Criteri di resistenza, appunti lezioni Scienza delle costruzioni

N

La tensione non può superare il punto di soglia ⑧

massima. Il processo di carico/scarico fa 50

accumulare deformazione permanente livello m *

-

zu

max

tensione · >

Considero ora una trave con una forza al centro: Aumentando la forza il diagramma del

F momento cresce fino a raggiungere il livello Go

T V

- & C’è quindi un livello di momento al di sotto del quale

45A Joah

Mmax =

· Wa quello su è il vero momento

! 2

Go A

>

& .

- O

Quando il momento flettente raggiunge il punto massimo (soglia max) la dilatazione si verifica anche con momento

costante. La sigma resta la stessa ma la sezione continua a ruotare, i punti continuano a dilatarsi, tuttavia M non

cresce. Per cui è come se avessi: succede ?

cosa

joY >

-

Mo ,

Per F=Fe (valore tale per cui il momento nella sezione è Mo) la trave si comporta:

Fe

F = Fino Mo

di

livello

al

V

-

- T

Aggiungo un , questo agisce solo su una trave tipo:

AFaF AF

·

F

Il momento cresce; nella trave completa cresce fino ad un livello Mo. Avremo quindi un accumulo

delle e la trave si comporta come:

FeDF È un incremento di carico dato dai valori limiti delle travi

DFr

AFr

↓ precedenti. La trave è labile. Il terzo incremento di carico

si ha su una trave labile poiché i momenti in A e B non

111/ possono più crescere e la trave crolla.

Si parla quindi di collasso plastico, caratterizzato da zone in cui la deformazione permanente si

sviluppa a tensione costante e la trave può dilatare anche se sigma non cresce.

Se questo avviene c’è il crollo (moto rigido della struttura dove non c’è più aumento di

tensione) in virtù del fatto che nelle zone di frontiera ho deformazioni. Per cui oltre il campo

elastico c’è altro.

Cosa succede se arrivo prima del collasso e scarico?

Considero il diagramma di prima e aggiungo un AF)

(Fe +

-

Sommo i due diagrammi (positivo e negativo elastico) che sono diversi. Nel punto dove ho la

differenza tra il momento elastico e plastico il momento è diverso da zero. Quindi la trave alla

fine del processo di scarico avrà un diagramma del tipo:

> residio

momento allo scarico

è elastico

dato ritorno

dal

Che non

-90 Struttura

Sulla

Posso fare l’analisi inversa calcolando il momento dato dalla distorsione

X(AC) KAC

= (vedo il momento residuo)

Tutto questo serve per capire la soglia Go

Supponiamo che a il materiale si snerva. Se sulla trave agisce cosa faccio?

50 5z

X

= Tz4

TzX ,

,

Se il materiale è isotropo mi serve solo la prova a trazione. Ma qual è 5 ?

max

[10050 55

T .

= 3

⑧

[36000 tenso

e

>

- prova

uniassiale

Il tensore di sforzo sta nel limite? Non si sa. Non esiste regola universale per stabilirlo. In genere

si usa l’idea di mises che si basa su quella di tresca. La domanda fondamentale è che sforzo

devo considerare per far laminare i metalli? Il volume del pezzo e la densità prima e dopo la

laminazione restano invariati. A laminazione avvenuta il modulo della epsilon è alto, tuttavia il

volume resta lo stesso Ex Ez

Ey 0

+ =

+

C’è quindi una invarianza dell’effetto permanente rispetto la parte sferica della deformazione

poiché che è la variazione volumetrica è anche la parte sferica del tensore.

Ex Eu Ez

+ +

Quindi dà contributo la parte deviatorica del tensore, non quella sferica.

La deformazione permanente è quindi un fenomeno, analoga a quello della fluidodinamica, in cui

il materiale fluisce come se fosse un fluido incomprimibile. Dal punto di vista fenomenologico il

fatto che sia incomprimibile vuol dire che ; e d’altro canto si ha che il livello tensionale

V 5

0

= .

che governa il fenomeno non deve essere considerato tutto ma solo la componente deviatorica.

Tresca deve in qualche modo rappresentare il tutto, tale rappresentazione è dovuta a mohr il

quale si accorge che il tensore di tensione può essere rappresentato attraverso un cerchio ossia il

cerchio di Mohr.

Se ho una tensione, il vettore tensione è in funzione del tensore di tensione

Se in una struttura guardo una faccia del cubetto avremo il versore della normale uscente a cui è

associato il vettore tn. Allo stesso modo considerando un altro cubetto orientato diversamente

rispetto al primo si può trovare un’altro versore n1 a cui è associato un tn1. Per ogni cubetto vale

lo stesso discorso. Si fanno ruotare i cubetti intorno ad un certo asse, considerando tutte le varie

possibili giaciture che si hanno facendo ruotare il cubo. Ogni volta che c’è un versore normale a

questo è associato un vettore tensione. Tutte le punte di questi vettori tensione, corrispondenti a

queste rotazioni, sul piano ortogonale all’asse di rotazione descrivono un cerchio.

n Mohr

piano di

Ern

ut

-1 -

my 41 con

retta

Posso trovare fra tutti i piani che hanno fascio di sostegno n, il vettore tensione che ha proiezione

sul piano ortogonale ad n che descrive un cerchio.

Questa non è comoda come rappresentazione; diventa interessante quando l’asse di sostegno del

fascio di piani è uno delle direzioni principali di tensione. Se il fascio di sostegno è una direzione

principale il vettore tensione non ha componenti tau lungo l’asse n. Il vettore Tn non ha la

componente tau lungo n.

Quindi il cerchio di Mohr relativo si piani principali di tensione è un cerchio di Mohr che rappresenta

l’intero stato tensionale. Il vettore di tensione ha le tau sul piano, una sigma e poi una tau fuori

piano che non vediamo. Se considero il fascio di piani intorno ai quali ruotiamo come direzione

principale di tensione, il vettore Tn è tutto ortogonale a . Questo poiché la tau lungo è zero.

5 5

Tum [max

·

15

# Il tensione

vettore di

fascio

sempredente

Sta >

- sostegno

a n

⑤S T

I ! = 0

· >

·

-

- C

=o

I 52

3 Mohr

di

cerchio

criterio Tresca-DSv di sostegno

resistenza >

-

Cerchod,

mon

se

Se scrivo il cerchio di Mohr per il fascio di sostegno , avrò le tre tensioni principali

5 z

7

, ,

Si può dimostrare che il valore del vettore di tensione piano (qualunque esso sia) è sempre interno

alla figura ( ha una componente tau e una sigma interne alla figura) avremo allora che:

[max 15i-5j) le glaciture

vale tutte

sup per

,

= 2

Per tresca dato che si conosce tau max nel materiale è come se fluisse un fluido incomprimibile

quando esso si rompe. Ma cosa succede affinché esso si rompi o si snervi? Lo scorrimento

massimo o livello di soglia massimo si verifica quando la tau max non è maggiore della To

massima compatibile con il materiale. Quindi controllo che la più grande delle tau non sia mai

maggiore della più grande tau compatibile con il materiale. Diremo allora che:

[max

2

Sup 15

/Gi-5j1 Go

Sup

il secondo invariante del deviatore di tensione è la norma della massima tensione

OSS : tangenziale nello Stato tensionale. Se invece che prendere tau max considero il

secondo invariante del deviatore avremo la stessa cosa

Tresca

↓

Mises Il

Sceglie

Hinvariantere

- - e se

con

26/05/25

CRITERIO DI VON MISES

Il criterio di Von Mises parte da quello di Tresca. Per il criterio di Tresca (criterio di massima

tensione tangenziale) lo stato tensionale è uno stato compatibile con il materiale, cioè è

ammissibile se è interno ad un certo spazio.

Immaginiamo che il materiale si comporti in un determinato modo. Fissiamo un sistema di

riferimento chiamato sistema delle direzioni principali poiché ha come assi le tensioni

principali. In questo sistema di riferimento ogni tensore di tensione è un vettore.

Il tensore T nel suo riferimento principale ha la seguente forma:

S 58)

I Per cui il tensore di sforzo è diagonale, e

+

componente =

perpend

vettore

del lo si può interpretare come un vettore

acolare ad a a avente componenti:

GI

O

0

5

&

Git - V

-Tr 5)

- T (51 5

=

questi

Se sono

Ep , ,

5 proletta

to

- principali

valori

>

>

GI G

VEI piano Ogni tensore di tensione è un vettore di questo spazio. Per cui

possiamo chiamare sigma il vettore di componenti: 53

62

52

e ae

Portogonal

e ,

,

ad a

V5I l'origine

per

In questo sistema di riferimento la retta di equazioni: 53)

(51

51 =>

52 52 =

=

=

51 53

=

Questa è la retta che ha le tre componenti uguali, cioè dei vettori che sono equispaziati rispetto ai

tre assi. Per cui la retta ha gli stati tensionali idrostatici (quelli della sfera). Difatti nel sistema di

riferimento c’è una retta a sulla quale qualsiasi vettore ha le tre componenti di tensione uguali,

questa viene chiamata retta degli stati idrostatici. Se consideriamo il generico vettore tensione, los

si può proiettare sulla retta idrostatica e ne possiamo guardare la componente ortogonale alla

retta idrostatica. Questa componente è la proiezione del vettore tensione sul piano ortogonale ad

a passante per l’origine.

La componente del vettore tensione sull’ortogonale ad a è la componente del vettore tensione sul

piano degli stati tensionali non sferici (hanno componente nulla lungo l’asse delle a). Per cui quel

piano è il piano degli stati tensionali deviatorici. Tutte le componenti deviatoriche sono la

proiezione del vettore tensione sul piano deviatorico.

S Uno stato tensionale generico avrà sempre una

componente sferica e una componente deviatori

a a. La componente deviatorica è il vettore

in ortogonale ad a e ha tre componenti principali,

che sono le tre componenti sui tre assi del

deviatore

Sono del

D- deviatore

solo piano

deviatorici L 5T

Per cui un tensore qualsiasi lo si può decomporre nella sua parte sferica e deviatorica:

+15

T O

= retiato

Dove avrò che la norma della seconda matrice è il secondo invariante del deviatore:

5)(53

5)

5)(52

(51 5)

5)

5)(53

(51 (52

+ + Ja

=

-

-

-

· - -

Il secondo invariante è proporzionale alla seguente quantità, che viene definita sigma equiv