Domande Fisica tecnica

∆R

discretizzazione del campo. La forma delle discretizzazioni non è importante, è sufficiente che ciascuna contenga un

j

∑ )

S = 7¿(, − , − ∞m∆R

singolo punto. Il bilancio del primo principio per ogni discretizzazione è: , con ∞

¶µ∆¶ ¶

ì

generazione interna dell’elemento e numero di elementi comunicanti adiacenti. Il lavoro è nullo poiché ogni

… T

elemento è fermo. - π-

‡ ¡

ÅS Å ≈ ÿ™ ∆R

Esplicitando i termini del flusso termico (dove viene effettuata l’approssimazione): , dove

e,fi e,fi

∆¶ é ¡,‡

è l’area di contatto e la distanza tra i due centri. L’indice indica il nodo centrale, mentre rappresenta quelli

™ Q o ·

e,fi e,fi

adiacenti con cui vengono effettuati gli scambi. Sostituendo l’equazione del flusso termico nel bilancio si ottiene:

! − !

j fi e

‚ úÿ™ ∆R† + ∞m∆R = 7 ¿ (, − , )

e,fi e e e,¶µ∆¶ e,¶

Q

fi„ì e,fi

Da qui si può procedere con il metodo esplicito, dove vengono poste le temperature all’istante di tempo ed è

R

necessario trovarle all’istante di tempo (metodo non accurato), oppure si può impiegare il metodo implicito,

R + ∆R

dove è nota sola la temperatura all’istante di tempo e si avrà quindi un sistema di equazioni con equazioni di

R + ∆R …

nodi a contatto, con incognite tutte le temperature.

• Impiego delle correlazioni per la convezione: i 4 coefficienti e il teorema di Buckingham

Si consideri una parete di temperatura e di area che delimita un fluido. Esso ha temperatura , conducibilità

! ™ ! ÿ,

_ .

viscosità calore specifico , densità e investe la parete con velocità (nel caso di convezione naturale questa

‰, ¿ € Â

G

può essere data dalle forze di massa dallo squilibrio di temperatura e dal coefficiente di dilatazione cubica

|, ∆! Ê).

.∗

_∗ ∗ ∗ G∗ ∗ ∗

p = &(! , ! , ™, ÿ , ‰ , ¿ , € , Â , |Á–7)

Si può quindi scrivere: nel caso di convezione forzata, e:

.∗

_∗ ∗ ∗ G∗ ∗ ∗ ∗ ∗

p = &(! , ! , ™, ÿ , ‰ , ¿ , € , | , ∆! , Ê , |Á–7) nel caso di convezione naturale.

.∗

_∗

S = Ë ™1! − ! 2

Utilizzando l’approccio di Newton: , in cui è il coefficiente di scambio termico convettivo, si

Ë

d d

∗ ∗ G∗ ∗ ∗ ∗ ∗ G∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Ë = &1ÿ , ‰ , ¿ , € , Â , T2 Ë = &1ÿ , ‰ , ¿ , € , | , ∆! , Ê , ∆! , T2

ottiene: per la convezione forzata e: per la

d d

convezione naturale. Applicando l’analisi dimensionale e il teorema di Buckingham, in convezione forzata le variabili

Ï∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

d Ì

È Í Ó Ô Í

ã

& u , , { = 0

che compaiono possono essere raggruppate come: , ed in convezione naturale:

∗ ∗ ∗

Î Î Ì

‹ x

Ï∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

d Ì

È Í Í Ó c Ò ∆-

ã

& , , Ú = 0 I gruppi adimensionali che compaiono nelle equazioni prendono il nome di:

.

∗x

∗ ∗

Î Î Ì Ï∗ ∗

∗ ∗

d Ì ∗ ∗

È Í € Â T

ã

¨a = s‘ = LÁ =

numero di Nusselt , numero di Prandtl , numero di Reynolds e numero di Grashof

∗

∗ ∗ ‰

Î Î

‹ x

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Í Ó c Ò ∆-

Ø‘ = . A partire da questi quattro coefficienti, attraverso misure sperimentali si possono ottenere delle

∗x

Ì ¨a = &(s‘, LÁ) ¨a =

correlazioni che quasi sempre si presentano nella forma: per la convezione forzata e:

&(s‘, Ø‘) per la convezione naturale. Per quanto riguarda la convezione forzata, un esempio di correlazione è:

ë.Û ë.Ù Ù

¨a = 0.023 LÁ s‘ 10 < LÁ < 120000 0.7 < s‘ < 120

, valida per condotti lunghi con e . Per la

ë.yM

¨a = 0.59 + L:

convezione naturale, un esempio di correlazione è: , in cui è il numero di Rayleigh definito

L:

4 9

L: = Ø‘s‘ 10 < L: < 10 G∗

come , valida per moti laminari e in condizioni di temperatura superficiale !

u {

uniforme.

• Fattori di forma e scambio radiativo tra corpi neri

Per valutare lo scambio termico tra corpi neri, si considerino due superfici di aree e e temperature uniformi e

™ ™ !

ì y ì

ìÙ

p = Æ ™ = ˆ! ™

. La radiazione globalmente emessa dalla superficie 1 vale: ; di questa radiazione solo una

! ì ì ì ì

y à

ß→x

P =

parte, indicata con , viene indirizzata verso la superficie 2. Detto quindi il rapporto: , si può

p P ì→y

ì→y ì→y à

ìÙ

p = ˆ! ™ P

scrivere: ; quindi può dipendere solamente dalla distribuzione spaziale della radiazione

P

ì→y ì ì→y ì→y

emessa e dalla posizione reciproca delle due superfici. Se però si assume che la superficie emette in modo

lambertiano, il fattore risulta dipendere solo dalla geometria: per questo motivo viene denominato fattore di

P

ì→y

forma (o fattore di vista).

Analogamente, la quota di radiazione emessa dalla superficie 2 che viene intercettata dalla superficie 1 è:

yÙ

p = ˆ! ™ P .

y→ì y y→ì ìÙ yÙ

p = p − p = ˆ! ™ P − ˆ! ™ P

Lo scambio netto potrà essere quindi calcolato come: ;

ìy ì→y y→ì ì ì→y y y→ì

p = 0 ™ P = ™ P

supponendo poi che le due superfici siano in equilibrio termico, si avrà che e quindi:

ìy ì ì→y y y→ì

che prende il nome di relazione di reciprocità dei fattori di forma. Lo scambio termico netto risulta:

ìÙ yÙ

(! )

p = ˆ™ P − ! , da cui si evince che la forza motrice dello scambio termico è la differenza delle quarte

ìy ì ì→y

potenze delle temperature assolute.

• Scambi termici tra corpi grigi

Si definisce corpo grigio un corpo la cui emissività è inferiore a quella unitaria (per definizione attribuita al corpo nero)

˜ = ¿–õ,

ed indipendente dalla frequenza (quindi e coefficiente di assorbimento piatto). Inoltre, il copro grigio

Î,¯

deve essere lambertiano (superfici diffondenti e non a specchio) e la sua curva deve essere sempre sotto a quella di

Planck di un rapporto costante. Essendo il corpo non nero non è più possibile gestire il sistema a coppie di superfici.

Per risolvere il problema si può tuttavia effettuare un’analogia con l’elettrotecnica (chiamata rete resistiva

equivalente): ad ogni superficie (costituita da un nodo equivalente) avente area ed emissività viene associata

™ ˜

fi fi

ìπ˘ ‡

L =

una resistenza frontale pari a: , che si annulla in caso di corpi neri (essendo In tal modo, i nodi

L ˜ = 1).

fi

fi ˘ ˙

‡ ‡

frontali che si vengono a formare ai capi liberi delle suddette resistenze devono essere collegati tra loro mediante

ì

L =

delle resistenze di accoppiamento . A questo punto ogni nodo intermedio si collega con una resistenza

fib ˙ Ç

‡ ‡→˚

a tutti gli altri. Questo nasce dall’esigenza di tener conto delle inter-riflessioni tra i corpi. Una volta costituita la rete,

Ù

fissando il potenziale dei nodi esterni pari a e risolvendo la rete si ottiene: emissioni globali come ‘’potenziali

ˆ !

j

elettrici’’ dei nodi frontali, i flussi termici assorbiti come ‘’correnti’’ sui rami frontali, i flussi termici netti scambiati

come ‘’correnti’’ sui rami di accoppiamento.

• Il metodo della differenza di temperatura media logaritmica

Il metodo della differenza di temperatura media logaritmica è un metodo che permette di valutare il flusso termico

complessivamente scambiato e vale nelle ipotesi di regime stazionario, pressione costante, assenza di scambi termici

con l’ambiente e reazioni chimiche, variazioni di velocità trascurabili, coefficiente di scambio globale K noto e uniforme,

e proprietà termofisiche costanti per entrambi i fluidi. ∆- π∆-

ß x

∆! =

La differenza di temperatura media logaritmica ∆T ed è definita come: ,

≤Œ

ml ∆˛ß

¸˝ ∆˛x

dove con ∆T e ∆T si intendono le differenze di temperatura tra i due fluidi in corrispondenza delle estremità dello

1 2 ∆- π∆-

ß x

|p| = >™ = >™ ∆!

scambiatore. Disponendo dunque dell’equazione del flusso: ,

≤Œ

∆˛ß

¸˝ ∆˛x

− p = 7 ¿ , − , p = 7 ¿ , − ,

̇ ̇

| | | |

( )

assieme ai due bilanci energetici dei flussi caldo e freddo 1 2

¿ ¿ a¿ o¿ & & a& o&

è possibile caratterizzare completamente lo scambiatore e si possono affrontare i due problemi di dimensionamento

e verifica. Per quanto riguarda il dimensionamento, tramite i bilanci energetici si calcola il flusso; scelta poi la

configurazione (controcorrente o equicorrente), risultano fissate le differenze alle estremità. Dopodiché,

∆! Á ∆!

ì y

|p| = >™ ∆!

attraverso l’equazione si individua il prodotto che lo scambiatore deve realizzare.

>™

≤Œ

Per quanto riguarda la verifica, il prodotto è noto. Le equazioni dei flussi termici possono essere riso