Determinanti

- Il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine m

- Il calcolo dell'inversa (se esiste) di una matrice quadrata di ordine m

def Si definisce A^-1 matrice inversa di A la matrice per cui valgono:

A · A^-1 = A^-1 · A = I_m dove I_m è la matrice identità di ordine m.

Per calcolare la matrice inversa A^-1 bisogna sapere calcolare il determinante di A.

def Si definisce il determinante per

m = 1

A = [a₁₁] → det A = a₁₁

m = 2

A = # a₁₁   a₁₂ #

    a₂₁   a₂₂ #

→ det A = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

# A = # 1   2 #

    -1   1 #

→ det A = 1 · 1 - 2 · (-1) = 1 + 2 = 3

m = 3

A = ⎧_{i,j = 1}^m a_ij ⎩ ➔ det A

m > 3

A ha ordine m ➔ det A

Metodo di Laplace oppure Metodo di Sarrus

(vale solo ed esclusivamente per m=3)

Metodo di Laplace

Formula generale di Laplace

ogni elemento di A^-1 si elide

∑_i,j=1^m (-1)^i+j a_ij det A_ij dove A_ij è la

ottomatrice di A togliendo la riga i e la colonna j.

Esempio

m = 3 metodo di Sarrus

A = [ 2  4   -1]

      0  3    2

     -1  0    5

det [ 2  4   -1   2   4]

      0  3    2   0   3

     -1  0    5  -1  0

= 30 - 8 + 0 - (3) = 30 - 8 - 3 = 19