TH
Vogliamoprovare
di
differenziale f io
oh
TH XO
t
Ricordiamo fascio
che l'Canon del vette
di un
che punto
per
passo
è
Pito yo my
y to
yo è
vette
fascio che
di
l'equasione B
de per
passa
y in to
to t levette
di
vetta tra
gratin B
al nel
la t tangente punto e
il fitto
colti uguale
quella a
angolare
con
l'equo di A
quindi 2 FAO XD
t X
Xo
y
l'ordinato A the
nel
ottiene
del T la
valutando
punto to
punto
si doth TI
Ao
t
flot ao is
y devo
ott
che
Abbiamo to
TH
provato 01h
Alto xd
thoth At quindi ti
quindi CH del differenziale nel calcolo
Applicazione importante uso approssimato
la
il different
valore il
calcolare 011 1,2 usando
1
Esempio appross
la
che o
n
sappiamo toth
f
che ht
tf to
A Sappiamo
uff en f ln
x
consideriamo
Ifi D
valutare
cui
1 in so
punto
o
la
1,2 filio
tho trovare
e
in conosciamo possiamo
a
e le
Toth quindi
1,2 0,2
Fix t
fax t'ho
f
derivata I 1
sostituisco
yo x con
1
fitto
ln oh
ht
la
Into
th
diventa f
quindi 2
to ln 6h
oh
1 trascuro
0,2 1,2 0,2
rifatti
V78
Calcolare ÈÈÈÌ
É
VI
pertrovareV78
V76 fly
4
che consideriamo
sappiamo dire
l t tluthftholtflxd.hn
f
derivata pertanto
x xo g
2 4
V18 E I
4 2 4,25
elasticità
Incremento relativo
incremento
assoluto e
ai della variabile indipendente
h
th
to to to toth h
assoluto toth
incremento to
incremento relativo
funzione
della toth
f
fito
funzione
la da
passa a rapporto
del
Koth
f
assoluto numeratore
e increment
incremento f to l'incremento
è il il
assoluto
tra
relativo rapporto
incremento e
f
valore di Xo
in
flxoth FAO
f XO
l'incremento è detto
relativo anche incremento percentuale
100 valore
1 E
W iniziale
Esempio o E
1 110 valore dopo
w anno
un
assoluto
WIll 110 100 incremento
W 10
O t
wto relativo
win incremento
10 di
ff 0,1
wld E
Esempio WO 1000
2 1010
WH Assoluto
E
1010
1 W 1000
W o in
10 Cr
win relativo
WH 1 nevi
0,01
Ifo
Wto d'interesse
matematicafinanziario tasso annuo
in il di funzione
una
rapporto incrementale
Oss thoth f to
h
il l'incremento di l'incremento
f
assoluto assoluto
tra
rapporto e
e
di X d'arco
elasticità toth
intervallo
nell
chiama Xo
Definizione si
il l'incremento f il
relativo di
tra
rapporto e
incremento di
relativo X quando
corrispondente passa
toth
da cioe
a
Xo
f th f to
to relativo
incremento
f
to di relativo
incremento di X
all'elasticità d'arco
Problema succede h
che cosa quando o
l'elasticità d'arco scritta
può essere di f
incl
rap
fa
tta
tooth j
thot È il limite del
derivabile che
funzione f
se increm
so
la e rapp
to
in
ed finito
esiste quindi
è
L'If ftp.t.gg
t'ho fig to
fig to EHI Puntuale
Quindi flnfhlly to
Ef o ftp.to
lnflxd.to
soft funzione
Esempio il
che
consideriamo la rappresenta
a
costo di bene
la
produrre quantita
per un
o del
costo
l'incremento di di
quantità 12
Se e
corrispondente
vapporto
allora il è
gli incrementi
tra quantità
incrementa del il
la
risultare
può che
anche 10
qual
dell
incremento
costo caso
corrispondente si nel
rapporto
il è
loro del
può ad delle
10
risultare incremento
che
anche un di
del costo
quantità 100
corrisponefokosongreggotage
produzione In 1
te
Definizione se 1 elastica
f
Ef che
diciamo to
e in
to è rigida
f
Ef to
in
diciamo
1 che inelasto
to
Ef f two
diciamoche
1 into
one
xo
Ottimizzazione
Problema funzione f
dato X
una f
di relativi
trovare assoluti
eventuali punti di minimo
e
max o
per
nel di
di risulta
valori dominio
individuando quali f
X
per decrescente
crescente
monotona o
PRELIMINARE
RISULTATO fermat
teorema di è di
f tale or
R b punto
b E
se che to max
un min
sia
a o
f derivabile allora
f Xo
e se e in
per f xd o
dimostrazione nullo
ta colf
io hanno
ta Ang
X
asse
parallele
ENI
1
T
a rel
il
consideriamo caso may
o
i I
toth
toth to h
del di
il
studiamo al
incrementale variare
rapporto
segno
h è di
fitoth f perche to max
o
o to
pertanto thoth o
h di
floth to
f max
perche
co to co
n 1401
thoth
pertanto o
Nco
Quindi
h soffiata o
h co It so finito
esiste limite
il del incrementale
Poiche rapporto
che
sappiamo derivata
l'unico valore può
che la cioe
e
allora to o
assumere in
f o
Xo
fosse stato stessa cambiavasolo il
di
Oss se cosa
minimo
lo destra
del sinistra di
e
increm a a
rapp
segno 0
teorema
Il del vero
e
2 viceversa nos I
IR
f
funzione
la
consideriamo
infatti se FAYU X
filo
risulta
o
in o
è di di
ne
punto max
ne min
o non
x
ma
i è
f derivabile
di
di
punti
Ci non
min
max e cui
in
sono a derivabile
X e
ma non
in o
D
0
Per di
punto
condizione
trovare mou
che assicuri
ci se to e
una un
teorema
di habbiamo del
min seguente
bisogno
o
TEOREMA LAGRANGE
DI R
b è
f funzionecontinua
a
se una
è b allora
la
Cal derivabile su
su
B
Al celo b
esiste che
tale
almeno un
il f b di
f wet
c
au f ang
in toto
b a
I
IH
Pt
flat angoli
colf
A r
i i
I
i i
la
è G
Ca cè solo
E
se f
Oss e
1 e in un
1 i
b b
c è derivabile
f esserci
può
se
Ossa non
non e
dare
spuntino la
continua b stessa
f
se non e
3 su cosa
of b
f
flop
particolare
caso la
R b derivabile
è continua
b
teorema f e
di Rolfe se su
a tale che
la b
la almeno
allora esiste
b e
su c
un
FIC o fi b flat
f b f
di allora
teorema f
nel c
se o
a
Lagrange b a
Geometricamente
a µ
I
flotta p
le
ossa del essenziali
tutte
teorema
ipotesi sono
continuità
1 a continua f annulla
punti
sono in cui
non ci si
b
to
a
Derivabilità
b
1 punto angoloso
to f annulla
punti
non sono si
cui
ci in
µ
flats I
lb to b
a f
1 FCA b
C cui f annulla
punti
sono
ci
non si
in
vi F
flat b
a LAGRANGE
del
importante di
2 teorema
Conseguenza K del
f allora f o
che
Sappiamo se come conseguenza
x
x dimostrare
di
teorema il
è anche
LAGRANGE che vero
possiamo
il
viceversa seguente
cioe fu
f b
fa costante
se K
allora
e
o
x o f derivabile
f risulta che
Dimostrazione b
poiché e a
o
x in
f
Pertanto soddisfa
anche
quindi continua le
e sull'intervallo b
di
del teorema o
Lagrange
ipotesi
tela la
b funzione teorema
soddisfa
f del
consideriamo le ipotesi
di anche 10,1
Lagrange in
I celo f
t.c.fi
Quindi x e
floul
file l
risulto
Vx le
Elon so
Poiche c
o
f flou
Quindi o
x A
X FG flou
FA FIA O FG
nell'intervallo b fla
scelto
stato a ou
poiché e caso
te_costante
b
Oxa quindi
A
TEST PER LA MONOTONIA
preliminare
osservazione
il di funzione
incrementale monotona
come rapporto una
e strettamente crescente
Funzione monotona titolo
Hath ho fitoth
j
tito so
ho fitoth 1401
1 o
i
M i
i h co
i
i
i i th
roth to to
fosse
funzione monotona
stata
Se decrescente allora
la non
stato
sarebbe Hoth Hol Wh IR
E
0
h
funzione monotona strettamente decrescente
Hoth fhoth fao o
thot h o
Hoth ho floth tho
__ co
a
ruth toth
to
stata crescente
fosse
f
se monotona non
their
tho
Hoth so
h 7 finito
derivabile il limite
f che del
se rapporto
significa
e della
f il
coincide teorema
incrementale questo per
e Xo
con del
f
del il
permanenza rapporto
conserva
to segno
segno
incrementale
così
Abbiamo il
vale
che
provato
derivabile la
f
teorema b
sia su b
Helou
f crescente t
allora
e O
se x b
Helou
t so
f allora
decrescente
e f
se teorema il
il cioè
Vale vale
di questo
anche viceversa
test monotonia
teorema la
per
7
la Velo
f derivabile Lou b
e A risulta
b se
in
sia allora f
FIN monotona decrescente
t non
e
so
o e
monotono crescente
non It
fix
t'xe allora
-
![Differenziabilità]()
Differenziabilità
-
![Derivate, continuità, monotonia differenziabilità]()
Derivate, continuità, monotonia differenziabilità
-
![Derivate e differenziabilità]()
Derivate e differenziabilità
-
![Gradiente e differenziabilità con esercizi di continuità, differenziabilità e derivabilità]()
Gradiente e differenziabilità con esercizi di continuità, differenziabilità e derivabilità
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
