Economia del risparmio e della previdenza

September 19, 2023

Capitolo 3 – modello di Fisher

E’ il modello fondante delle teorie economiche che verranno successivamente. Abbiamo un vincolo di bilancio intertemporale, due redditi nominali y1 e y2 e due prezzi p1 e p2. Dividendo y1/p1 ottengo il reddito reale.

Le scelte di un consumatore che si confrontano con un vincolo di bilancio hanno bisogno di preferenze. Definiamo la funzione di utilità come U=u(c1,c2), con c1 che è il consumo presente e c2 quello futuro. La funzione di utilità è positiva (derivata prima maggiore di zero) e decrescente (concavità rivolta verso il basso).

La funzione di utilità è separabile ed additiva. Per questo motivo l’utilità può essere espressa come:

U(c₁, c₂) = v(c₁) + beta * v(c₂)

La funzione del valore di c2 è scontata per un fattore di sconto intertemporale chiamato beta, il quale è compreso fra 0 ed 1. L’utilità di un consumo futuro infatti cambia da soggetto a soggetto.

Beta è dato da 1 su 1+sigma, dove sigma è il tasso di sconto intertemporale, ed è maggiore di zero.

Mettendo sull’asse x c1 e sull’asse y c2, possiamo disegnare il vincolo di bilancio intertemporale, il quale va intersecato con la curva di indifferenza del soggetto. Otterremo il saggio marginale di sostituzione. Individuando il reddito reale di oggi sull’asse x e il reddito reale futuro sull’asse y, ottengo il mio paniere di consumo alte le mie dotazioni di reddito iniziali. Il paniere ottenuto date le mie curve di indifferenza, tuttavia, possono spesso differire.

Il max livello di consumo futuro è espresso quindi come il consumo reale di oggi per (1+i) + il consumo reale futuro. i è il tasso d’interesse nominale.

Il max livello di consumo presente (consumo futuro pari a zero) è pari al consumo reale presente più y2 diviso per p1(1+i).

Il risparmio S₁, il quale può assumere qualsiasi valore a seconda delle scelte di consumo, è pari a S₁=y1-p1c1. Moltiplichiamo il consumo di oggi per p1 perché c1 è espresso in termini reali.

c2 è quindi minore o uguale a y2/p2+(S₁p2)/(1+i). Il vincolo di bilancio a valore futuro è quindi uguale a

c₂ ≤ y₂/p₂ + (y₁/p₂) * (1 + i) – (p₁c₁/p₂) * (1 + i)

Avremo quindi:

p₁c₁ * (1 + i) + p₂c₂ ≤ y₁ * (1 + i) + y₂

Ma allora, il valore futuro del consumo non può essere superiore alla somma fra il reddito nominale di oggi, risparmiato, e quello nominale di domani.

Se dividiamo il tutto per p1(1+i), avremo:

c₁ + (p2c₂/p1 * (1+i)) ≤ y₁/p₁ + y₂/(p₁ * (1+i))

Il tasso d'interesse nominale (1+i) a cosa è uguale? (1+i)=(1+r)*(1+p), dove p è il tasso d'inflazione ed r è il tasso reale di interesse. Ma allora, (1+r)=(1+i)/(1+p).

Il tasso d'inflazione è definito come p2/p1=1+p.

Dato tutto ciò, moltiplicando per p1(1+i) e dividendo per p2, il vincolo di bilancio sarà perciò uguale a:

c₁ + (c₂ * (y₁/p₁) * (1 + r) + y₂/p₂. →

c₂ ≤ -(1 + r)c₁ + y₁/p₁(1 + r) + y₂/p₂

c₁(1+r)+c₂(y₁/p₁)(1+r)+y₂/p₂. —> c2≤-(1+r)c1+y₁/p₁(1+r)+y₂/p₂. (Questo è il vincolo di bilancio).

Se io rinuncio ad un'unità di consumo oggi, avrò un (1+r) i più da spendere in futuro. Viceversa, se spendo un'unità extra oggi indebitandomi, in futuro avrò un (1+r) in meno da spendere.

Il vincolo di bilancio in valore corrente è invece esprimibile come:

c₁ + (c₂/1 + r) ≤ y₁/p₁ + y₂/p₂ (1 + r)

Vediamo adesso come calcolare il max paniere ottimale dati le nostre curve d'indifferenza ed il vincolo di bilancio intertemporale. Per risolvere il problema, si usa la Lagrangiana.

Scriveremo:

max: U(c₁, c2) = v(c1) + beta * v(c₂) ST: c₁ + c₂/1 + r = y₁/p₁ + y₂/ (p₂ * (1 + r))

Finito il processo, otteniamo il paniere E che individua il consumo ottimo c₁ ed il consumo ottimo c₂. Il soggetto può essere un risparmiatore o un consumatore netto.

c₁ e c₂ sono però anche funzione della ricchezza vitale o “complessiva” h; di conseguenza

• c1=c1(h);
• c2=c2(h).

S1=S1(y₁,h).

Analizziamo ora come variano c₁, c2 ed S al variare del reddito nominale di oggi y₁.

Mettendo a sistema e risolvendo (vedi le formule sul libro/slide), otteniamo che se aumenta il reddito nel periodo 1, aumenta anche il consumo nello stesso periodo. Ma allora, il consumo presente è un “bene normale”, perché il suo consumo aumenta all'aumentare delle disponibilità economiche. Si può dimostrare che anche c₂ è un bene normale, ossia aumenta il consumo futuro all'aumentare del reddito.

September 21, 2023

09/12/23, 19:41

https://www.notion.so/september-21-2023-73ad6cff680654a81b68936f7fb7c7e7

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September 28, 2023

Come mai possiamo esprimere i + 1 come (1 + r)(1 + π)?

Immaginiamo di avere un titolo che alla scadenza ci dà, dopo 1 anno, 1 euro. L’ammontare di valore I è la differenza fra quanto guadagniamo e quanto abbiamo speso oggi per il titolo

I = 1 - _p1/_p0

il tasso di interesse del titolo è quindi pari a

i = I/_p0

sostituendo il valore di I nell'equazione di i e semplificando, otteniamo

1 + i = 1/_p0

Dividendo quanto ottengo dal titolo (ossia 1 euro) per il livello dei prezzi in futuro p1, ottengo il valore reale del pagamento R.

Ma allora, esprimendo anche il prezzo di acquisto in termini reali, io posso definire

R = 1/_p1 * _p0/_p0

Il tasso reale r sarà quindi pari a

r = R/_p0/_p0

Da cui ottengo

1 + r = 1/_p/p₀/_p1 * _p/_p0(^p0) = 1/_p0(_p/_p1)

• Il risparmio tende quindi ad essere diverso dagli investimenti; e se S>I, allora CA>0. Il nostro risparmio sta andando all’estero, per cui stiamo in qualche modo aumentando la nostra posizione patrimoniale all’estero. Il contrario accade quando S