conserva

P̅ = (m₁u₁ + m₂u₂)

P̅ = (m₁ + m₂)U̅_CM => (m₁ + m₂)U̅_CM = m₁U̅₁ + m₂U̅₂

ΔP̅ = 0

U̅_CM = (m₁U̅₁ + m₂U̅₂) / (m₁ + m₂)

E_K = 1/2 m₁U̅₁² + 1/2 m₂U̅₂² = E_K' + 1/2 (m₁+m₂)U_CM²

E_Keq = 1/2 (m₁+m₂)U_CM²

ΔE_K = -E_K' < 0

Moto di rotazione attorno ad un asse fisso (no traslazione)

dω = ω₀ αdω

∫ωtot = ∫αdt

Momento angolare totale

dLz = l × dm ⋅ z

|dLz| = l ⋅ dm ⋅ v

dlz = ωR²dm

Lz = ω∫R²dm = ω∫R²ϱdV

Lz = ω ⋅ Iz

Iz = ∫ (P ⋅ ω ⋅ dm)

Iz = tendenza del corpo ad opporsi ai cambiamenti di moto rotatorio rispetto ad un asse z.

Osservazioni sulla rotazione attorno ad asse fisso

• Iz e Lz non dipendono dal polo scelto sull’asse (Lz dipende dal polo P)
• In generale L’ non è parallelo a ω (L = Lz + L’n)
• Quando ω è un asse di simmetria del sistema → L’n = 0 e L = Iz ⋅ ω

1. CM in ω
2. P qualsiasi punto simmetrico rispetto a ω con la stessa massa

dLz si annullano

dlz si sommano

Rototraslazione senza strisciare

= + + ×

Condizione di puro rotolamento

= 0 => + × = 0 => = - × || =

Dinamica puro rotolamento

I Eq Cardinale = -

II Eq Cardinale = => = =

Osservazioni

• = => = ×
• = - × + => =
• - = => × = 0
• - = 0 => × = 0