Prodotto Scalare, Matrice Invertibile, Determinanti e Proprietà delle Matrici (Teoria + Esempi)

Prodotto scalare in K^m

Siano (x₁, x₂, ..., x_n) (y₁, y₂, ..., y_n) ∈ K^m, si definisce prodotto scalare standard tra essi l’elemento del campo K con definita:

(x₁, x₂, ..., x_n) · (y₁, y₂, ..., y_n) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n = Σ x_k y_n ∈ K

Dunque il prodotto scalare standard in K^m è un’applicazione:

K^m × K^m → K

Esempi

1. In K⁴ (1, -1, 2, 4) · (2, -3, -2, 1) = 2 + 3 - 4 + 4 = 4
2. In K² (3, -1, 0) · (2, 5, -1) = 6 - 5 = 1

PRODOTTO RIGHE x COLONNE

esempio:

(2 4 3) (3 4 6) = (6 4 9)

(3 0 4) (0 -1 4) = (9 3 12)

(0 1 -3) = (-3 4 6)

3x2 2x3 3x3

ESERCIZIO

calcolare

1. (4 3) (0 2 2) = (-2 -4 -4)

   (3 5) (1 3 5) = (5 24 49)

   (0 * 2) + (-2) = -2

   (2) = -4

   (4 * 2) + 25 = 24

   (1)

   (2 * 5) = 10

   (6) = 25

   (2)

2. Posto

   A = (1 0 1) calcolare A² = A.A

   (0 1 0)

   (0 0 0)

   A² = A (A matrice idempotente)

3. A = (1 0 2) B = (3 1 0)

   (2 1 4) (2 -2 1)

   A . B = (1 0) = (3 1 0)

   (2 -1) (2 2 1)

   = (3 1 0)

   (4 2) = ñ

   3 1 0 - ñ

   2 2 1 - Ñ

   1 (-1) - ñ = -5 - ñ

   ñ = (-1 - ñ) =

   - 5 =- 7

3) La matrice B = ^{(_{0 1 1 0})} è invertibile, infatti:

B · B = ^{(_{0 1 1 0})} · ^{(_{0 1 1 0})} = ^{(_{1 0 0 1})} dunque B^-1 = B

a) La matrice C = ^{(_{0 1 0 0})} non è invertibile, infatti

^{(_{0 1 0 0})} · ^{(_{c d e f})} ≠ ^{(_{1 0 0 1})}

PROPRIETÀ

1) Se A ∈ Mn(K) è una matrice invertibile ⇒ A^-1 è invertibile e

si ha:

(A^-1)^-1 = A

dim. A invertibile ⇒ A · A^-1 = A^-1 · A = I_m

Da ciò segue che A^-1 è invertibile e

2) Se A, B ∈ Mn(K) sono matrici invertibili ⇒ A · B è invertibile

e si ha:

(A · B)^-1 = B^-1 · A^-1

dim. Poiché A e B invertibili, si ha:

A · A^-1 = A^-1 · A = I_m (1)

B · B^-1 = B^-1 · B = I_m (2)

Usando la (1), (2) e le proprietà associative si ha:

(A · B) · (B^-1 · A^-1) = A · (B · B^-1) · A^-1 = A_m · A_m · A^-1 = A · A^-1 = I_m

(B^-1 · A^-1) · (A · B) = B-1 · (A-1 · A) · B = B^-1 · I_m = B^-1 · B = I_m

dunque A · B è invertibile e (A · B)^-1 = B^-1 · A^-1

Consideriamo l'insieme GL(m, K) formato da tutte le matrici

invertibili di Mn(K). Per la proprietà (2) si ha che:

∀A, B ∈ GL(m, K) ⇒ A · B ∈ GL(m, K)

Dunque: GL(m, K) x GL(m, K) -> GL1(m, K) op. inversa.

La struttura (GL(m, K), ·) è un gruppo infatti:

1. · è associativa;
2. (1) I_m ∈ GL(m, K) l'elemento neutro I_m;
3. Ogni elemento di GL(m, K) è invertibile.

Poiché per m ≥ 2 l'operazione · il prodotto righe x colonne non è

commutativo, GL(n, K) non è un gruppo NON ABELIANO.

Infatti, con il gruppo lineare generale a ordine m, dove campo K

G(L(A, K), n) ⊆ Z9.

Infatti, le matrici 4x4 con assunzione normali del

campo K e l'unica matrice 4x4 non invertibile è la matrice

Proprietà dei determinanti

Sia A ∈ M_n(K):

• Se A possiede una riga o colonna nulla ⇒ |A| = 0
• Se A' è ottenuta da A scambiando tra loro due righe o colonne ⇒ |A'| = -|A|
• Se A' è ottenuta da A moltiplicando una sua riga o colonna per un elemento k ∈ K ⇒ |A'| = k·|A|
• Se A possiede due righe o colonne uguali ⇒ |A| = 0
• Se A possiede due righe o colonne proporzionali ⇒ |A| = 0
• Se le righe o le colonne di A sono linearmente dipendenti ⇒ |A| = 0
• A^t = |A|
• (Teorema di Binet) Se A, B ∈ M_n(K) ⇒ |A·B| = |A|·|B|

Matrici simmetriche

Una matrice A ∈ M_n(K) si dice:

• Simmetrica ⇔ A = A^t o anche se a_ij = a_ji, ∀i,j.
• Antisimmetrica ⇔ A = -A^t o anche se a_ij = -a_ji, in particolare per i = j si ha a_ii = -a_ii ⇒ 2a_ii = 0 ⇒ a_ii = 0 (se 2 ≠ 0)

Sia A ∈ M_n(K):

• A + A^t è simmetrica ⇒ (A + A^t)^t = A^t + A = A + A^t
• A - A^t è antisimmetrica ⇒ (A - A^t)^t = A^t - A^t = -(A - A^t)
• A·A^t è simmetrica ⇒ (A·A^t)^t = A·A^t