Economia sanitaria

Stima Puntuale

È possibile analizzare un campione rappresentativo della popolazione.

La statistica inferenziale viene utilizzata per ottenere informazioni sulla popolazione sulla base dei dati raccolti. Un campione selezionato dalla stessa popolazione infinita è composto da tutte le possibili potenzialmente osservabili e non necessariamente già esistenti.

μ = E(X) σ² = Var(X)

Tutte le variabile casuali (X₁, X₂ ,..., Xm) sono identicamente distribuite, i.e. v.c. prendono la stessa distribuzione di probabilità della popolazione X.

Il campione casuale è composto da m variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.).

L'errore campionario è sempre sconosciuto ma può essere contenuto aumentando le proprietà degli stimatori.

La stima t è un numero, è una realizzazione della v.c. T che rappresenta lo stimatore.

t (X₁, X₂ ,..., Xm) = T

x₁, x₂ ,..., xm → campione osservato

X₁, X₂ ,..., Xm → campione casuale

t = t (x₁, x₂ ,..., xm) → stima

T = t (X₁, X₂ ,..., Xm) → stimatore

Lo stimatore dipende dal campione e possiede una distribuzione campionaria.

Per stimare la media μ ignota si utilizza la media campionaria.

^StimaX̄=^Σi=1xi

= m^Σi=1xi/m

^StimatoreX̄ - ^Σi=1xi/m

E(X̄) = μ per qualunque popolazioneVar(X̄) = σ²/m

4 STIMA PUNTUALE

È possibile analizzare un campione rappresentativo della popolazione.

La statistica inferenziale viene scelta per ottenere informazioni sulla popolazione sulla base dei dati raccolti: un campione selezionato dalla stessa. Una popolazione infinita è composta da tutte le potenzialmente osservabile e non necessariamente già esistenti

μ = E(X) σ² = Var (X)

Tutte le variabili casuali (X₁, X₂,... Xₘ) sono identicamente distribuiti, quindi v.c. pongono la stessa distribuzione di probabilità della popolazione X.

Il campione casuale è composto da m variabili casuali indipendente e identicamente distribuite IID.

L'errore campionario è sempre sconosciuto ma può essere controllato variando le proprietà degli stimatori.

La stima t è un numero, è una realizzazione della v.c. T che rappresentato lo stimatore.

t (X₁, X₂,... Xₘ) = T

x₁, x₂,... xₘ → campione osservato

X₁, X₂,... Xₘ → campione casuale

_t = t (x₁, x₂,... xₘ) → stime

^T = t (X₁, X₂,... Xₘ) → stimatore

Lo stimatore dipende dal campione e possiede una distribuzione campionaria.

per stimare la media _μ ignota si utilizza la media campionaria

Stima _X̄ = Σ_i=1 ^m x_i / m

Stima ^X̄ - Σ_i=1 ^m X_i / m

EQ[X̄] = _μ per qualunque

Var(X̄) = σ²/m

Se la popolazione è Bernoulliana (tale valori 1 succ. e -tale&0 insuc.)

_{X̄ = (sumi Xi) / n} → m° totale di successi diviso n prove

→ stimatore proporzione campionaria (frequenza rel.)

E(X̄) = π

Var(X̄) = [π(1-π)] / n

La distribuzione esatta della proporzione campionaria ha una distribuzione proporzionale alle V.C. binomiale

X̄ ~ (1/n) binomiale (n, π)

Le proprietà statistiche dello stimatore servono e controllano l’errore campionario e inglobano il concetto di affidabilità: accuratezza e precisione.

• Punto consistenza campionaria M —> _n→∞ Consistente campionaria omoschematica
• * Per il T. limite centrale, qualunque sia a popolazione X la media campionaria avrà come approssimato una v.c. normale

• CorrettezzaUno stimatore T&={T-head} è corretto se E(T)=θ_tBias = E(CTT-θ) = distorsione
• EfficienzaUso errore quadratico medio (MSE)

MSE(T) = Var(T) + B(T)²

Var(T) = E[(T - E(T))²]

Ti = più efficiente di T2 se MSE(T₁) < MSE(T₂)

Uno stimatore è corretto →_tMSE(T) = Var(T)

Ti è più efficiente di T2 se Var(T₁) < Var(T₂)

CONSISTENZA è consistente se lo stimatore di g

lim MSE(T_m) - lim E(T_m - g)² = 0

N.B lim MSE(T_n) = 0 SOLO SE

inoltre coerente asintotico

lim MSE (T_n) = lim Var (T_n) = 0

se X ~ Bernoulli: (π)

E(̄X) = π -> coerente

Var(̄X) = π(1-π)m -> consistente

̄X = Σ_I=1=mX_im

STIMA DELLA VARIANZA si considera una popolazione X con media μ e σ²

Varianza campi