Dimostrazioni teoremi Fondamenti di algebra lineare e geometria 2.2

Dimostrazione di matrice ortogonale e base ortonormale

Dimostrare che una matrice reale quadrata d'ordine n è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale di Rⁿ, rispetto al prodotto scalare ordinario.

Dimostrazione

Posto H, la matrice H è ortogonale se e solo se H^TH = In, dove H^T rappresenta la trasposta di H e In è la matrice identità. Ciò equivale a dire che le colonne di H formano una famiglia ortonormale di Rⁿ. Pertanto, H₁, H₂, ..., H_n formano una base ortonormale di Rⁿ.

Dimostrazione di somma diretta in spazi vettoriali

Dimostrare che se W è un sottospazio di dimensione finita di uno spazio vettoriale euclideo V, vale W + W^⊥ = V e tale somma è diretta.

Dimostrazione

Consideriamo W un sottospazio di V. La somma W + W^⊥ è una somma diretta se e solo se l'intersezione tra W e W^⊥ è il vettore nullo. Dimostrando che ogni vettore in V può essere espresso univocamente come combinazione lineare di vettori in W e W^⊥, si ottiene la somma diretta.

Quindi, se w ∈ W e w ∈ W^⊥, allora w deve essere il vettore zero. Pertanto, W + W^⊥ = V con somma diretta.

Dimostrazione di vettore di modulo minimo

Siano V_R uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, v ∈ V e W un sottospazio di V_R. Dimostrare che in v + W esiste un unico vettore di modulo minimo.

Dimostrazione

Nello spazio v + W, esiste un'unica decomposizione di v nella somma di un vettore in W e uno in W^⊥. Il vettore che minimizza il modulo è quello ortogonale a W, poiché la proiezione ortogonale riduce la distanza.