06 Scienza delle Costruzioni - Cerchi di Mohr e Criteri di resistenza

RAPPRESENTAZIONE DI MOHR DI UNO STATO DI TENSIONE PIANO (CERCHI DI MOHR)

Il cerchio di Mohr è una rappresentazione grafica di uno stato di tensione piano. Rappresentando

con un cerchio ogni stato di tensione che vogliamo confrontare, siamo in grado di stabilire quale

stato di tensione sia più gravoso rispetto agli altri (in base alla dimensione del relativo cerchio).

sia fatto come segue:

Immaginiamo che, nello spazio tridimensionale, uno stato di tensione T

σ τ 0

1 12

τ σ

=

T 0

12 2

0 0 0 =

T

Osserviamo che si tratta di uno stato di tensione piano, infatti il det 0 perché la faccia di

e t e

normale è scarica (il vettore della tensione ( ) è nullo):

(col. 3)

3 3

= =

e t e e

T ( ) 0 (la faccia di normale è scarica)

3 3 3

Dato che la colonna 3 è nulla, per la simmetria del tensore delle tensioni, sarà nulla anche la riga 3:

×

possiamo quindi rappresentare tale stato di tensione piano con una matrice 2 2 (cioè un tensore

della tensioni nello spazio bidimensionale):

σ τ

1 12

= ×

T I 2 2

n generale, uno stato di tensione piano può essere espresso con una matrice

τ σ

12 2

Utilizzando un elementino quadrato, rappresentiamo graficamente tale

stato di tensione piano.

e (scarico) è rappresentato dal piano avente normale

Il piano di normale 3 e

uscente dal foglio, quindi stiamo vedendo frontalmente la faccia scarica. 2 e

e e

Tracciando le tensioni assiali e tangenziali sulle facce di normale ed , 1

1 2

abbiamo ottenuto la rappresentazione dello stato di tensione piano.

ϕ

Se, con un piano avente un generico angolo di giacitura , eseguiamo un

t (n )

taglio dell’elementino, avremo che la tensione sulla risultante faccia

di normale , sarà data dalla seguente relazione (Teorema di Cauchy):

n

=

t ( n ) T n ( )

=

n n ,n

Per sviluppare tale relazione, vediamo che componenti ha il vettore normale :

1 2

{ }

ϕ ϕ

= − −

n cos(

90 ), sin(

90 ) ovvero

ϕ ϕ

= (sin , cos )

n

Sviluppando il prodotto matrice-vettore vediamo quanto vale ( ) ,

t n

cioè il vettore della tensione sulla faccia di normale :

t n

σ τ ϕ

sin

1 12

=

t n

( ) τ σ ϕ

cos

12 2

T n 3/12

6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

σ ϕ τ ϕ

+

sin cos

1 12

=

t n

( ) τ ϕ σ ϕ

+

sin cos

12 2 σ ϕ

t n

( )

La tensione , secondo Mohr, è costituita da una componente assiale ( ) e da

τ ϕ ϕ

: anche esse sono funzioni di , pertanto variano

una componente tangenziale ( )

ϕ

a seconda dell’inclinazione del piano tagliante l’elementino.

σ ϕ

Per ottenere la componente assiale ( ) dobbiamo semplicemente proiettare il

in direzione della normale , facendone il prodotto

vettore tensione normale ( )

t n n

scalare: n

(notare che è già un versore quindi possiamo usarlo direttamente)

σ ϕ τ ϕ ϕ

+

sin cos sin

σ ϕ 1 12

= =

t n n

( ) ( ) τ ϕ σ ϕ ϕ

+

sin cos cos

12 2

σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ σ ϕ ϕ

= + + +

( ) ( sin cos ) sin ( sin cos ) cos

1 12 12 2

σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ ϕ σ ϕ

= + + +

2 2

( ) sin cos sin sin cos cos sommando i termini uguali:

1 12 12 2

σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ σ ϕ

= + +

2 2

( ) sin 2 cos sin cos

1 12 2 τ ϕ

Per ottenere la componente tangenziale ( ) , dobbiamo invece proiettare il vettore tensione

normale ( ) in direzione ortogonale alla normale , facendone il prodotto scalare.

t n n

Poiché la direzione ortogonale alla normale è sostanzialmente il ruotato di , cioè:

n n

{ }

ϕ ϕ

= −

n

( ) cos , sin

σ ϕ τ ϕ ϕ

+

sin cos cos

τ ϕ 1 12

= =

t n n

( ) ( ) ( ) τ ϕ σ ϕ ϕ

+ −

sin cos sin

12 2

τ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ σ ϕ ϕ

= + + + −

( ) ( sin cos )(cos ) ( sin cos )( sin )

1 12 12 2

τ ϕ σ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ σ ϕ ϕ

= + − −

2 2

( ) sin cos cos sin cos sin

1 12 12 2 ϕ

Abbiamo in questo modo ricavato le funzioni, dipendenti dall’angolo di inclinazione del piano

tagliante, delle componenti assiale e tangenziale della tensione ( ) .

t n

Tali funzioni sono le equazioni parametriche di una curva, in particolare di una circonferenza.

σ τ

Tracciando il grafico di tali funzioni sul piano (piano nel

σ ϕ

quale in ascissa abbiamo le tensioni assiali ( ) e in ordinata le

τ ϕ

tensioni tangenziali ( ) ), otteniamo la circonferenza di Mohr.

Tale circonferenza rappresenta i valori delle tensioni

σ ϕ τ ϕ ϕ

( ) e ( ) per tutti i valori dell’angolo (angolo

che può variare, in base alla giacitura del piano

tagliante, tra 0° e 90°).

In particolare, il raggio di tale circonferenza può variare, ma il centro della circonferenza si trova

σ ed è pari a:

sempre sull’asse delle tensioni assiali 4/12

6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

σ σ

+ (coordinata del centro del cerchio di Mohr)

x

1 2

2

Ricordiamo che, per tracciare una circonferenza, noto il suo centro è suffi- ϕ = °

90

ciente conoscere solo altri due punti.

In effetti, poiché dalla rappresentazione grafica dello stato di tensione pia- e

σ ϕ τ ϕ 2

no possiamo ricavare immediatamente i valori ( ) e ( ) per gli angoli e

ϕ ϕ

= ° = ° 1

90 (piano di taglio verticale) e 0 (piano di taglio orizzontale), il

cerchio di Mohr è univocamente determinato. In particolare: ϕ = °

0

σ σ τ τ

ϕ = = −

= °

per 90 avremo ( )

V

1 12

σ σ τ τ

ϕ = =

= °

0 avremo ( )

O

2 12

Non abbiamo bisogno di altri dati per tracciare la circonferenza di Mohr.

L’utilità e l’importanza del cerchio di Mohr è che da esso possiamo ricavare per via grafica e non

analitica le tensioni assiale e tangenziale di qualunque piano tagliante, risparmiando in tal modo

molti calcoli.

Inoltre, rappresentando più stati di tensione attraverso più cerchi di Mohr possiamo confrontarli

direttamente e stabilire quale è il più gravoso. 5/12

6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

COSTRUZIONE DEL CERCHIO DI MOHR

Noto un generico stato di tensione piano, vediamo quali sono gli

step da compiere per la costruire del cerchio di Mohr. σ σ

+

=

C 1 2

2

1 - Calcoliamo e tracciamo la posizione del centro del cerchio

σ σ

+

di Mohr applicando la formula ;

1 2

2

2 - Tracciamo i due punti noti (dal tensore delle tensioni T): O

τ

σ τ ϕ

= − = °

V ( , ) (per 90 ) 12

1 12

σ τ ϕ

= = °

O ( , ) (per 0 )

2 12 σ σ

2 1

e tracciamo la circonferenza; τ

− 12 V

e una

3 - Tracciamo una retta verticale passante per il punto V

retta orizzontale passante per il punto ;

O O K

4 - nel punto di intersezione di tali rette individuiamo , il polo

K

delle giaciture; V

σ τ

e tangenziale , per

Siamo a questo punto in grado di trovare i valori delle tensioni assiale

qualunque giacitura, cioè qualun-que inclinazione del piano di taglio.

Esempio O

Volendo conoscere i valori delle tensioni per una faccia avente K

ϕ

° =

70

ϕ = °

inclinazione 70 , tracceremo una retta passante dal polo

delle giaciture ed inclinata di 70°. Tale retta intersecherà la

K σ

σ τ

circonferenza in un certo punto, le cui coordinate e rappre-

sentano le tensioni assiale e tangenziale cercate. τ

− V

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6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Vediamo un caso particolare.

Immaginiamo il seguente stato di tensione piano. Esso rappresenta uno stato di torsione pura.

τ

0

=

T τ 0

La costruzione della sua rappresentazione attraverso il cerchio di

Mohr è la seguente.

Il centro della circonferenza si trova chiaramente nell’origine.

I due punti per tracciare la circonferenza sono invece:

{ }

τ

= −

V 0

,

{ }

τ

=

O 0

,

Il polo delle giaciture coinciderà pertanto con il punto (è infatti il punto in cui le rette

K O

orizzontale e verticale si intersecano).

Se tracciamo una qualunque retta a partire dal polo delle giaciture possiamo osservare che le

tensioni individuate per una certa inclinazione non sono più soltanto tangenziali ma compaiono

anche tensioni assiali. 7/12

6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

CRITERI DI RESISTENZA

I criteri di resistenza sono dei criteri con i quali possiamo capire se un materiale può o meno

resistere ad un certo stato di tensione.

In particolare, se uno stato di tensione del materiale si trova all’interno di un certo dominio di

resistenza, allora sapremo che il materiale non cederà, se invece, al contrario, lo stato di tensione si

trova all’esterno del dominio di resistenza, avremo il rischio di cedimento del materiale.

I criteri di resistenza sono essenzialmente delle funzioni di T (tensore delle tensioni) che, per essere

verificate (resistenza del materiale), devono soddisfare la disequazione:

≤

( T ) 0

f

Quindi, dato uno stato di tensione T, dobbiamo verificare che una certa funzione di T sia minore o

uguale a zero.

Vediamo quali funzioni utilizziamo come criteri di resistenza.

Innanzitutto ci domandiamo: che funzioni scegliamo?

Sappiamo certamente che le funzione che andremo a scegliere dovranno essere valide a prescindere

dal sistema di riferimento adottato, è per questo motivo che dovremo adottare delle funzioni in

termini degli invarianti del tensore T.

Gli invarianti di un tensore, sono delle quantità che non variano in base alla scelta del sistema di

riferimento: esempi di invarianti sono il determinante di un tensore, gli autovalori, e la traccia.

I sistemi di invarianti che applicheremo nei criteri di resistenza sono gli invarianti spettrali e gli

invarianti di traccia.

INVARIANTI SPETTRALI

Un esempio di invarianti spettrali si ha quando, data una matrice simmetrica T, risolvendo un

problema di autovettori e autovalori, la riscriviamo nella forma seguente:

σ 0 0

I σ

→

T 0 0 tensioni princip