Elettrotecnica 1 – Sovrapposizione degli effetti, Thévenin e Norton (teoria + esercizi svolti)

Sovrapposizione degli effetti e teoremi di

Thévenin e Norton nei circuiti elettrici

Appunti di Elettrotecnica 1

Il presente documento affronta in modo sistematico il principio di sovrapposizione degli

effetti e la sua applicazione ai teoremi fondamentali del generatore equivalente di Thévenin e

Norton, concetti essenziali per l’analisi dei circuiti elettrici lineari. La trattazione si propone di

guidare lo studente attraverso la comprensione teorica e pratica di tali strumenti, illustrandone

l’utilità nella risoluzione di circuiti complessi contenenti più generatori indipendenti, siano essi

di tensione o di corrente.

Il principio di sovrapposizione consente di semplificare l’analisi di reti lineari complesse con-

siderando separatamente l’effetto prodotto da ciascun generatore. In pratica, ogni generatore

viene attivato singolarmente mentre gli altri vengono temporaneamente “spenti” secondo le

regole circuitali, permettendo così di isolare i contributi parziali. I risultati ottenuti per ogni

generatore vengono successivamente combinati mediante somma algebrica per ottenere la rispo-

sta totale della rete, sia in termini di tensioni che di correnti. Questo approccio non solo riduce

la complessità dei calcoli, ma consente anche di comprendere in modo più chiaro l’influenza di

ciascun generatore sul comportamento globale del circuito.

Parallelamente, i teoremi di Thévenin e Norton offrono strumenti pratici per la semplifica-

zione di qualsiasi sezione lineare di un circuito complesso, sostituendola rispettivamente con un

generatore equivalente di tensione o di corrente e una resistenza equivalente. Questi teoremi so-

no strettamente connessi al principio di sovrapposizione e ne costituiscono un naturale sviluppo

operativo. L’obiettivo del documento è fornire una trattazione chiara e rigorosa, accompagnata

da esempi numerici e schemi circuitali, che consenta di applicare efficacemente questi concetti

nello studio dei circuiti elettrici lineari, preparandosi in maniera completa alla loro applicazione

pratica e agli esercizi d’esame.

Sovrapposizione degli effetti e teoremi di Thévenin e Norton nei circuiti elettrici 1

Un generico circuito composto da generatori indipendenti (di tensione e corrente) e resistori

principio di sovrapposizione

lineari è lineare. Pertanto, può essere risolto adoperando il

degli effetti. La proprietà di linearità è una proprietà molto importante nei circuiti in quanto

spesso permette di semplificarne l’analisi. Supponendo di avere una causa che causa l’effetto

I

, ossia:

V I V

Allora vale: · →

− ·

• Omogeneità: k I k V

• Additività: Se:

→

−

– I V

1 1

→

−

– I V

2 2 →

−

Allora: + +

I I V V

1 2 1 2

La proprietà di linearità consente di semplificare notevolmente l’analisi di un circuito. In

un circuito lineare con un solo ingresso, la relazione tra l’ingresso e l’uscita è descritta da un

fattore costante (dimensionale o adimensionale). Se invece si considera un circuito lineare con

più ingressi, è possibile analizzare ciascun ingresso separatamente: l’uscita complessiva sarà

quindi data dalla somma delle uscite calcolate singolarmente per ogni ingresso. In particolare,

nel caso dei circuiti elettrici, la tensione (o corrente) in ogni ramo è pari alla somma delle

tensioni (o correnti) generate da ciascun generatore considerato singolarmente. Supponendo di

avere un generico circuito elettrico composto da generatori ed lati, da un punto di vista

N M

matematico, l’m-esima grandezza elettrica è data da:

N

 P

=

V V

 m m,n



 n=1

N

P

=

I I



 m m,n

 n=1

Nel caso di un circuito elettrico con due generatori, si ha:

R R

1 3

I J

E

E R J

2 I

R 2

Per calcolare la corrente , si procede considerando attivo un solo ingresso alla volta.

I

R 2

In questo caso, sono presenti due ingressi, ossia il generatore di tensione ed il generatore

E

di corrente Secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, va tenuto attivo un solo

J.

ingresso alla volta. Considerando attivo il solo generatore di tensione e ricordando che un

E

generatore di corrente spento equivale ad un circuito aperto, si ha:

Sovrapposizione degli effetti e teoremi di Thévenin e Norton nei circuiti elettrici 2

R R

1 3

I

E

E R

2 ′

I

R 2

Quindi, semplicemente: E

′ =

I

R +

R R

2 1 2

Considerando attivo il solo generatore di corrente e ricordando che un generatore di

J

tensione spento equivale ad un cortocircuito, si ha:

R R

1 3 J

R J

2 ′′

I

R 2

A questo punto, applicando un semplice partitore di corrente, si ha:

R

′′ 1

·

=

I J

R +

R R

2 1 2

A questo punto, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, la grandezza di interesse

totale è data dalla somma della grandezza di interesse causata dai singoli ingressi, quindi:

R

E

′ ′′ 1

·

+

= + = J

I I I

R R R

2 + +

R R R R

2 2 1 2 1 2

Il principio di sovrapposizione degli effetti trova ampio uso in due importanti teoremi del

il teorema del generatore equivalente di Thévenin

mondo dell’elettrotecnica, ossia ed

il teorema del generatore equivalente di Norton. Si consideri il circuito composto

N

da una sezione , contenente generatori indipendenti e resistori lineari ed una sezione , in

S S

1 2

generale non lineare (componente NLC - Non Linear Component). Le due sezioni comunicano

−

tramite una coppia di morsetti Graficamente:

A B.

Sovrapposizione degli effetti e teoremi di Thévenin e Norton nei circuiti elettrici 3

i

A R

N LC V S

AB 1

J

S 2 B V

−

L’idea è quella di calcolare la caratteristica del bipolo comunque complesso visto

I V S 1

−

dai morsetti Si osserva in particolare che è composto da soli bipoli a rettilinea

A B. S

1 −

(bipoli normali), quindi ci si aspetta che anche il bipoloe quivalente ai morsetti abbia

A B

una caratteristica dello stesso tipo.

La caratteristica di può essere ricavata sulla base di un semplice esperimento concettuale:

S

1

−

ai morsetti si impongono valori assegnati di corrente e si determinano i corrispondenti

A B

valori della tensione ossia si effettua una caratterizzazione in corrente del bipolo o, viceversa,

S 1

si imp