Domande di Applicazioni ingegneristiche in ambito biomedico

Teoria matematica

Fermat e discutere l'essenzialità delle sue ipotesi. Dimostrare infine il teorema di Fermat. Fornire la definizione di limite finito e di limite +∞ per una successione. Discutere le implicazioni fra i concetti di successione convergente e di successione limitata (dimostrando la propria affermazione per una implicazione vera oppure fornendo un opportuno controesempio per una implicazione falsa). Fornire la definizione di somma parziale, di serie numerica e di serie convergente, divergente e irregolare. Enunciare e dimostrare il criterio del confronto per serie a termini di segno (definitivamente) costante. Fornire la definizione di maggiorante e minorante per un insieme di numeri reali, di insieme superiormente e inferiormente limitato, di massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore per un insieme di numeri reali. Enunciare poi l'assioma di continuità di R (oppure la proprietà dell'estremo superiore) e mostrare con un opportuno esempio.

la regola di calcolo del prodotto.

a) Enunciare i criteri di convergenza per serie a termini positivi.

b) Illustrare, senzadimostrazioni, il comportamento della serie armonica e delle serie armoniche generalizzate al variare dell’esponente α ∈ R.

c) Dimostrare il comportamento della serie armonica e della serie armonica generalizzata di esponente 2.

a) Enunciare il teorema di Fermat.

b) Enunciare il teorema di Lagrange.

c) Discutere l’essenzialit`a delle ipotesi di uno a scelta dei due teoremi precedent-

a) Fornire la definizione di minorante, di minimo e di estremo inferiore di un insieme di numeri reali.

b) Enunciare l’assioma di completezza (o la propriet`a dell’estremo superiore) in R.

c) Individuare almeno un risultato di analisi matematica che si basi in modo imprescindibile sulla proprietà dell’estremo superiore di R.

a) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.

b) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo.

definizione di funzione convessa e concava su un intervallo (a, b) con a <b, a, b ∈ R.

b) Enunciare e dimostrare il teorema che lega la convessità alla monotoniadella derivata prima.

-a) Enunciare con precisione i teoremi sulla formula di Taylor con resto in forma diPeano e in forma di Lagrange. b) Quale legame esiste fra il teorema sulla formula diTaylor con resto in forma di Lagrange e il teorema di Lagrange?

-a) Enunciare il teorema degli zeri, il teorema di Weierstrass e il teorema dei valoriintermedi. b) Dimostrare il teorema dei valori intermedi

-a) Enunciare il teorema sulla condizione necessaria per la convergenza di una serie.b) La condizione `e anche sufficiente? Argomentare esaurientemente la propriarisposta. c) Dimostrare il teorema sulla condizione necessaria

-Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per successioni convergenti. Esibirepoi un esempio di applicazione.

-Enunciare e dimostrare il teorema sull’esistenza del limite di una

1. successione monotona crescente superiormente limitata.
2. Fornire la definizione di successione convergente (limite finito). Dimostrare poi il teorema di unicità del limite per successioni.
3. Enunciare i teoremi sulla derivata della funzione integrale e il teorema fondamentale del calcolo. Dimostrare poi il teorema fondamentale del calcolo.
4. Enunciare il teorema sulla derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili. Dimostrare poi la formula di derivazione del prodotto.
5. Enunciare i teoremi degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Dimostrare poi il teorema dei valori intermedi.
6. Fornire la definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Descrivere poi analiticamente i vari casi di discontinuità fornendo anche per ciascuno un esempio illustrativo.
7. Fornire la definizione di integrale definito di una funzione limitata su un intervallo come limite di somme di Cauchy-Riemann.
8. Enunciare il teorema fondamentale del calcolo.
9. Enunciare e dimostrare il teorema

1. Enunciare e dimostrare la caratterizzazione della convessità tramite la monotonia della derivata prima.
2. Enunciare i teoremi di Lagrange e di Rolle. Dimostrare uno dei due (non come corollario dell'altro).
3. Siano an e bn due successioni. Fornire la definizione di "an è un infinitesimo di ordine superiore, inferiore, di ugual ordine di grandezza rispetto a bn". Fornire poi la definizione di "an e bn sono infinitesimi asintotici". Per ogni caso, fornire anche un esempio.
4. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat. Discutere poi l'essenzialità delle ipotesi.
5. Fornire la definizione di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo per una funzione di variabile reale. Per ogni definizione, fornire anche un esempio.
6. Enunciare e dimostrare il teorema che fornisce una condizione necessaria per la convergenza di una serie. La condizione è anche sufficiente? Argomentare esaurientemente la propria risposta.
7. Fornire la definizione di maggiorante, minorante, massimo,

Minimo, estremo superiore ed estremo inferiore per un insieme A di numeri reali. Per ogni definizione fornire anche un esempio.

Il minimo di un insieme A di numeri reali è il valore più piccolo presente nell'insieme. Ad esempio, se A = {1, 2, 3, 4}, allora il minimo di A è 1.

L'estremo superiore di un insieme A di numeri reali è il più piccolo valore che è maggiore o uguale a tutti gli elementi di A. Ad esempio, se A = {1, 2, 3, 4}, allora l'estremo superiore di A è 4.

L'estremo inferiore di un insieme A di numeri reali è il più grande valore che è minore o uguale a tutti gli elementi di A. Ad esempio, se A = {1, 2, 3, 4}, allora l'estremo inferiore di A è 1.

Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.

Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza del limite per successioni monotone.

Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.

Enunciare i criteri di convergenza per serie numeriche a termini positivi e fornire un esempio di applicazione per ciascuno di essi.

Enunciare e dimostrare il test di monotonia per funzioni derivabili.

Enunciare e dimostrare il teorema di permanenza del segno per successioni nelle sue due varianti.

Discutere le implicazioni esistenti tra derivabilità e continuità di una funzione. Dimostrare le eventuali implicazioni vere e fornire un controesempio di eventuali implicazioni false.