Prodotto Scalare, Matrice Invertibile, Determinanti e Proprietà delle Matrici (Teoria + Esempi)

PRODOTTO SCALARE IN K^m

Siano (x₁, x₂, ..., x_n) (y₁, y₂, ..., y_n) ∈ K^m, si definisce prodotto scalare standard fra essi l'elemento del campo K così definito:

(x₁, x₂, ..., x_n)·(y₁, y₂, ..., y_n) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m = ^m∑_k=1x_ky_k ∈ K

Dunque il prodotto scalare standard in K^m è un'applicazione:

K^m x K^m → K

ESEMPI

1. In K⁴ (1, -1, 2, 1)·(2, -3, -1, 1) = 2 + 3 - 2 + 1 = 4
2. In Kⁱ (3, -1, 0)·(2, 5, -4) = 6 - 5 = 1

Prodotto scalare in K^m

Siano (x₁, x₂, ..., x_m) (y₁, y₂, ..., y_m) ∈ K^m, si definisce prodotto scalare standard tra essi l'elemento del campo K così definito:

(x₁, x₂, ..., x_m) · (y₁, y₂, ..., y_m) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m = ^m∑_k=1 x_ky_k ∈ K

Dunque il prodotto scalare standard in K^m è un'applicazione:

K^m × K^m → K

• Esempi

  1. In K⁴ (¹, -1, 2, 1) · (2, -3, -2, 1) = 2 + 3 - 2 + 1 = 4

  2. In K² (3, -1, 0) · (2, 5, -1) = 6 - 5 = 1

PRODOTTO RIGHE x COLONNE

( ₁ 0 _-1 0) ( ³ 4 ⁰ -1) = (₃ 3) =>((₄ ³ 0 ^-1 -3) ) ³ 3 3_x2 3_x2 3_x2

esempio:

( 2 ₃ 0 -2 ) ( 3 ^{4 0} 1) = ( ⁶ 4 9 4 ^{-3 -1} 3_x2 2_x3 3_x3

ESERCIZIO

calcolare:

1. (_-3 5) ( 0 _-2 ³ 4 ) = (_-2 -4 _-1 ¹⁹)0 + (-2) = -24 × (-2) = -<6 + 2 = 65 × 2 = 4
2. Posto A = ( 1 0 1 ) calcolare A² = A • A^A2=A (A matrice idempotente)
3. A = ( (0 0 12 _-1 4 0 _-4 2 1 ) = ( 3 ¹ 0 A_B )(⁴ 0 4 2...=10 1 -1

B · A =

3 4

2 2

1 0

2 1

5

-1

4

6

3 2 = 5

4 - 1

2

2

2 (2 - 3) = 2 = 4 - 1 =

1 u

λ

λ

λ

3

-2

0

3

λ - 4

0

3

λ = -2

+ 4 =

-2

+ λ = 2

NON SEMPRE È DEFINITO IL PRODOTTO RIGHE x COLONNE TRA MATRICI

Siano due matrici.

A, B

Ai Bi

C

j

k=1

⇒

C

Cij =

Se А, В Є H_m К) => А . В Є Н_m( К), quindi:

• _m( К х_m( К) = _m(K) e un operazione interna,

infatti in Н_m( К) e già definita l’operazione interna di addizione

• [ Н_m( K) х Н_m ( К), +, •) e un ANELLO, ovvero:

1 ) ( Н_m( К), +) è un gruppo abeliano;

2) • e un'operazione associativa ,

3) Valgoma le leggi distributive:

(A+B) C=A-C+B-C ~ (A (B+C) = A · B+ A -C V А, В С EН_m( К ).

Che la struttura H_m( К), +) sia un gruppo abeliano è già noto,

essendo H_m( К ) uno spazio vettoriale, che campo К Verifichiamo.

La proprietà associativa rispetto al prodotto righxcolonnae

Stiamo *A*B*C ∈ H_m(K) Bisogna dimostrare che l’elemento generico di

posizionejp della matrice A (B+C) coincide con elementa di posizione _5

della matrice A-(B-C).

[A(BoC)t_ijis =

=Σ >

= Σ