Dimostrazioni per orale di Analisi 1

1) Disuguaglianza di Bernoulli

(1+x)^m ≥ mx+1

Procedo per induzione

0) (1+x) ≥ 0 ⋅ x≥-1 ✓

(1+x)^m+1 = (1+x)(1+x)^m ≥ (1+x)(mx+1) = (1+x)mx + (1+x) → mx² + mx + x + 1

2) Binomio di Newton

Hp: (a+b)^m = ∑_k=0^m(^m⁄_k)a^m-kb^k

Procedo per induzione

0) (a+b)⁰ = (⁰⁄₀) a⁰ b⁰ = 1 ✓

(m+1) (a+b)^m+1 = (a+b)^m(a+b) = (a+b)∑_k=0^m (^m⁄_k) a^m-kb^k → inserisco i termini nella sommatoria (aumento di "1") →

induttiva: (a+b)^m+1 = (^m⁄_k) a^m-k b^k+1 + ∑_k=0^m (^m⁄_k-1) a^m-(k-1) b^k → traslo gli indici nella seconda sommatoria (sovrapponendo il termine k = 0) →

∑_k=0^m (^m⁄_k) a^m+1-k b^k + ∑_k=0^m (^m⁄_k-1) a^m-(k-1) b^k → uso calcolo k₀ nella prima sommatoria in modo tale

da ricondurmi allo stesso indice di partenza: k₀ = (^m⁄_k)^m+1 + ∑_k=1^m+1 (^m⁄_k) a^m+1-k b^k → uso calcolo k₁ nella 2°

sommatoria per ricondurmi allo stesso estremo superiore →

riscrivo tutto per esteso:

(^m⁄₀) a^m-k b^k+1 + (^m⁄_k) a^m-(k-1)b^k a^m + ∑_k=0^m (a+b)^k

unisco le sommatorie ⁄ (^m⁄₀) a^m-k + ∑_k=1^m (^m⁄_k-1)

per formula di ricorrenza ∑_k=0^m (^m⁄_k-1)

sommato e traslo gli indici:

(a+b)^m+1 = (^m⁄_k>) a^m+1-k b^k-1 ✓ verificato

Disuguaglianza Triangolare

|x+y| ≤ |x| + |y| ∀x,y ∈ ℝ

Note che |x| = -x, se x ≤ 0

|x| = x, se x ≥ 0

|y| = -y, se y ≤ 0

|y| = y, se y ≥ 0

quindi: -|x| ≤ x ≤ |x| e -|y| ≤ y ≤ |y| =>

somme i membri per ottenere una sola diseguaglianza => -|x| - |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y| quindi -x ≤ |x| e

x + |y| = y - |y| ora riscrivo la somma. Tenendo presente le ultime considerazioni: |y| = -y, se y ≤ 0

|y| = y, se y > 0

o là ciò ricavò che: (|x+y| ≤ |x| + |y| =>

-(|x+y| ≤ |x| + |y|)): =

|x+y| ≤ |x| + |y| ✓

Teorema radice m-esima

Sia x ∈ ℝ, x > 0, e m ∈ ℕ, m ≥ 1. Esiste un unico numero reale positivo x tal che x^m = y. Tale numero si

chiama radice m-esima di y e si indica con la notazione ^m√y, y^1/m = x di conseguenza x^m = y.

Teorema del logaritmo

Sia x > 0, x ≠ 1, e y > 0. Esiste un unico numero reale x tale che x^a = y. Tale numero prende il nome di:

logaritmo in base a di y e si indica col simbolo log_a y = x ossia x^x = y => a^{log_a y} = y

Formule di De Moivre

1) z₁·z₂ = P₁·P₂ (cos(θ₁ + θ₂) + i·sin(θ₁ + θ₂))

II) ^z₁/_z2 = ^P₁/_P2 (cos(θ₁ - θ₂) + i·sin(θ₁ - θ₂))

III) n² = Pⁿ (cos(nθ) + i·sin(nθ))

Dimostrazione di I

Dato: z₁ = P₁(cos(θ₁) + i·sin(θ₁)) e z₂ = P₂(cos(θ₂) + i·sin(θ₂)) allora z₁·z₂ =

= P₁·P₂[(cos(θ₁ + θ₂) + i·sin(θ₁ + θ₂))] => svolgo la parentesi =>

|cos(θ₁)cos(θ₂) - sin(θ₁)sin(θ₂) - i²sin(θ₁)sin(θ₂)| =>

cos(θ₁)cos(θ₂) + sin(θ₁)sin(θ₂) - i²sin(θ₁)sin(θ₂)| =>

cos(θ₁)cos(θ₂) + sin(θ₁)sin(θ₂) + sin(θ₂)cos(θ₁)

formula di addizione del coseno: cos(θ₁ + θ₂)

formula di addizione del seno: sin(θ₁ + θ₂))

P₁·P₂(cos(θ₁ + θ₂) + i·sin(θ₁ + θ₂)) ✓

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Def. di successione divergente: Una successione si definisce divergente se al crescere di m, la successione supera qualunque M>0 fissato (M=numero grande). Inoltre, se supera qualunque M allora diverge a +∞, se supera -M, diverge a -∞. Cioè ∀M>0, ∃m t.c. a_m≥M, ∀M≥m₁ (per a_m→+∞).

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Teorema sulle successioni monotone: Sia a_m una successione e supponiamo che:

1. a_m sia monotona crescente e limitata sup.te
2. a_m sia monotona decrescente e limitata inf.te In entrambi i casi: &meaning; a_m e in particolare:

Nel caso I) &meaning; a_m = sup a_m; nel caso II) &meaning; a_m = inf a_m

Dimostrazione caso 1). Per ipotesi a_m ammette estremo superiore: sup a_m = z ∈ ℝ (l’esistenza del sup è garantita poiché a_m limitata superiormente). Faccio vedere che il &meaning; a_m→z usando la definizione:

Fissso ε>0, devo trovare m_ε tale che |a_m-z| ≤ ∀m≥m_ε.

Osservo che |a_m-z| = |z-2m| (poiche z≥a_m). Pertanto devo dimostrare che: z ≤ a_n+ε (z-ε ≤ 2m)

Adesso che se z=sup.a_m minime dei maggioranti, percio z-ε non puo essere maggiorante poiche

esiste m t.c. a_m ≥ z-ε (cioe esiste un’elemento della successione tale che: z ≥ a_m ≥2m≥(z-ε) quindi conclduco che : z-ε ≤ 2m ≤ z → |a_m-z| ≤ ε ✓

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Teorema sulle successioni monotone illimitate. Sia a_m (m∈ℕ) una successione e supponiamo che:

1. a_m sia monotona crescente e illimitata sup.te
2. a_m sia monotona decrescente, illimitata inf.te

Im entrambi i casi il limite esiste e in particolare. nel case I) &meaning; 2m = +∞; nel case II) &meaning; 2m = -∞

Teoria relativa alle dimostrazioni precedenti

• Monotonia: di una funzione si puo class.ficare l’andamento, o monotonia, in crescente e decrescente.
• Crescente: ∀x₁, x₂∈ x: x₁ ≤ x₂ si allov f(x₁) ≤ f(x₂)
• Decrescente: ∀x₁, x₂∈ x: x₁ ≤ x₂ si allov f(x₁) ≤ f(x₂)
• Se f è monotona decrescente succede che f(x_i) ≤ f(x₂)
• Funzione inversibile: Sia una funzione che abbia un dominio D ⊆ ℝ. Per ogni ingresso x esiste un’unica usita f(x). Pertanto ∃! y ∈ f(D) esiste un solo ingresso x ∈ D allor a

se f dicie inversibile: {∀y ∈ Im f | ∃ x ∈ D t.c. f(x)=y$ }. Quindi f-e inversibile se si realizata

una corrispondenza biunivoca tra i domminie e il codominio di f ^-1. L’inversa di f(x) si indica

con corso. Funzioni non-invramibili sono le punzioni paire e le funzioni periodiche. Somo

sempre inversibili le funzioni strettamente monotome (vedere teorema precedente).