Curve di Dini

Curve

φ : [t₀, t₁] → ℝ²

ψ continua

ψ(t) ∈ ℝ²

• γ(t) = (x(t), y(t))
• rappresentazione parametrica
• γ(t)
• γ'(t) = (x'(t), y'(t))
• Velocità

• φ =

  x(t) = cos(t)

  y(t) = sin(t)

  t ∈ [0, 2π]

• ψ =

  x(t) = sin(t)

  y(t) = cos(t)

  t ∈ [0, 2π]

I → ℝ²

ψ(I) sostegno

• φ' = (-sin(t), cos(t))
• |φ'| = 1
• ψ' = (cos(t), -sin(t))
• |ψ'| = 1
• ν = (x', y')
• |ν| = √(x'² + y'²)

Curve

ψ : [t₀, t₁] → ℝ²

ψ continua

ψ(t) ∈ ℝ²

γ(t) = (x(t), y(t))

rappresentazione parametrica

ψ'(t) = (x'(t), y'(t))

Velocità:

γ = { x(t) = cos t

y(t) = sin t

t ∈ [0, 2π] }

γ = { x(t) = sin t

y(t) = cos t

t ∈ [0, 2π] }

I → ℝ²

ψ(I) sostegno

ψ' = (-sin t, cos t) |ψ'| = 1

ψ' = (cos t, -sin t) |ψ'| = 1

V = (x', y')

|V| = √(x'² + y'²)

ψ(t) = ^| | x(t) = t ⁱⁿ t | y(t) = cost | t _{ε [0, 2π]}

Def curva semplice

ψ: [0, c] ^I _{→ ℝ²}

φ è semplice se ^∀ t, _{τ ε [0, c]}

ψ(t) ≠ ψ(τ)

φ: [a, b] ^{→ ℝ2} curva

Def curva chiusa se ∃(a) = ψ(b)

φ(t) = (x(t), y(t)) ℝ ℝ

f(x): [a, b] ^{→ ℝ}

| x(t) = t | y(t) = f(t) | t _ε [a, b]

x ∉ f in [a, b]

? , ?

mi assicura che il sostegno non ha "spigoli"?

, ∈

e

=

curva

regolare

− ()

− ()

− ()

− ()

=

− ()

− ()

=

, − ←

− () − () − ()

− ()

=

− () ()

−

− () ()

= ap. Retta tangente

: =

=

∈

: →

− () ()

− () ()

=

,

=

− () − ()

= (, )

(, )

,

⊥ alla retta

Vettore tangente x', y'

Vettore tangente

Cicloide

x(t) = a (t - sin t) a raggio t ongolo

y(t) = a (1 - cos t)

x'(t) = a (1 - cos t) y'(t) = a sin t

x'² + y'² = a²[(a-acost) + sin²t] = 2a²[1 - cost] ≠ 0

r(θ) θ ∈ I rappresentazione polare

ψ:

• x(θ) = r(θ) cosθ
• y(θ) = r(θ) sinθ

Spirale Archimede

r(θ) = a + θ a > 0 θ ∈ R⁺

x² + y² = (|r - acosθ - 2asinθ)² + (1/2asinθ + 2acosθ)² =a²(1 + θ²) ≠ 0 ∀_∈ θ

r(θ): R

θ ∈ [0, 2π]

X(t) = R cos t

Y(t) = R sin t

circonferenza di raggio R

f : [a, b] → ℝ

ψ = |x(t) = t

|y(t) = f(t)

(y - f(t₀)) f'(t₀) - (x - t₀) f'(t₀) = 0

eq. retta tangente

y = f'(t₀)(x - t₀) + f(t₀)

(x - 1)² + y² = 1

circ. di centro

(1, 0) e raggio 1

x(θ) = r(θ) cos θ

y(θ) = r(θ) sin θ

(R cos θ - 1)² + r² sin² θ = 1

r² - 2r cos θ = 0

r = 2 cos θ

θ ∈ [-π/2, π/2]

Rocorose

r=R₀sin(mθ)

m=2R₀=1

Strofoide

[x] [t²-1][y] [t²-1]

f(x,y)=e^(x-y)3

max e min assoluti in [0,1]x[0,1]

f_x=0 f_y=0

3(x-y)²e^(x-y)3=0

=> -3(x-y)²e^(x-y)3=0

x=y

0,1

1,1

1,0

put. di sella

∆f_i=f(x,y)-f(x,x)=e^(x-y)3-1>0 => (x-y)² >0 => x>y

1. x(t)=t

   y(t)=0

   t∈[0,1]

   g(t)=f(x(t),y(t))=e^t3

   t:0 put. di min

   t:1 put. di max

1. (0,0)
2. (1,0)
3. (1,1)
4. (0,1)

g(t)=f(x(t),y(t))=e^(1-t)3

g'(t)=3(1-t)²e^(1-t)3(t-1)³

1. x(t)=0

   y(t)=t

   t∈[0,1]

   g(t)=e^-t3 decrescente

2. y(t)=t

   x(t)=t

   t∈[0,1]

   g(t)=e^(t-1)3 crescente

max f=f(1,0)=e

min f=f(0,1)=1/e

f(x,y) = x⁴ - y³

1. Punti stazionari in ℝ²
2. Estremi assoluti in [-1,1] x [-1,1]

Df = 0 =>

• f_x = 0
• f_y = 0

Δf = f(x,y) - f(0,0) = x⁴ - y³ ≥ 0 => y ≤ ʸ√x⁴

(0,0) = punto di Sella

Dallo studio di f nella frontiera di [-1,1] x [-1,1]

f(0,1) = -1

f(0,-1) = 1

(0,1) punto di minimo assoluto

f(-1,-1) = f(1,-1) = 2

(1,-1) e (-1,-1) punti di massimo assoluto

f(x,y)=y²x-y⁵+3y²

Definire i punti stazionari

Df=0=>

{

y²=0

{

2xy-5y⁴+6y=0

=> y=0

(x,0) retta di punti stazionari

H_f(x,0) = 0

Δf(x,y)=f(x,y)-f(x,0)=

= y²(x-y³+3) > 0

punti di minimo

(x,0) x>-3

(-3,0)

punti di massimo

(x,0) x<-3

(-3,0) punto di sella

x>y³-3

f(x,y) = x² - 3y⁴ + y⁶

i) Determinare estremi relativi

ii) Determinare max e min assoluti in x² + y² 2x = 0 => x = 0

f_y = 0 => -6y³ + 6y⁵ = 0 => y = 0 oppure y² = 1

I punti di estremo relativo sono (0,0) (0,1) (0,-1)

H_p(x,y) = f_xxf_yy - f_xy² = 2(30y⁴ - 6) = H_p(0,0) = -12 < 0

H_p(0,1) = H_p(0,-1) = 48 > 0

f_xx = 2 > 0 => (0,1) e (0,-1) sono punti di min relativo

(0,0) punto di sella

S_u x² + y² = 1 si ha f(x,y) = 1 - 4y² + y⁶

(1-4y² + y⁶)' = -8y +6y⁵