Economia sanitaria

STIMA PUNTUALE

È possibile [...] un campione rappresentativo della popolazione.

La statistica inferenziale viene [...] per ottenere informazioni sulla popolazione sulla base dei dati raccolti su un campione selezionato della stessa.

Una popolazione infinita è composta da tutte le possibili determinazioni osservabili e non necessariamente osservate.

• μ = E(X)
• σ² = Var(X)

Tutte le variabili casuali (X₁, X₂, ..., X_m) sono identicamente distribuite, [...], con la medesima distribuzione di probabilità della popolazione X.

Il campione casuale è composto da m variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite I.I.D.

L'errore campionario è sempre sconosciuto ma può essere contenuto utilizzando le proprietà degli stimatori.

La stima t è un numero! e una realizzazione delle v.c. T che rappresenta lo stimatore.

• t (X₁, X₂, ..., X_m) → T
• x₁, x₂, ..., x_m → campione osservato
• X₁, X₂, ..., X_m → campione casuale
• t = t(x₁, x₂, ..., x_m) → stima
• T = t(X₁, X₂, ..., X_m) → stimatore

Lo stimatore dipende dal campione e possiede una distribuzione campionaria.

Per stimare la media μ ignota si utilizza la media campionaria.

Stima X̅ = m ∑_(i=1)^m x_i= E(X̅) = μ, per qualunque distribuzione

Var(X̅) = σ²_(X̅)^/m

Se la popolazione è Bernoulliana (solo valori 1 succ., e valori 0 insucc.)

_i=1

ⁿ

= proporzione campionaria (frequenza rel.)

= π(1-π)

La distribuzione esatta della proporzione campionaria

è direttamente proporzionale alla VC binomiale

binomiale (n, π)

Le proprietà statistiche delle stimatori servono a

controllare l'uso campionario e, in generale il

concetto di affidabilità, accuratezza e precisione.

→ puntò → consideriamo _na^{l l}

per ε T. limite centrale, qualunque sia la

popolazione X la media campionaria assume

un P. aspetto normale con una V.C. NORMALE ^a.

Correttezza,

una stimatore b è corretto se (T) = θ

Bias = (T) - θ - disillusione

Efficienza → uso errore quadratico medio (MSE)

HSE(T) = Var(T) + Β(T)²

Var(T) = [(T - (T))²]

T_a + ege T_a se

T₁ e più efficiente di T₂ se HSE(T₁) HSE(T₂)

e uno stimatore è corretto → MSE(T) = Var(T)

T₁ è più efficiente di T₂ se Var(T₁) Var(T₂)

UN TEST STATISTICO O TEST D'IPOTESI è UNA

1) TEST

TEST STATISTICA CAMPIONARIA

• REGIONE DI ACCETTAZIONE
• REGIONE DI RIFIUTO

• α = probabilità di commettere errore di tipo I
• β = probabilità di commettere errore di tipo II

probabilità di rifiutare _H0 quando è falsa

• Tipo I: rifiuto _H0 quando _H0 è vero
• Tipo II: accetto _H0 quando _H1 è vero
• = rifiuto _H1 quando _H0 è vera

→ ^z

⟶⟶ zona di rifiuto

E(T) = θ, stimatore corretto

Correttezza

Uno stimatore T è uno stimatore corretto di θ se E(T) = θ per tutti i possibili valori di θ (in caso contrario lo stimatore è distorto).La distorsione di uno stimatore è uguale a: B(T) = E(T) - θ

Si può omettere valori neg

potrei preferire uno stimatore distorto ma con varianza più piccola

se E(T) = θ → MSE(T) = Var(T)

Efficienza

Per valutare la prossimità di T al generico parametro θ (precisione) possiamo usare l'errore quadratico medio (mean square error MSE) dato da

MSE(T) = E[(T - θ)²] = Var(T) + B(T)² dove Var(T) = E[(T - E(T))²]: è la varianza dello stimatore.Lo stimatore T₁ è più efficiente di T₂ se per tutti i valori del parametro θ si ha:

MSE(T₁) MSE(T₂)

MSE(T) = Var(T) + [E(T) - θ]²

E[(T-θ)²] - E(T) - θ

Se uno stimatore T è corretto (distorsione nulla) allora vale che per tutti i valori di θ

MSE(T) = Var(T) perciò si campione.Dato due stimatori corretti T₁ e T₂, si dirà che T₁ è più efficiente di T₂ se var(T₁) < var(T₂).

Ho più di uno stimatore per ogni parametro incognito poi fa confronto e scelgo

Efficienza

Nella figura sono riportate le distribuzioni campionarie di due stimatori corretti. Lo stimatore T₁ possiede un errore quadratico medio (uguale alla varianza in questo caso) più piccolo di quello dello stimatore T₂ (linea nera). Pertanto T₁ è più efficiente.

STATISTICA 3

alpha = 0.05

1. Stimare IC per media e varianza del carattere PESO (comando normfit) α = 5%.

2. Stimare l'intervallo Z: confidenza del parametro p_i - q_zero per le coortiore fumatore x = 1.

   • alpha = 0.01
   • m = sum(Hospital, Smoker)
   • N = length(Hospital, Smoker)
   • [p_i_hat, p_ic_z] = binofit(m, N, alpha)

3. Effettuare un test d'ipotesi su carattere peso ipotizzando che sulla popolazione il peso medio sia 155 contro l'ipotesi alternativa che sia maggiore α = 0.01, p-value?

   • [~, pv] = ttest(Hospital.Weight, 155, 'Alpha', 0.01, 'tail', 'right')

   PV = 0.04 ➔ molla di nulla ➔ accetto H0

   Se forma = 'tail' "left"

   Se forma ≠ 'both'

   Se H = 0 ➔ accetto ipotesi nulla (H0)

   Se H = 1 ➔ rifiuto ipotesi nulla (accetto HA, alternativa)

Intervallo di confidenza per la varianza

Sia X una v.c che rappresenta un carattere osservato su una popolazione. Supponiamo che la v.c sia distribuita come una Normale con media e varianza ignota N. Come stimatori puntuali dei due parametri si possono utilizzare la media campionaria e la varianza campionaria corretta. Si ricordi che

Inoltre per la variabile casuale Chi quadro vale che

P(χ²_n-1 ≤ X²₁) = α/2

e

P(X²₂ ≤ χ²_n-1) = 1 - α/2

NB. la distribuzione non è simmetrica.

Con i seguenti passaggi:

• P(χ²_α/2 ≤ X²₁ ≤ χ²_1-α) = 1 -α
• P(χ²_α/2 ≤ (n-1)S²/σ² ≤ χ²_1-α) =1 -α
• P([(n-1)S²]/χ²_1-α ≤ σ² ≤ [(n-1)S²]/χ²_α/2) =1 -α

si ottiene l'intervallo di confidenza (casuale) a livello 1 -α per la varianza

[((n-1)S²)/χ²_1-α/2, ((n-1)S²)/χ²_α/2)]