Domande frequenti Economia politica

Problema di massimizzazione dell'utilità sotto al vincolo di bilancio

Il problema di massimizzazione dell'utilità consiste nel trovare la migliore combinazione di beni, e quindi il paniere ottimo (x_1, x_2) che dà al consumatore il maggiore grado di soddisfazione o utilità.

In questo contesto è necessario tenere conto dei prezzi dei beni e del reddito che il consumatore ha a disposizione.

Si ha quindi il vincolo di bilancio.

p_1x_1 + p_2x_2 = m

È poi necessario introdurre altri importanti concetti:

• L'utilità marginale, che si riferisce ad un bene e rappresenta l'incremento di utilità ed è la derivata parziale di U rispetto a x.
• Le curve di indifferenza, che contengono tutti i panieri che forniscono lo stesso livello di utilità.
• Il saggio marginale di sostituzione, che misura l'inclinazione della curva d'indifferenza. In corrispondenza di un certo paniere, ed è uguale a: \left[ \text{SMS}_{x_1x_2} = \frac{UM_1}{UM_2} \right]

Il paniere ottimo si trova quindi nel punto di tangenza tra la curva di indifferenza più alta e la retta vincolo di bilancio.

\left[ \text{SMS} = \frac{p_2}{p_1} \right]

\left[ \text{SMS}_{x_1x_2} = \frac{p_2}{p_1} \right] \Rightarrow (x_1^*; x_2^*)

p_1x_1 + p_2x_2 = m

Problema di massimizzazione del profitto in impresa competitiva

• Funzione di offerta con C.F e Senza
• Calcolo del profitto

In generale lo scelgo il profitto di grado n.

P_y - w1x1 - w2x2 dove P_y ricavo totale

w1x1, w2x2 = costo totale

Per poter sostituire il problema di max, innanzitutto lo scriviamo come:

max P_y - w1x1 - w2x2 x1x2 s.b. y = f(x₁x₂)

Trovare la combinazione di prima ordine e primi pagi le condizioni rispetto X₁

x₂ f: pari a zero per calcolare (x₁*, x₂*) che mi ottima il massimo profitto

max p[(x₁, x₂) - w1x1, -w2x2

dπ ———— = p df w₁ = 0 dx₁ dπ —— = p df w₂ = 0 dx₂

{ p PH₁ - w1 { p PH₂ - w2

Sostituisco poi operazioni nell'espressione del prodotto cercando una misura

Dal punto di vista dei costi, quelli fissii non andranno da garanze il8 me are oped.

Variabili variano [x ed aniene di g- in generale

c(y) = cf + cv(y)

Graficamente

5) Massimizzazione dell'utilità sotto al vincolo di bilancio in una funzione lineare

Il processo di max dell'utilità è lo stesso spiegato nella domanda 1

Vediamo qui nei due casi:

max u(x₁, x₂) = 2x₁ + 6x₂

• sub p₁x₁ + p₂x₂ = m

• Vincolo di bilancio
• p₁x₁ + p₂x₂ = m

• Condizione di ottimo
• a/b = p₁/p₂ (SRS = p₂/p₁)

Caso 1

• a/p₁ > b/p₂
• x₁^*(p₁, p₂, m) = m/p₁
• x₂^*(p₁, p₂, m) = 0

Caso 2

• a/p₁ < b/p₂
• x₁^*(p₁, p₂, m) = 0
• x₂^*(p₁, p₂, m) = m/p₂

M.6

Preferenze individuali e massimizzazione dell'utilità con un vincolo di bilancio

Le ipotesi principali su preferenze sono 3, queste infatti possono essere:

1. Completo

Dati 2 panieri a piacere, l’individuo sa sempre dire se il primo è preferito o indifferente rispetto al secondo e viceversa.

_∀ x, _z ∈ X   _∃ ^{^}x   ^{^}z   ^{^}x ^{≮ ^}z

2. Riflessive o Simmetriche

Rappresenta il confronto tra 2 panieri identici, infatti per ogni ^{^}x appartenente ad X ogni paniere è p.o.ind a sé stesso.

∀ ^{^}x ∈ X   ^{^}x ^{≮ ^}x

3. Transitive

Per ogni terna di panieri appartenenti a X, se R è p.o.ind a ^{^}x e ^{^}x è p.o.ind a x’’ allora R è p.o.ind a x’’

∀ ^{^}x, x’, x’’ ∈ X   ^{^}x ^≮ x’ ∧ x’ ^≮ x’’   →   ^{^}x ^≮ x’’

Se le preferenze sono 1, 2 e 3 allora sono razionali, dal momento in cui le preferenze sono razionali, se sono anche continue e monotone allora esiste una funzione di utilità continua, le funzioni sono 3:

• Cobb-Douglas

• Lineare

• Leontief

Per la massimizzazione dell’utilità stessa, con una u derivabile e funzioni Cobb-Douglas o lineare è necessario mettere a sistema:

_{   p₁x₁ + p₂x₂ = m   → Vincolo di bilancio SHS   (∂U/∂x₁)/(∂U/∂x₂) = P₁/P₂   → Condizione di ottimo

(x₁ ^*, x₂ ^*)   ovvero il paniere ottimo che massimizza

Illustrare il modello Keynesiano del reddito-spesa

Il modello reddito-spesa è un modello di breve periodo dove sono fissi i prezzi, l'offerta si adegua alla domanda e gli investimenti non dipendono dal tasso di interesse.

La base del modello si identifica fondamentalmente di conto utilizzazione:

• Y = C + I + G + (X - M)

dove il costo e spesa è:

• C = c̅ + c (Y - T)

Quindi il modello di domanda (reddito-spesa) è:

• Y = c̅ + c (Y - T) + Ġ + I̅ + NX̅

e la soluzione del modello sarà data da (Y _c).

Riscriviamo infine in Y:

• Y = c̅ + cY + Ġ + I̅ + NX̅
• Y - cY = c̅ + Ġ + I̅ + NX̅
• Y(1 - c) = c̅ + Ġ + I̅ + NX̅
• Y = ^{c̅ + Ġ + I̅ + NX̅} / _{1 - c}

= 1/(1 - c) × A

spesa autonoma

moltiplicatore keynesiano

Y = A / (1 - c)

Il moltiplicatore si innesca nulla in 2 casi:

1. f_z = 0

ossia il caso della totale paramitrazione della moneta.

o

i

Y = Y₁

2. dz = ∞

caso in cui anche solo un piccolo incremento

di i provoca una grande riduzione degli investimenti.

o

i

Y

1) VERSIONE KEYNESIANA

Nella versione Keynesiana si parte dal mercato dei beni, ovvero il grafico A, dove l’equilibrio tra domanda e offerta determina il livello di produzione di equilibrio Y_E.

Il valore Y_E è riportato nel grafico C, e grazie al grafico B, che contiene sia una retta a 45° che ne mostra le coordinate.

Nel grafico C troviamo la funzione della produzione e si riesce così a determinare l’occupazione Nₑ.

Nel quale messa a confronto con il livello di pieno impiego N^* porta ad una disoccupazione involontaria.