Dimostrazioni teoremi Fondamenti di algebra lineare e geometria 2.2

⑲

11. Dimostrare che una matrice reale quadrata d’ordine n `e ortogonale se e solo se le sue

colonne formano una base ortonormale di Rn, rispetto al prodotto scalare ordinario.

A

Dim Posto HH wh

(ij) i

: 2.

1

= = = ,

H HT HH

H (HTH

(HT) Im

=

a =

=

=

dove l’ultima equazione segue dalla definizione di prodotto scalare ordinario. La matrice H

`e ortogonale se e solo se HT H = In e ci`o equivale a (1xi

I vi 5

5

& = =

n5

H 5)

aus =

= =

i

x

Oxei 0

+ T

5

H1, H2, . . ., Hn `e una famiglia ortonormale di Rn

H1, H2, . . ., Hn `e una base ortonormale di Rn *

⑳

12. Dimostrare che se W `e un sottospazio di dimensione finita di uno spazio vettoriale

euclideo V , vale W + W⊥ = V e tale somma `e diretta.

Dim :

Dimostrano W TW

che

D stretta

è

WiNt

Consideran - .

+

Dar Ve W

che w

segue

we 0

=

.

-

Sinoma weW isulta w 0

z =

.

= 0

v = .

Wt 303E

Wn DET

sorm

=> = E

Dimostrans W

& W V

,

+ = com

= weV

ww

i) w ww

= :

,

W

& we

-

Grazie i) I

espimeme come

o

COMBINAZIONE LINEARE W We

W

,, ....

w

Ne

=> Wi Wel

< We =

, . .,

. .

,

C) w

N +

=

Immediata ii)

mediante

Dw'e Wt

-

L

= SUFFICENTE DIMOSTRARE :

Fh wown

2

2

, ...,

1 0

:

= =

,

wow(v.c2 milwi]

Vel wa

,

&

*

-

I - wi wh

2 Wh w

- . ..

,

I

ligh ( wh-cli

wh wal Whowh

w

Wi ,

o = .

=

. I w h

wh

wh Wh

2 -0

- ·

-

. .

-

h

Wh

. T

⑬

13. Siano VR uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, v V e W un sottospazio

∈

di VR. Dimostrare che in v + W esiste un unico vettore di modulo minimo.

Dim :

. Wt tel da

W

7 wie

we e

w

E w +

=

Dossismo Dimatica :

Dwe w

y +

fyz

& W Dall

vole >l'll

'

+ w

+ y

,