Dimostrazioni di Analisi matematica 1

-E

be 2

SXo +

: +

= ,

Xo

X - Ve(Xodxott-Exof(x)elzE

imf(x) ,

Ve07520

22

= : Ex03

Xx(Xo

Scelgo (S1

S S2) 3)

- xo -

min +

= - ,

,

f(x)e(l1 (2

n/l2- E In

3)

E le

quindi

poiché

l E) voto solo

ASSURDO può

insieme

+ + essere

=

- =

, ,

di funzioni

di

continuità

Teorema composte

Proposizione (Re

f A

Siano BERReIR continua

Se f

fla) continua

[B è

è XoEA

in

e g con

:

:

: g

e

.

h(x)

f(x) g(f(x))

allora

CB continua

è XoEA

in in

= .

,

Sia flan)

Dimostrazione che

Dato

be

che continua

f è Xo

successione Xo in

an sia

converge

una

: =

a ; .

f(xolimflan-limb

limf(x) f(x Vano

e

= =

g(flan))

glbn)

Allora continua

Dato f(x)

che

C è in

= :

= g

.

g(y) g(b)

g(y) gly

lin Vby

lil limC a

= =

=

Yo

y >

- f(x)

yo = g(b)

Quindi Xohlan)

che g(f(an)) C

an

successione

ogni converge

per =

=

= converge

a a

hlan

lim

g(f(x)) h(x) hxdzleh(x)

g(y) h(xh continua

e in x

= ovvero

= = =

, #

degli

Teorema zeri

Proposizione fla)-f(b) famette almeno

b)

f continua

Sia A SR-R [a allora

Se

. o in

zero

su

: uno

: A

,

(a f(c)

esiste

b) b) tale che

cela o

ovvero =

,

, , =

flalco .

Dimostrazione f(b)

Suppongo Considero pento Se

il c

<

: lan bel

f(c) trovato che

pento

ho il

O cercavo

· = ,

-

flco la

considero flalf(c)

c) perché o

~ :

f(c)c0

f(c) quindi f(c)

+ 0 0

oppure

· f(cf(b)

(c b)

f(c) considero perché o

O

· ; "Ime bel

,

la

I entrambi proprietà

b)

dimezzato

(ar

l'intervallo bil ha stesse

ad le

rispetto

è

i casi e

, ,

flail

canbib f(be)

<0

a <

e di

Ripeto considero

lo ragionamento

stesso Se :

: ba)

(az

ho

fid) punto

trovato il che ,

o =

= cercavo

· f(d) flailf(d)

(an d) perché

considero

· co

o ,

f(d) f(d)

fld)

quindi

+ 0 0

0 < oppure

· f(d)f(be)

f(d) bel

considero (d perché

0

· , Yas bel

,

In bel

entrambi b2)

(az

l'intervallo lan

rispetto ha

all'intervallo le

dimezzato

i è

casi e

,

, flac) osAlbal

proprietà

stesse canzazbazbebe .

a

:

Ripeto lan

l'operazione

volte ottengo bil <bn bzb1 zb

asantaz = ...

an

...

n e ,

I

crescente

è successione

an una

· livitate b)

contenute

perché [a

in ,

be decrescente

è successione

una

· delle

teorura

Per limb

lim an

il di monotone e

successioni

convergenza e

e

= -

N

13 +

bn]

L'ampiezza di [an è :

,

ocbn-an-bre-An 1 bern-anb

_ 2u

2 ba

(bn-an) lim

lim

Ora =

+0

19 Il

(bn-anl-limbn-lie a

lim an

-

13 0

+

01bn C 2

0

2 =

-an =

m m =

=

-

pento

Quindi perché

l

il è c

m

c :

=

=

lier flan) f(e)

l

an = 0 0

· =

=

+2 Il

13 oflelco

e

lie flbe)

br

L =

13 0

+

f(e) o

=> = #

dei

Teorema valori intermedi

Proposizione fra

f b] tutti

continua f(b)

Allora

Sia ASI-IR [a flal

valori

A i

in assure compresi

: e

: , .

f(b)]

VyElf(a) 7 ceta b] f(c) y

:

ovvero =

.

,

Dimostrazione f(b)

flal

Se dimostrar b

da

nulla a

c

=

· =

: =

= (VALORE

etITRED

f(b) f(x)-0

b)

fla) I

ta

Se g(x)

considero a

<

· g con

=

: . b] Isoma

[a continue

continua .

che di funzioni

è

osservo g su ,

↑

Inoltre f(a)-yo

g(a) = g(a)g(b)

g(b) f(b) =0

= - cela g(c)

b)

teorema

Per esiste

il applicato

degli zen 0 =

:

g =

a ,

f(c)

f(c) 0

y f(b)]

VUE[f(a)

0

=> =

=

- , #

di funzioni

Continuità derivabili

f f

Se allora

derivabile

Proposizione continua

è è

in in Xo

Xo

: , f(x)

f(x)

f(x) f(xd) -

Dimostrazione Abbiamo (x

che Xo)

=

-

: -

Xo

X- f(x)-fo f(x)

destro

Al abbiamo

membro ex-x-

=

XeXo

per

f(x)-f(x) f(x)-f(xo) A continua

Ne che Xo

è

0 in

segue ovvero

ovvero .

#

di

Teorema Fermat

Proposizione f b]-IR

[a

Data Aderivabile

Kotla bl no f ha

Se

No

in in

con

e

:

: , .

,

relativo f'(u)

allora

di

punto o

min

max =

o

un Ela

Dimostrazione b) relativo

No minimo

: , flu) flud

7S01 Vue(no-S Notb)n[a b] =

,

,

Allora : 4 O

-

> No

se >

f(x)

f(u) - = L

U-No ucNo

O se

f

Per derivabile

ipotesi quindi

No

è in :

flufud esiste

fro

lu fino a

e

=

Allora : f(x)-f(x) [permanenza

+ (20) segno]

f

lisse del

zo

=

No

U-

Not

u - f(ul-fluo f(20)

liv [permanenza segno

del

= o

=

U-Uo

No

Ne

Ne che

risulta :

fi(rdO

of(40) 0

=

:Ind + #

di Rolle

Teorema tale

Proposizione fila

Sia b) fla)

lab)

derivabile

b) -R [a f(b)

continua Allora

che

in

in e :

: =

, , .

f'(40)

[a b]

71 0

=

:

. ,

7

Dimostrazione .

famette

continua b] Weierstrass assoluti

[a Vale b]

di [a

teorua

è il in

in = min

max e

: ,

. MIN

flue)

Supponiano fuz)

b)

Uzeta

M e e .

m

=

,

,

b)

une la

Se f

un è

=

· per

max

, f derivabile

è in

=> un

f (1)

di

th Fermat

= 0

per =

.

rela b) e 12

Se f

è win

· per

, derivabile

A è in Uz

=> f' (42)

th. Fermat

di 0

per

=> =

f(a) f(a)

f(b) f costante

Se f(b) M

Me hyp

b

Un è

= =

Uz =

a m

=> = =

= = m

· per

= =

= e .

f'(n)

f(u) b)

Vut(a

#

se 0

=> = =

= , #

Lagrange

di

Teorema f(b)-f(a)

f'(n0)

Proposizione b)

[a

f b)

Sia Flot(a

la b)

derivabile

+R continua b) Allora

[a in : =

su e

:

: , b

, , . , a

-

f(b)"

-

① f'(ud

m

mx

y q =

+

= f(a)

f(b)

fla) -

M

· = b a

-

&

b

a No flb-fa

flall -alfl

Costruisco (a

Dimostrazione f(b))

1 b

passante

retta B

la A y

=

per =

=

: :

e

, ,

Definisco : (x-al)

i f(a)

f(b) -

f(a)

f(x) continua

g(x) ge b)

[a

=

+ in

= - .

b a

- b)

derivabile (a

è in

g

=> ,

f(a)

f(b) - 0(g(a)

(a

f(a) f(b) a)

g(a) 0

=> =

- -

-

= b a

- g(b) 0

=

f(a)

f(b) =

-

f(b) f(b)

g(b) (b a) =

-

- -

= b a

-

che

Visto Jot(a b)

vale

g(b) di g'(nd)

Rolle

gla) il th 0

:

=

= =

,

.

f(a)

f(b) f(b) f(a)

-

- #

g'(ud) f'(x0) f'(u0)

1 0 =

=

- =

·

= b

b a

a -

-

Test di monotonia derivabile

Proposizione f b)

b)

Sia (a -IR-IR la allora

in :

:

: , , ,

flu0

b)

f

i) b)

Vue(a

la

coscente

è in ese

, ,

f f'(u)

bl Vu-(a

i) decrescente la b)

è in -0

se

, ,

f

il Sia lat(a

[a b)

b]

Dimostrazione Ven

crescente b)

la

IR ha

in meche si

con

se

+

:

: ,

,

, ,

f(x) f(uz)

= . f(uo f(ud)

h)

+ -

Consideriano incrementale

rapporto

il 0

.

1

.

h

di

Per del

th

il permanenza segno :

. f(u0)

f(x h)

+ - f'(40)

live 0

=

e =

h

f (a,b) f'(u)0 b)

crescente Vuela

quando

Ne risulta che è in ,

flulco b)

Se (a .

il Vue(a f b)

crescente

è

= in

, ,

Considero Uzf(a Mostro

b) fluz) .

Alte)

che

Un Uz

Un

e .

,

, 22]

Considero fi[sen

22]

l'intervallo (a

[ve b)

la funzione

la DIR

b) =

= e -

,

,

, ,

I

f [rn

continua 22]

è

= in , Vale th di Lagrange

il =

.

derivabile

f vel

(21

è in

=> ,

f(42)-fleel

+(2

540 42) f (la)

=> : =

, Ve

22 - f(x)

f(uz) -

f'(2010 b)

Per ipotesi (a

perché Hot 20

:

. 21

12 - ottiene

perché

che quindi

ha 12

un

12-2170 si

ma si :

f(xz)#

f(x)

f(uz) f(m) =

0

=

=> =

-

Cauchy

Teorema di

Proposizione Siano g'(u)

b]

A [a continue b) b)

IR derivabili Vre(a

tali

b) la

[a che +

- 0

in in

g e

: : ,

, , ,

.

Allora : A(b)-f(a)

%(20)

-Hot(a b) =

: g(a)

g(b)

, g'(x0) -

[g(b) [f(b) f(a))g(x)

g(a))

Costruiso

Dimostrazione f(x)

h(m)

: = -

- - .

b)

[a

continua

h è in

· , b]

derivabile [a

h è in

· ,

g(a))f(a)

[g(b) f(b)g(a)

[f(b) g(b)f(a)<