Domande teoria di Fisica dell'elettromagnetismo e dell'ottica dal 2023

Fisica dell'Elettromagnetismo e dell'Ottica Riassunto Quesiti Teorici 1

Fisica dell'Elettromagnetismo e dell'Ottica

Riassunto teorico dei quesiti d'esame (20232026)

Politecnico di Bari Ingegneria Informatica e dell'Automazione

Raccolta e risposta a tutti i quesiti teorici presenti nei compiti d'esame, organizzati per argomento

e basati sul materiale delle lezioni.

Contents

1 Elettromagnetismo nella materia 2

2 Onde elettromagnetiche 3

3 Riessione e rifrazione 8

4 Interferenza 14

5 Dirazione 17

Fisica dell'Elettromagnetismo e dell'Ottica Riassunto Quesiti Teorici 2

1 Elettromagnetismo nella materia

Scrivere le equazioni di Maxwell in forma dierenziale e dare il signicato sico di

ognuna di esse

Le equazioni di Maxwell nel vuoto, in condizioni non stazionarie, in forma dierenziale sono:

ρ ⃗

⃗

∇· E

E = (Legge di Gauss per ) (1)

ε 0

⃗ ⃗

∇· B =0 B

(Legge di Gauss per ) (2)

⃗

∂ B

⃗

∇× −

E = (Legge di Faraday-Lenz) (3)

∂t ⃗

∂ E

⃗ ⃗

∇× B = µ J + µ ε (Legge di Ampère-Maxwell) (4)

0 0 0 ∂t

Signicato sico:

ˆ La prima equazione (Gauss elettrico) dice che la divergenza del campo elettrico in un punto

è proporzionale alla densità di carica locale: le cariche elettriche sono le sorgenti (o i pozzi)

E

delle linee di campo .

ˆ B

La seconda equazione (Gauss magnetico) aerma che il campo è sempre solenoidale: non

B

esistono monopoli magnetici, le linee di si chiudono su sé stesse.

ˆ La terza equazione (Faraday-Lenz) descrive come un campo magnetico variabile nel tempo

generi un campo elettrico non conservativo (rotore non nullo): è alla base dell'induzione

elettromagnetica.

ˆ La quarta equazione (Ampère-Maxwell) mostra che un campo magnetico viene generato sia

⃗

J

dalle correnti di conduzione sia da un campo elettrico variabile nel tempo (corrente di

⃗

ε ∂ E/∂t

spostamento ); questo termine, aggiunto da Maxwell, è essenziale per la coerenza

0

matematica delle equazioni (equazione di continuità) e predice la propagazione delle onde

elettromagnetiche. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

→ →

E D = ε E B H = B/µ

In presenza di materia, sostituendo e , si tiene conto degli eetti di

polarizzazione e magnetizzazione del mezzo, e le equazioni coinvolgono solo le cariche e correnti

libere.

Cosa sono i materiali ferromagnetici e cosa è il ciclo di isteresi?

ferromagnetici

Nei materiali (come ferro, cobalto, nichel) gli atomi possiedono un momento

di dipolo magnetico intrinseco elevato. A dierenza dei materiali paramagnetici, in cui i dipoli

si allineano debolmente al campo esterno, nei ferromagneti esistono regioni microscopiche, dette

domini di Weiss

, in cui i dipoli sono già naturalmente allineati tra loro per eetto di forti

interazioni di scambio quantistiche. In assenza di campo esterno i domini sono orientati ca-

H

sualmente e la magnetizzazione macroscopica è nulla; applicando un campo esterno i domini

M

si orientano progressivamente nella stessa direzione, producendo una magnetizzazione (e

≫

B χ 0

quindi un campo ) molto grande, con .

m isteresi

B H H

La relazione tra e non è lineare e presenta il fenomeno dell' : se si aumenta da

B H B

zero, cresce no a saturazione; se poi si riduce a zero, non torna a zero ma rimane un

B

valore residuo (magnetizzazione residua, alla base dei magneti permanenti); occorre invertire

r −H B B

il campo no a un valore negativo (campo coercitivo) per annullare . Il graco in fun-

c ciclo di isteresi

H

zione di descrive quindi un ciclo chiuso, detto , il cui percorso dipende dalla

storia magnetica del materiale (non è una funzione univoca). L'area racchiusa dal ciclo rappre-

senta l'energia dissipata per unità di volume ad ogni ciclo di magnetizzazione-smagnetizzazione

(utile per elettromagneti a ciclo stretto, dannosa/da minimizzare nei trasformatori).

Fisica dell'Elettromagnetismo e dell'Ottica Riassunto Quesiti Teorici 3

2 Onde elettromagnetiche

Perché le onde elettromagnetiche possono essere solo trasversali / che dierenza c'è

fra onda longitudinale e trasversale / è possibile che un'onda EM sia longitudinale?

trasversale ⃗ ⃗

E B

Un'onda si dice quando la grandezza che oscilla (nel caso EM, i campi e ) vibra

longitudinale

perpendicolarmente alla direzione di propagazione; si dice quando l'oscillazione

avviene lungo la stessa direzione di propagazione (es. onde sonore, onde di compressione).

x E B

Per un'onda elettromagnetica piana che si propaga lungo , imponendo che e non

x x

y, z

dipendano da , dalle equazioni di Maxwell nel vuoto (assenza di sorgenti) si dimostra che

E (x, t) = 0 B (x, t) = 0

e : un campo costante nella direzione di propagazione corrisponderebbe

x x

a cariche o correnti stazionarie, che sono escluse in un'onda che si propaga. Inoltre dalla

⃗ ⃗k

⃗ ⃗ ⃗

∇· · ·

E =0 k E = 0 B = 0 E B

condizione (nel vuoto) segue , e analogamente : sia che sono

⃗

k

quindi sempre perpendicolari al vettore d'onda , cioè alla direzione di propagazione.

non può essere longitudinale

Quindi un'onda elettromagnetica : è intrinsecamente trasver-

⃗k ⃗ ⃗

⊥ ⊥ ×

E B E B

sale, con , e i tre vettori formano una terna destrorsa ( indica il verso di

propagazione).

In un'onda elettromagnetica piana la densità di energia legata a e a sono uguali

E B

o diverse? Cosa vuol dire che e sono in fase?

E B

Le densità di energia sono: 1 1

2 2

u = ε E , u = B

0

E B

2 2µ 0 √

B = E/c c = 1/ µ ε

Poiché in un'onda piana nel vuoto vale in ogni istante con , si ottiene

0 0

2

1 E 1 1

2 2

u = = µ ε E = ε E = u .

0 0 0

B E

2

2µ c 2µ 2

0 0 uguali

Quindi le due densità di energia sono sempre : l'energia dell'onda è equamente ripartita

tra campo elettrico e campo magnetico.

E B

Dire che e sono in fase signica che le due grandezze raggiungono contemporaneamente

E(x, t) =

i loro massimi, i loro zeri e i loro minimi nello stesso punto e nello stesso istante: se

− −

E sin(kx ωt) B(x, t) = B sin(kx ωt)

allora anche con lo stesso argomento (stessa fase), a

0 0

dierenza ad esempio di un oscillatore forzato fuori risonanza dove tra causa ed eetto compare

uno sfasamento.

Come è denito il vettore di Poynting, cosa rappresenta e quali sono le sue dimen-

sioni?

Il vettore di Poynting è denito come 1

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

2

× ×

S = E B = ε c E B

0

µ 0

Ha direzione e verso coincidenti con quelli della velocità di propagazione dell'onda (essendo

modulo rappresenta l'energia elettromagnetica che, nell'unità

⃗k

⊥ ⊥

E B ), e il suo

di tempo, attraversa l'unità di supercie ortogonale alla direzione di propagazione

(densità di potenza, o intensità istantanea). Le sue dimensioni sono quelle di una potenza per

2

[S] = W/m

unità di supercie: . intensità

Il suo valore medio nel tempo su un periodo fornisce l' dell'onda:

1 2

⟨S⟩ ε cE .

I = = 0 0

2

Se la supercie attraversata non è ortogonale alla direzione di propagazione, la potenza che la

⃗

R ·

P = S û dΣ

attraversa è .

Fisica dell'Elettromagnetismo e dell'Ottica Riassunto Quesiti Teorici 4

Se siete sdraiati al sole, perché vi accorgete dell'energia elettromagnetica ricevuta

e non della pressione di radiazione? 2

≃

I 1400 W/m

L'intensità della radiazione solare sulla Terra è dell'ordine di : l'energia assor-

bita dalla pelle in un tempo ragionevole è percepibile come calore (riscaldamento). La pressione

8

≃ ×

p = I/c c 3 10 m/s

di radiazione, invece, per assorbimento completo vale : essendo

rad

−6

∼ ×

p 5 10 Pa

enormemente grande, , un valore estremamente piccolo rispetto alla pres-

rad

5

∼ 10

sione atmosferica ( Pa) e del tutto trascurabile rispetto alle altre forze (peso, attrito)

che agiscono sul corpo. Per questo la pressione di radiazione, pur essendo reale (dimostrata

sperimentalmente con la bilancia di torsione di Nichols e Hull, o sfruttata nelle vele solari), non

I

è percepibile dai nostri sensi, mentre l'energia trasportata (che scala con la stessa intensità

c

ma non è divisa per ) produce un eetto termico ben avvertibile.

Cosa è la polarizzazione di un'onda elettromagnetica? ⃗

x E y z

Un'onda elettromagnetica piana che si propaga lungo ha il campo nel piano - :

− −

E = E cos(kx ωt), E = E cos(kx ωt + δ)

y 0y z 0z

polarizzazione

La descrive come varia nel tempo, in un punto sso, la direzione (e il modulo)

del vettore campo elettrico: polarizzazione

ˆ ⇒

δ = 0 δ = π

se oppure : il campo oscilla sempre lungo una retta ssa

rettilinea ⃗

E

(il piano individuato da e dalla direzione di propagazione è il piano di polariz-

zazione); polarizzazione

⃗

ˆ ±π/2 ⇒

δ = E = E E

se e : l'estremo di descrive una circonferenza

0y 0z

circolare

; polarizzazione ellittica

⃗

ˆ ̸ ⇒

δ E = E E

per qualunque e : l'estremo di descrive un'ellisse ;

0y 0z

ˆ δ

se varia in modo casuale e rapido nel tempo, non è denibile una legge di variazione media

non polarizzata

per la direzione del campo: l'onda si dice (luce naturale).

Che cosa descrive la legge di Malus? I

Quando un'onda già polarizzata rettilinearmente, di intensità , attraversa un polarizzatore

0

θ

(lamina polarizzatrice) il cui asse ottico forma un angolo con la direzione di polarizzazione

incidente, trasmette solo la componente del campo parallela all'asse ottico. Poiché l'intensità è

legge di Malus

proporzionale al quadrato del campo, la stabilisce che l'intensità trasmessa è

2

I(θ) = I cos θ.

0

Se invece la luce incidente non è polarizzata, dopo il primo polarizzatore la sua intensità si

I = I /2

dimezza indipendentemente dall'orientazione dell'asse ( ), perché mediando su tutte le

0

2

⟨cos θ⟩ = 1/2

direzioni casuali del campo si ottiene .

Come funzionano gli occhiali da sole polarizzati?

La luce solare riessa da superci orizzontali (asfalto, acqua, cofano di un'auto) tende ad es-

E

sere parzialmente o totalmente polarizzata orizzontalmente (componente , perpendicolare al

s

E

piano di incidenza, riessa con coeciente maggiore rispetto a ; in particolare in prossimità

p

p

dell'angolo di Brewster la componente non viene riessa aatto). Gli occhiali da sole polar-

verticale

izzati montano lenti con asse di trasmissione : per la legge di Malus, la componente

orizzontale della luce riessa (abbagliante) viene fortemente attenuata, riducendo il riverbero,

mentre la luce diusa (non polarizzata) proveniente direttamente dagli oggetti viene trasmessa

per metà, permettendo comunque una visione normale.

Fisica dell'Elettromagnetismo e dell'Ottica Riassunto Quesiti Teorici 5

Come si può ottenere un fascio di luce polarizzato da uno non polarizzato? / Come

si può polarizzare la luce ricorrendo alla riessione? / Cosa è l'angolo di Brewster?

Esistono diverse tecniche:

Assorbimento selettivo (lamine polarizzatrici / dicroismo):

1. un materiale (asse ot-

tico) trasmette solo la componente del campo parallela all'asse e assorbe quella ortogonale.

Riessione all'angolo di Brewster:

2. quando un'onda non polarizzata incide su una su-

θ

percie di separazione tra due dielettrici con angolo di incidenza tale che il raggio riesso

B

θ + θ = π/2

e quello rifratto sono tra loro perpendicolari ( ), il coeciente di riessione di

r t

p

Fresnel per la polarizzazione (parallela al piano di incidenza) si annulla:

n 2

⇐⇒

r = 0 tan θ = .

p B n 1 s

In queste condizioni il raggio riesso contiene solo la componente (polarizzata perpendi-

colarmente al piano di incidenza): la luce riessa risulta quindi completamente polarizzata,

mentre quella trasmessa è polarizzata solo parzialmente.

Doppia rifrazione (birifrangenza)

3. in cristalli anisotropi come il quarzo o la calcite, non

trattata esplicitamente nelle slide ma basata sulla diversa velocità di propagazione delle due

polarizzazioni nel mezzo.

angolo di Brewster θ

L' è dunque l'angolo di incidenza per cui non si osserva alcun fascio

B p

riesso appartenente alla polarizzazione (parallela al piano di incidenza); alla luce non polar-

θ

izzata incidente a corrisponde un'onda riessa polarizzata rettilinearmente (nella direzione

B

s ).

Possono interferire due sorgenti polarizzate ortogonalmente l'una rispetto all'altra?

No. Il fenomeno di interferenza richiede che i campi delle due onde si sommino vettorialmente

⃗ ⃗

E E

punto per punto: se e sono ortogonali tra loro, il termine di interferenza (proporzionale a

1 2

⃗ ⃗

·

E E ) è nullo in ogni istante, e l'intensità risultante è semplicemente la somma delle intensità

1 2

I = I + I , senza frange chiare/scure. Perché si osservi interferenza le due onde devono avere

1 2

la medesima direzione di polarizzazione (o comunque una componente comune non nulla), oltre

a essere coerenti.

Cosa sono i coecienti di Fresnel? È possibile che uno di essi sia nullo?

coecienti di Fresnel

I sono i rapporti tra le ampiezze dei campi riesso/trasmesso e quella

del campo incidente, quando un'onda elettromagnetica incide sulla supercie di separazione tra

n n

due mezzi di indice di rifrazione e . Si distinguono in base alla polarizzazione, parallela

1 2

p s

( ) o perpendicolare ( ) al piano di incidenza:

−

n cos θ n cos θ 2n cos θ

1 i 2 t 1 i

r = , t =

s s

n cos θ + n cos θ n cos θ + n cos θ

1 i 2 t 1 i 2 t

−

n cos θ n cos θ 2n cos θ

2 i 1 t 1 i

r = , t =

p p

n cos θ + n cos θ n cos θ + n cos θ

2 i 1 t 2 i 1 t

Determinano l'ampiezza (e la fase) dell'onda riessa/trasmessa, e il loro quadrato (opportuna-

mente moltiplicato per il rapporto delle sezioni dei fasci) fornisce le frazioni di energia incidente

R + T = 1

riessa e trasmessa, con .

t , t

I coecienti sono sempre positivi (onda trasmessa sempre in fase con l'incidente). Il

p s

r n < n π n > n

coeciente è sempre negativo se (sfasamento di ) e positivo se . Il

s 1 2 1 2

annullarsi

r

coeciente può invece : questo accade esattamente all'angolo di Brewster, dove

p

θ + θ = π/2 p

; in tal caso non si ha alcuna riessione della componente , e il fascio riesso, se

i t s

la luce incidente è non polarizzata, risulta completamente polarizzato nella direzione .

Fisica dell'Elettromagnetismo e dell'Ottica Riassunto Quesiti Teorici 6

Come cambia il campo elettrico quando un'onda elettromagnetica si riette su una

supercie metallica?

Un conduttore ideale non può sostenere un campo elettrico tangenziale al suo interno (altrimenti

E

le cariche libere si muoverebbero indenitamente); la componente tangenziale di deve quindi

annullarsi sulla supercie in ogni istante. Questo si ottiene se l'onda riessa ha lo stesso

π

modulo dell'incidente ma è sfasata di rispetto ad essa: sulla supercie del conduttore il

campo elettrico totale (incidente + riesso) è sempre nullo, mentre il campo magnetico, che

B E

non ha questo vincolo, si riette in fase, producendo un ventre di (e un nodo di ) sulla

supercie riettente. Questo è quanto osservato nell'esperienza di Hertz: interponendo un

piano conduttore si forma un'onda stazionaria con un nodo di campo elettrico proprio sul

piano metallico.

Che cosa dimostrò Hertz nel suo esperimento?

Heinrich Hertz, tramite un dispositivo costituito da un oscillatore (rocchetto di Ruhmkor colle-

gato a uno spinterometro, equivalente a un circuito LC oscillante) e un ricevitore (anello con un

onde elettromagnetiche

piccolo spinterometro), dimostrò sperimentalmente l'esistenza delle

previste teoricamente da Maxwell. In particolare:

ˆ E B

mostrò che l'emettitore produce campi e che si propagano nello spazio e possono indurre

una scarica (scintilla) nel ricevitore posto a distanza, anche senza collegamento elettrico

diretto;

ˆ ponendo un piano conduttore riet