Determinanti

Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice

Determinante di una matrice quadrata

Il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine m è fondamentale per diverse operazioni, tra cui l'inversione della matrice stessa.

Matrice inversa

Il calcolo dell'inversa (se esiste) di una matrice quadrata di ordine m si basa sul determinante. Si definisce A^-1 la matrice inversa di A, tale che:

A · A^-1 = A^-1 · A = I_m, dove I_m è la matrice identità di ordine m.

Per calcolare la matrice inversa A^-1, è necessario saper calcolare il determinante di A.

Calcolo del determinante

• m = 1
  A = [a₁₁] → det A = a₁₁
• m = 2
  

  A =

  a11	a12
  a21	a22

  → det A = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁
  

  Esempio:

  1	2
  -1	1

  → det A = 1 · 1 - 2 · (-1) = 1 + 2 = 3
• m = 3
  

  A = ⎧_{i,j = 1}^m a_ij ⎩ ➔ det A

• m > 3
  

  A ha ordine m ➔ det A

  Metodo di Laplace oppure Metodo di Sarrus (vale solo ed esclusivamente per m=3)

Metodo di Laplace

Formula generale di Laplace: ogni elemento di A^-1 si elide con

∑_i,j=1^m (-1)^i+j a_ij det A_ij, dove A_ij è l'ottomatrice di A togliendo la riga i e la colonna j.

Esempio: Metodo di Sarrus

Per m = 3, applichiamo il metodo di Sarrus:

A =

Determinante:

= 30 - 8 + 0 - 3 = 30 - 8 - 3 = 19