Elettrotecnica - principi di ingegneria elettrica

Ȳ

3.2 Algebra fasoriale

Le operazioni tra funzioni sinusoidali sono paragonabili ad operazioni tra i rispettivi fasori:

14 3.2. ALGEBRA FASORIALE

Derivare rispetto al tempo un fasore corrisponde a ruotarlo di nel piano Re Im:

≠

fi/4

3.2.1 Induttori in regime alternato

Dalla legge costitutiva degli induttori si ricava che:

Ô Ô

# $

di d ¯ ¯

= = 2 Re ( ) = 2 Re ( )

jÊt jÊt

v L L Ie jÊL Ie

dt dt ¯

perciò (t) = (t) e di conseguenza = (t).

v jÊL i V̄ jÊL I

L L L L

3.2.2 Condensatori in regime alternato

Dalla legge costitutiva dei condensatori si ricava che:

Ô Ô

# $

dv d

= = 2 Re ( ) = 2 Re ( )

jÊt jÊt

i C C V̄ e jÊC V̄ e

dt dt ¯

perciò (t) = (t) e di conseguenza = .

i jÊC v I jÊC V̄

C L L L

3.2.3 Bipoli in regime alternato

La generalizzazione della resistenza in regime alternato è un numero complesso chiamato “impedenza”,

Z̄

mentre il suo inverso viene detto “ammettenza”.

Ȳ

La parte immaginaria dell’impedenza Im( è un numero reale chiamato “reattanza”, mentre il suo

Z̄) X

inverso viene detto “suscettanza”.

B 15

CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA

Nel piano Re Im se il fasore della corrente ha sfasamento minore del fasore della tensione si dice (e

≠

normalmente senza specificare nulla ci si riferisce proprio alla corrente relativamente alla tensione) si

dice che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione, oppure che la tensione è in anticipo rispetto alla

corrente (conviene immaginare i fasori come lancette sull’ orologio).

Un circuito puramente resistivo lascia in fase e un circuito puramente induttivo tende a ritardare

v i,

mentre un circuito puramente capacitivo tende ad anticipare:

16 3.3. POTENZE IN REGIME ALTERNATO

3.3 Potenze in regime alternato

In generale la potenza è data da = perciò anch’essa (in regime sinusoidale) sarà una sinusoide

p(t) v(t) i(t),

che si annullerà ogni qualvolta si annulli o la tensione o la corrente (o entrambe).

Si nota che il valore medio della potenza (l’asse di simmetria della sua immagine) può non essere nullo: il

valore in questione viene detto “potenza attiva”; l’ampiezza dell’oscillazione della potenza viene invece

detta “potenza apparente”. ¯

Due generiche ed a cui corrispondono due generici fasori ed sfasati di generano una potenza:

v i, V̄ I „

Ô Ô

= = 2V cos(Êt) 2I cos(Êt (formule di Werner)

±

p(t) v i „)

= + cos(2Êt ±

V I[cos(„) „)]

= cos(„) + cos(Êt ±

V I A „)

= cos(„) + cos(„) cos(2Êt) sin(„) sin(2Êt)

±

V I A A

= + cos(2Êt) sin(2Êt)

±

P P Q

Si nota perciò che la generica potenza dipende da un valore “medio” e da due contributi variabili

P

formati da e (con segno variabile), che sono entrambi proiezioni cartesiane di

P Q A.

Si definiscono perciò le quantità:

• Potenza apparente = misurata in [VA];

A V I,

• Potenza attiva = cos(„) = cos(„), misurata in [W];

P A V I

• Potenza reattiva = sin(„) = sin(„), misurata in [VAR].

Q A V I



Si nota subito che = + , perciò è comodo definire la potenza complessa = +jQ (ovviamente

2 2

A P Q Ā P

= ; inoltre vale sempre che = , perciò si ricorre al coniugato complesso della corrente.

|

Ā| A) Ā V̄ I 17

CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA

Utilizzando la convenzione degli utilizzatori, assorbire potenze reattive positive indica comportamento

induttivo ed assorbirne di negative indica comportamento capacitivo (utilizzando la convenzione dei

generatori il verso delle potenze, come i segni, sono invertiti):

18 3.3. POTENZE IN REGIME ALTERNATO

3.3.1 Teorema di Tellegen

Dato un grafo orientato (unione di lati con imposte “correnti” e “tensioni” seguendo sempre una stessa

q

convenzione) se le correnti rispettano le LKC e le tensioni rispettano le LKT, allora = 0 .

v i

k k

k

3.3.2 Corollario di Boucherot

Visto che i fasori di tensione e corrente rispettano le LK essi possono essere usati nel teorema di Tellegen

(anche i loro coniugati complessi) perciò:

ÿ ÿ ÿ ! "

= = + = 0

V̄ I Ā P jQ

k k k k

k k k

q q

di conseguenza deve valere = 0 ed anche = 0 , quindi in una rete si conservano sia le

P Q

k k

k k

potenze attive che le potenze reattive (separatamente).

Lavorando con Boucherot non si devono mai usare i numeri complessi, al massimo i loro moduli o le loro

parti Re , Im .

Conoscendo le grandezze di un bipolo (di una sezione) a valle, è possibile tramite il corollario di Boucherot

stabilire le potenze che devono essere erogate a monte (sarà utile per il rifasamento).

Il primo passo è dividere il circuito in “sezioni” in base al collegamento dei bipoli (le sezioni possono

soltanto essere o in serie o in parallelo), successivamente si ricavano tutte le grandezze per ogni sezione,

fino a ricavare quelle della sezione finale (dei generatori).

Risultano utili alcune formule: = =

V X I V I A

bipolo bipolo bipolo sezione sezione sezione

2 2

V V

2 2

= = = =

L C

Q X I Q X I

induttore L condensatore C

L C

X X

L C 19

CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA

3.3.2.1 Esercizio d’esempio:

Conoscendo , , si avrà che:

V P Q

1 1 1

 2 21

1. = + =

A P Q I A /V

1 1 1 1

1 

2 2 22

2. = = + =

≠

Q Q I /ÊC A P Q V A /I

2 1 2 2 2 1

1 1 

2 2 2 23

3. = + = + = + =

P P G V Q Q B V A P Q I A /V

3 1 3 3 2 3 3 3 3 2

2 2 3



2 2 2 24

4. = + = + = + =

P P R I Q Q X I A P Q V A /I

4 3 4 4 3 4 4 4 4 3

3 3 4

3.3.3 Rifasamento monofase

Per limitare le energie “fluttuanti” nelle reti elettriche si cerca di avere, a monte, una richiesta di potenza

quasi totalmente attiva ( lo si fa imponendo il “fattore di potenza” cos(„) 0.9 ).

Ø

Il modo migliore per abbassare il contributo passivo (generalmente induttivo) è tramite il posizionamento

di un condensatore (più di uno) in parallelo alla rete.

Conoscendo la potenza attiva a monte ed il fattore di potenza iniziale cos(„ ) è possibile calcolare

P i

! "

la potenza reattiva iniziale tramite = tan arccos(„ ) e la potenza reattiva richiesta alla fine

Q Q P

i i i

! "

tramite = tan arccos(0.9) (per risparmiare ovviamente si utilizza il valore minimo consentito

Q Q P

f f

dalla normativa).

Per calcolare la potenza reattiva mancante si utilizza = Implies|Q = , e dato

≠ |Q | | ≠

Q Q Q Q

i C f C i f

! "

2 2 2

che = = si ottiene infine il valore di capacità necessario = .

Q E /X ÊCE C Q / ÊE

C C C

20 4

Regime trifase

Le reti trifase sono caratterizzate, appunto, dalla presenza di tre “fasi” (fili con generatore di tensione)

(può essere anche presente un altro filo senza generatore, chiamato “neutro”).

Due casi notevoli di terne di tensione sono le cosiddette “terne simmetriche”, ossia quelle in cui i tre

fasori dei generatori sono sfasate fra loro di 2fi/3 [Rad] (se è in ritardo la terna è “diretta”, se è in

Ē Ē

2 2

anticipo la terna è “inversa”).

Si definiscono poi le “tensioni concatenate”, ossia le tensioni presenti tra una fase e l’altra, che vengono

misurate come indicato di seguito:

= = =

≠ ≠ ≠

V̄ Ē Ē V̄ Ē Ē V̄ Ē Ē

12 1 2 23 2 3 31 3 1

21

CAPITOLO 4. REGIME TRIFASE

se la terna d’alimentazione è simmetrica si ha che:

Ô

= 3 + + = 0

˛

| | | |

V̄ Ē V̄ V̄ V̄

12 23 31

concatenata f ase

4.1 Trasformazioni stella triangolo

¡

Nelle reti trifase è comune incontrare impedenze in configurazione a stella (come i generatori di fase) o a

triangolo (come i voltmetri delle tensioni concatenate).

Data la maggiore comodità di lavorare con configurazioni a stella, si costruisce un’equivalenza tra le

impedenze a triangolo e quelle a stella.

Chiamando l’impedenza a stella ( ) posizionata sull’ fase e l’impedenza a triangolo (

Z̄ Y n-esima Z̄

nY n

) posizionata tra le due fasi diverse da si ottiene che, per passare dal triangolo alla stella:

n Z̄ Z̄

= j k

Z̄ q

3

iY Z̄

n

n=1

a causa della dualità fra stella e triangolo, per passare dalla stella al triangolo si utilizza la duale:

Ȳ Ȳ

= jY kY

Ȳ q

3

i Ȳ

nY

n=1

22 4.1. TRASFORMAZIONI STELLA TRIANGOLO

¡

Se i carichi (sia se configurati a stella sia se a triangolo) hanno la stessa impedenza il sistema viene detto

“equilibrato” e le trasformazioni diventano:

Z̄

= = 3

Z̄ Z̄ Z̄

3

Y Y 23

CAPITOLO 4. REGIME TRIFASE

4.2 Tensioni tra centri-stella

Al fine della risoluzione di una rete trifase, i generatori di tensione possono essere “spinti” (teorema dello

spingitore) attraverso una dividendosi in nuovi generatori tutti identici all’originale, senza

n-forcazione n

modificare nessuna LKT per il circuito.

I carichi sono stati preventivamente configurati in stelle, poi “spingendo” i generatori:

si ottengono così due circuiti interconnessi da un filo ( quindi tra loro = 0 ) e tramite una LKC sulla

v

superficie comprendente un circuito e mezzo filo si ricava che = 0 : i due circuiti sono perciò del tutto

i

disaccoppiati e le tensioni fra i centri-stella si possono ricavare tramite il corollario di Millman.

Sempre a causa del teorema dello spingitore i “carichi trasversali” non hanno alcun effetto sulle tensioni

fra centri-stella, infatti essi finirebbero sul filo di collegamento tra i circuiti (e senza corrente circolante

non provocherebbero effetti sulla tensione):

24 4.3. CIRCUITO MONOFASE EQUIVALENTE

4.3 Circuito monofase equivalente

Nel caso il cui il sistema sia simmetrico (terne dirette o inverse) ed equilibrato (stessi carichi su ogni fase)

la tensione fra due centri-stella sarà sempre nulla, infatti (tramite Millman):

+ +

Ē /Z̄ Ē /Z̄ Ē /Z̄

1 2 3

= = + + = 0 poichè simmetriche

V̄ Ē Ē Ē

1 2 3

–&mdas