Economia e organizzazione aziendale

(A

1€ = 1€ + A con > 0)

quindi le cose andranno a costare di più. Ossia: è la somma di denaro (positiva)

=0 =1

che mi rende indifferente consumare oggi o consumare domani.

Sconto temporale: gli economisti chiamano sconto temporale la forza con cui un individuo preferisce l’oggi rispetto

al domani.

È possibile esprimere il premio per l’attesa in termini percentuali sul valore a cui si rinuncia oggi.

Esempio: Posso accettare di rinunciare oggi a 100€ a condizione di ricevere fra 1 anno 110€, ossia 100€, più un

(110 − 100)€ /100€ = 10€ /100€ = 10%

premio di 10€. Esprimendo percentualmente il premio, si ottiene: = 10%

Chiamiamo r (a volte i) il tasso di interesse percentuale annuo. Nel nostro esempio

= 100€

Chiamiamo C il capitale al tempo zero. Nel nostro esempio

0 0 ∗ = 10€

Chiamiamo il premio ‘quota di interesse’ (o ‘rata’). Nel nostro esempio 0

Chiamiamo C (o valore futuro o montante) il capitale C , più gli interessi che il capitale frutta. Nel nostro esempio

1 0

100€ + 0.1 ∗ 100€ = 110€.

Valore Futuro (VF o FV): Il Valore Futuro (o montante) è l’ammontare raggiunto da una somma di denaro investita (o

capitale), come conseguenza della maturazione di interessi in un determinato periodo.

VALORE FUTURO = CAPITALE + QUOTA INTERESSI

= + = (1 + )

In formule: 1 0 0 0 22

Professore Angelo Cavallo

Ossia: il valore futuro o montante (C ) è pari al capitale iniziale (C ), più la quota di interesse (rC0), che si calcola come

1 0

una percentuale del capitale iniziale.

Esempio: Investite € 1.000 al 12% annuo. Qual è il Valore Futuro (VF) al termine del prossimo anno?

= €1.000 + €1.000 ∙ (0.12) = €1.000 ∙ (1 + 0.12) = 1.000€ + 120€ = 1.120€

Cosa succede dopo l’anno 1?

Capitalizzazione (o composizione) degli interessi: Qual è il Valore Futuro di €1.000 investiti per 3 anni al 12% annuo?

Dipende da come consideriamo la capitalizzazione degli interessi. Ci sono 2 casi:

1. Se gli interessi vengono calcolati ogni anno solamente sul capitale iniziale, si ha interesse semplice. In questo

= (1 + ∙ )

caso, si moltiplica semplicemente il tasso di interesse (r) per il numero di anni (t): 0

= €1.000 ∙ (1 + 0.12 ∙ 3) = € 1.360.

2. Se gli interessi vengono calcolati ogni anno sul capitale iniziale più gli interessi maturati fino a quel momento,

= (1 + )

si ha invece interesse composto: . In genere, quando non specificato diversamente, l’interesse

si intende sempre per convenzione annuo composto. 2 3

(1 (1 (1

= + ) = + ) = (1 + ) = + ) = (1 + ) = 1404,9€

1 0 2 1 0 3 2 0

Esercizio: Calcolare il montante di un investimento di 12.000€ a un tasso di interesse semplice del 3% in 6 anni.

Calcolare l’equivalente composto.

(1

: = €12.000 ∙ + 0.03 ∙ 6) = 14.160€

6

: = €12.000 ∙ (1 + 0.03) = 14.329€

Esercizio: Un’obbligazione di 10€ in 2 anni a scadenza vale 13€. Che tasso semplice mi sta applicando? Calcolare

l’equivalente composto. 13€

⁄ − 1

10€

: €13 = €10(1 + ∙ 2) → = = 15%

2

13€

2 √

: €13 = €10(1 + ) → = − 1 = 14%

10€

N.B. con tassi annuali, al primo anno, l’interesse 60

semplice e composto coincidono. Dopo il primo 50

anno, gli interessi composti crescono composto semplice

(esponenzialmente) più rapidamente di quelli 40

semplici. 30

In modo simmetrico al calcolo del valore futuro, 20

possiamo calcolare qual è il corrispettivo odierno

di un investimento, ad esempio sapendo quanto 10

genera a scadenza. 0 1 2 3 4 5 6

Il corrispettivo odierno di un flusso futuro si

chiama Valore Attuale (VA, molte volte chiamato anche Perspective Value PV) e l’operazione di calcolo del valore

attuale si chiama Attualizzazione o Sconto. Il tasso di interesse nelle operazioni di sconto si chiama anche tasso di

attualizzazione o tasso di sconto.

Esempio: valore di un investimento che dà 2.000€ tra 5 anni, all’11% composto annuo.

Attualizzazione - 1 periodo -

Valore Attuale di ricevere € 2.000 tra un anno all’11% = quanto si deve investire oggi al tasso dell’11% per ottenere

€2.000

(1 + ) = → = = = €1.801,8

€ 2.000 tra 1 anno? Sappiamo che: 1+ 1,11 23

Professore Angelo Cavallo

Attualizzazione (semplice) - t periodi - €2.000

= = €1.290,3

Quanto devo investire per ottenere € 2.000 tra 5 anni all’11% semplice? 1+0,11∙5

Attualizzazione (composta) - t periodi - € 2.000

= = € 1.186,9

Quanto devo investire per ottenere € 2.000 tra 5 anni all’11% composto? 5

(1+0,11)

Formule di capitalizzazione/attualizzazione composta ln

⁄

ln −ln

= (1 + ) = √ − 1 = = log = =

da cui si ha (1+)

(1+) ln(1+) ln(1+)

Esempio: Se il vostro investimento di 1000€ raddoppia in 5 anni, qual è il tasso annuo (composto)?

2000€

5

√

= − 1 = 0,1487 = 14,87%

1000€

Esempio: Ad un tasso del 30% (composto) quanto tempo ci vuole perché l’investimento raddoppi?

2 − 1

ln ln

= = 2,6 = 2 7

(1 + 0,3)

ln

Esempio: Se il vostro investimento vale 2000 fra 3 anni all’interesse composto del 12%, a quale valore sareste disposti

2000€

= = 1423,6€

a cederlo oggi? 3

(1+0,12) I grafici mostrano l’andamento

del VF e del VA al variare del

tasso d’interesse (tasso di

sconto)

NB: nelle capitalizzazioni, r è il

tasso d’interesse mentre nelle

attualizzazioni è il tasso di

sconto.

In alcuni casi, il piano di rendimento può essere più complicato, ad esempio, prevedendo a scadenze predeterminate

dei pagamenti di ammontare variabile.

Esempio: r=9% con flussi di cassa alla fine del periodo cosi distribuiti.

In questo caso possiamo attualizzare ciascun flusso ad oggi e poi sommare i flussi. Oppure possiamo capitalizzare

ciascun flusso fino a fine periodo e poi attualizzare il valore futuro in una volta sola.

2.500€ 900€ 3600€

= + + = 5.077,7€

1 4 6

1,09 1,09 1,09

6 3 1 7

(1,09) (1,09) (1,09) (1,09)

= 2.500 ∙ + 900 ∙ + 3.600 ∙ = 9.282,3% 5.077,7 ∙ = 9.282,3€

25

Esempio: un esempio di tasso variabile è tasso=euribor +2%. Se si investono e si ottiene l’11% durante il primo anno,

il 9% durante il secondo anno e il 13% durante il terzo, quale sarà il valore futuro dopo 3 anni?

(1

= ∙ + 1)(1 + 2)(1 + 3) = 136,72€

25 EURO Inter Bank Offered Rate: è il tasso che le banche hanno applicato per prestarsi denaro fra loro.

24

Professore Angelo Cavallo

Esempio: qual è il VA di 100€ tra 4 anni se i tassi di interesse sono l’8% (anno 1), il 12% (anno 2), il 6% (anno 3) e il

100€

(1

100€ = ∙ + 0,08)(1 + 0,12)(1 + 0,06)(1 + 0,13) → = = 68,96€

13% (anno 4). Quindi 1,45

inflazione

Inflazione

L’inflazione è l’aumento progressivo del livello medio generale dei prezzi, o anche diminuzione progressiva del potere

di acquisto (cioè del valore) della moneta e viene definita come la media annua di tutti i beni. Il grafico mostra

l’inflazione in Italia dal 1960 fino a quasi i giorni nostri. È una media annua perché l’inflazione è di per sè una media,

infatti l’ISTAT ha una sorta di paniere che contiene in media tutto ciò che gli italiani consumano, a partire da cibo,

case, utility, benzina, etc tutti pesati per quanto ne viene comprato da ciascuna persona. Ogni tanto viene revisionato

perché potrebbe cambiare il consumo delle cose,

come ad esempio negli anni 60 non c’era

internet. Si fa una rilevazione di ogni bene, di

quanto costa, e quanto ne viene comprato da

ogni persona in ciascuna provincia. Ci sono beni

inflattivi e deflattivi (telefonini, elettronica). La

crescita dipende da quanto il bene è richiesto e

dalla relativa scarsità/abbondanza del bene. I

momenti in cui l’inflazione è andata sotto lo zero si contano quasi mai nella storia e viene chiamata deflazione. La

deflazione significa che il bene costa di meno ed è un evento straordinario, succede sempre in concomitanza con le

crisi. Se tutti risparmiano perché credono che più avanti il bene scenderà ancora di prezzo, allora nessuno compra e

si va in crisi. Tra 70 e 80 ci sono stati invece picchi di inflazione, picchi successi con le crisi petrolifere del 1973 in cui

i prezzi sono saliti, di conseguenza è cresciuto anche il prezzo per il suo trasporto. Per avere un prestito da una banca

che sospetta un’inflazione del 25%, allora il prestito sarà consentito con un interesse minimo del 30%. Se non

vengono fatti investimenti, l’economia non frutta e quindi si presenta la crisi. La migliore inflazione è del 2% annuo.

Se non c’è inflazione allora ci sarà disoccupazione, se invece c’è inflazione non ci sarà disoccupazione.

Tasso annuo nominale TAN e tassi periodali

I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua (TAN), ma esistono anche tassi periodali (infra-annuali).

Inoltre spesso si indica un tasso annuale, ma con una composizione dell’interesse su periodi più corti dell’anno

(semestrale, trimestrale, mensile, etc.). Un tasso periodale si può convertire in TAN semplicemente moltiplicandolo

per il numero di periodi annui in cui si compone l’interesse.

Dato m = il numero di periodi:

• →

Mensile m=12 = ∙

• →

Trimestrale m=4

• →

Bimestrale m=6

• →

Quadrimestrale m=3

Esempio:

• → = 0.5% ∙ 12 = 6%

Tasso mensile (12 periodi di capitalizzazione) dello 0.50%

• → = 0.5% ∙ 4 = 2%

Tasso trimestrale (4 periodi di capitalizzazione) del 0.50%

• →