Equazioni del I ordine semilineari

EQUAZIONI SEMILINEAR

ORDINE

I

DEL

(m(x t)Mx f(x t)

d(X

Mt + = ,

,

d Mo(x)

=

,

EQUAZIONI ORDINE LINEARI

I

DEL NON

IMMMTOXA Te

EQUAZIONI DELLE ONDE

OMOGENEA

I Mtt-c'Mxx to

XEIR

0

= +

, MIXiH-[g( ghy

g(x-ct)]

SOLUZIONE ch

g(x)

u(X XEIR :

d) +

+

=

, h(x)

0) XEIR

Mt(x =

,

NON OMOGENEA t) FxER,f

I c'Mxx f(x

Met o

=

- , + +

, (s)

(t))

[[g(x

M(xH

d) Sol (t)

FXEIR g(x

g(x) :

u(x + +

= = -

, VXER

d) u(x)

(X

M =

+ ,

EQUAZIONE DEL CALORE

DIRICHLET

CAUCHY 0XL =

Mt-DMxx

& to

0

= ,

, (

d M(xit)

L

u(x g(x) Sol :

= =

x

0

=

, !

t)

M((

M(0 70

H 0

=

=

, , E cos(x)dx

f(x)

On =

CAUCHY-NEUMANN =

0

I f(x t

Ut DMxx =

- , ! cos(x)

Soli MIxH)

d)

M(x g(x)

=

, +)

Mx(

Mx(H) =

= , = )

dxg(x(os(

***

an

STAZIONARIA

GENERALE

CASO E SOLUZIONE

I trovo

Pongo-DMxx f(x)

f(x) Us

1

. Us"

DMxx

Mt = Ms

=

= = =

- Sbuseu

d) (

g(x) risolvo

vixH)

u(x UKit)

Trovo

2

= =

= =

, .

H

M(L

H) t)

M(0 3 t)

ML v(x

Mo Ms

M(X +

= = =

, , , ,

, .

(1, Ms(x)

g(x)

v(x d) = -

,

t)

v(0 0

=

, o

= -MS(x))-GHexIgekle

H1 (M(x

CONVERGENEA 1)

10s(x

STIMA VELOCITA :

DI : ,

,

ERUAZIONI DI LAPLACE E POISSON (LAPLACE)

UNITARIO

PROBLEMA NEL DISCO

DIRICHLET

DI

le tity

0

= , y"

x2 2

+ =

, (POISSON)

PROBLEMA UNITARIO

DIRICHLET NEL

DI DISCO

= + xty

, x 1

+ y' =

,

coordinate polori beVoo 0)

UpptUp

Passiomo F(p

1 in I +

: = ,

. V(1 G(0)

0) =

,

di cosmal

Scrivo fe serie sensma

C e

in

. di [R" R-A -MB

(R"

Risolvo le +

Eulero

equazioni

3 : cossma :

. sensmo : e limitate

R(1) limitate R(1) 3m

R

Om

= =

, .

" W BM

Mt

Am

CapM I Cpm

R(p)

R(p) e

S ne

+

+

= =

R(2)

R(2) Pu

Om

= =

Helto o

Ucp

Insieme

↑

. in ,

Scrivo r(p(x y)

u(x /1)

0/x

3 y) = ,

, ,

,

.

PROBLEMA ANELLO (LAPLACE)

DIRICHLET UN

IN

DI estra

(Uly 0

= ,

Ty

f

u = coordinate polori

Posso

2 in

. di cosmo) seulmol

gche f

Sviluppo serie e

sie

2 in

. P

R"tR'-R

Risolvo

3

. Me

: = I

(n)- AmBm

Risolvo

↑ Mio :

: m :

0

= / Amtr-mBm

um Cm

= am

um r-mDm

(m + = seum]

+[lAmp Dmp-m)

Bmp-m)cosmo (cmp

a) Bolng

Melto

5 Vip

Insieme in Ao +

+

+ +

=

,

. y)

Scrivo 0(x

y) V(p(x

6

. u(x y)

=

, ,

, ,

UNZIONI PERIODICHE

filR-IR

Def : di periodo

PERIODICA

delta To

è ,

Sef(x f(x) FxER

T)

+ = ,

T-periodico

Se f

:

Oss e , (2

FREN 3

allora fe nt-periodica 2

= , ...

Se f

Oss l-periodico

: e ,

h e-s-periodica

allore (5)

+

: =

T-periodico

Se f

Oss e

: ,

completamente del

restrizione intervallo 1)

: f 10

determinate tipo [0

delle

allove T]

è oppure

un

a

suo , ,

Intervello di

anche semiaperto lunghezza

[-]

o is

Date Fit0 T) ,

/R

<

, T-periodica fix f(x)

dato xEto

de T)

e

estensione T)

KER

IR ,

la +K

a

suo : = ,

,

T-periodico

OSS F e

: IR-IR ,

:

dove = (d

dx

Data f

Def b)

(0 R

:

: , (b):) (sel

f(af(x)

Siono e

f IR fIR

f-(b)

(d b)

Se ed Ff(a)

continue

: , ,

funzione t continua

estendere [0b)

possiamo

Allora su

a :

una

f(x) f(x) xt(0 b)

= ,

,

f(d

Fla) : =

f(b) f (b)

: = -

E .

Tde dif

chiamate estensione continuità

viene per

DISCONTINUITÀ PRIMA SPECIE

DI trelti

continue

20

Def ,

è

b)

% R a

:

: , punti

di

finito

di [a,b neb

tutti numero

f eccetto

continue punti 0xXe

se è i ...

un

in di punti

discontinuità mer

quali e

salto" questi

nei na cioscuno

cioe

una in

a ,

tre

Jeffitabre regre a

LEMHA (TEPREMA CALCOLO)

FONDAMENTALE DEL :

regolare tratti

b) continua

R

fito

Sia ,

e a

,

(dx f(b) f(a)

Allora = - tratti

ef fir-ar regolare

è o

: "

intervello

è

lo in ogni

se .