Definizioni Algebra e geometria lineare

Allora

Proposizione 12.1. Siano U, V spazi vettoriali, u1,..., uk 2 U, v1,..., vk 2 V . (1) Se u1,..., uk

generano U allora esiste al più una applicazione lineare F : U ! V tale che F(u1) = v1, F(u2) = v2, ···

, F(uk) = vk. (2) Se u1,..., uk sono linearmente indipendenti allora esiste almeno una applicazione

lineare F : U ! V tale che F(u1) = v1, F(u2) = v2, ··· , F(uk) = vk. (3) Se u1,..., uk sono una base di

U allora esiste esattamente una applicazione lineare F : U ! V tale che F(u1) = v1, F(u2) = v2, ··· ,

F(uk) = vk.

Definizione 13.2. Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Il nucleo (kernel) di F è ker F = {u 2 U :

F(u)=0V }. Il nucleo è quindi l’insieme dei vettori di U la cui immagine tramite F è il vettore nullo.

Proposizione 13.3. Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Allora ker F è un sottospazio di U.

Definizione 13.5. Sia F : U ! V un’applicazione lineare. L’immagine di F è Im F = {v 2 V : 9u 2 U,

F(u) = v}. L’immagine di F è quindi l’insieme di tutti i possibili risultati, (o immagini, o output) che

si possono ottenere applicando F agli elementi di U.

Proposizione 13.6. Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Allora Im F è un sottospazio di V .

Proposizione 13.7. Sia F : U ! V un’applicazione lineare e supponiamo che U = hu1, u2,..., uri.

Allora Im F = hF(u1), F(u2),...,F(ur)i

Teorema 14.1 (delle dimensioni). Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Allora dim ker F + dim

ImmF = dim U

Teorema 15.1 (delle dimensioni). Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Allora dim ker F + dim ImF

= dim U. 

Osservazione 15.2. Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Allora dim Im F dim U. Questa è una

conseguenza immediata del teorema delle dimensioni: infatti dim Im F = dim U – dimKerF <= dim

U

Definizione 15.3. Siano A, B due insiemi e f : A ! B una funzione da A a B. La funzione f si dice •

iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte tramite f, cioè se per ogni a1, a2 2 A tali

che f(a1) = f(a2) si ha necessariamente a1 = a2. • suriettiva se per ogni elemento b di B esiste

almeno un elemento a di A tale che f(a) = b. • biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

Osservazione 15.4. Per definizione un’applicazione lineare F : U ! V è suriettiva se e solo se Im F =

V e quindi la suriettività viene studiata utilizzando l’immagine dell’applicazione lineare. Per

stabilire se F è suriettiva è quindi sufficiente verificare che dim Im F = dim V. Il prossimo risultato

ci dice che l’iniettività si determina studiandone il nucleo.

Proposizione 15.5. Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Allora F è iniettiva se e solo se ker F =

{0U }.

Corollario 15.6. Sia F : U ! V un’applicazione lineare. Se dim U > dim V allora F non è iniettiva. Se

dim U < dim V allora F non è suriettiva.

Definizione 15.7. Un’applicazione lineare F : U ! U con dominio e codominio U si dice un

endomorfismo di U.

Corollario 15.8. Sia F : U ! U un endomorfismo. Allora F è iniettivo se e solo se è suriettivo.

Definizione 16.1. Un’applicazione lineare F : U ! V biiettiva si dice un isomorfismo.

Proposizione 17.1. Siano F : U ! V e G : V ! W due applicazioni lineari. Allora la composizione G o

F è un’applicazione lineare. ⇥ ⇥

Definizione 18.1. Sia A una matrice k n e B una matrice n m. Allora il prodotto (righe per

⇥

colonne) tra A e B è la matrice AB di forma k m il cui coefficiente di posto (i, j) è dato

moltiplicando la riga i di A con la colonna j di B. ⇥

Definizione 20.1. Data una matrice quadrata A di forma n n possiamo considerare l’applicazione

lineare FA : Rn ! Rn data da ME E (FA) = A. L’applicazione FA è quindi quell’applicazione lineare

le cui equazioni rispetto alla base canonica di Rn siano date dalle righe di A. ⇥

Osservazione 20.3. Più in generale, se A è una matrice rettangolare di forma n m si potrebbe

anche definire in modo analogo un’applicazione lineare FA : Rm ! Rn. Tuttavia in questo corso ci

limeteremo a considerare le applicazioni FA solo nel caso in cui A è quadrata.

Proposizione 21.1. Siano A e B due matrici quadrate. Allora FA o FB =FAB.

Corollario 22.4. Sia A una matrice quadrata. Allora A è invertibile se e solo se A ha rango massimo.

Teorema 24.3. Una matrice A non è invertibile se e solo se det(A)=0

Definizione 25.1. Una matrice A si dice diagonale se i coefficienti di A che non stanno sulla

diagonale sono tutti nulli. La matrice A si dice triangolare superiore se i coefficienti sotto la

diagonale di A sono nulli. La matrice A si dice triangolare inferiore se i coefficienti sopra la

diagonale di A sono nulli.