Dimostrazioni esame sull'ottimizzazione

UNIMODULARITA INTEREZZA

E rambla)

A affermazioni

mattice componenti

Sia Allora

m

intere seguenti

una com

a le sono

= .

equivalenti :

unimodulare

è

A

1

. be2m (intero

Y

P [XERM per

interi

di b vettore

ogni

. I vertici sono

Ax Xzon

.

2 = =

: , B

non-singolate

(mxm)

quadrata A

sotto-matrice ha

di

Ogni matrice

una inversa

.

3 a

intere

componenti .

Dimostratione bezm

unimodulate

A P interi

è Vertici di per singolare

non

[XERM

x XOm3 A

Sotto-matrice det(B)

(mxm)

Xo SBA di

di P esiste +

b

Ax

vertice Com 0

= : = ,

( /BOR -m) (BN)

A

posto xo

tale che e

: = =

n

, BXB

Axo b NXno

abbiamo b

+

-

= (B)

=

: (x)

x = On

=

aggiunta

matrice

+

B =

B-1

Poiché _ (B)

det B

intera

A matrice intera

>

- (det(B)) 1

A unimodulare

matrice =

- bezm

bethu Xott"

B1bezm ogni ogni

per per

>

- - .

TEOREMA CAMMINO

DEL SINGOLO

GIN modi

Se ogni

albero di

A) allora [u V3EN solo

coppia cammino

è per esiste un

un p che

, ,

che commette v

u a

Dimostrazione cammini Per

Pr

supponiamo che GIN

assurdo commettono nel

distinti A)

esistano

per in

2 che

e ,

UV pe in

avete almeno comune

7 p arco

un non

devono

i poiche'

tu esiste Per

Pr

=> tyPe

the p ma -

PrUE

t = 2 (G(N 4)

A) e albero quindi t

e da arrivare

posso

un commesso a

,

>

-

.

1 Se

UE ,

Par path ciclo

pa all'arco

te concatenato

tra

7 forma

in un

tu

sottocommino che

y

un P1 di

definizione albero

ciclo

,

ho creato viene meno

un

>

-

w

U 24

+ CONTRADDIZIONE

Per

Se 4-P Per

2 . 7 sarà

tipo

di

modo ci

Wepz sempre

questo

WEP1 un

e

, del

l'estremo che

nel commino

coincide

peggiate guardando

caso sto

con

t Y W ~ Poiche'

U v3 rePRDa

PRPa wesiste

qu

= , ciclo

crearmi un

Patr va a

- tra

il gli

tec estremi

pe

pi ,

solo

tra hanno

te cammino

Il su

su comune

in

cammino n e

definiscono in G(N

ciclo

quindi A)

un ,