06 Scienza delle Costruzioni - Cerchi di Mohr e Criteri di resistenza

6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

STATO DI TENSIONE PIANO .......................................................................................................... 1

Definizione di Stato di Tensione Piano ............................................................................................ 2

RAPPRESENTAZIONE DI MOHR DI UNO STATO DI TENSIONE PIANO (CERCHI DI

MOHR) ................................................................................................................................................ 3

Costruzione del cerchio di Mohr ...................................................................................................... 6

Esempio ........................................................................................................................................ 6

CRITERI DI RESISTENZA ................................................................................................................ 8

INVARIANTI SPETTRALI ............................................................................................................ 8

INVARIANTI DI TRACCIA .......................................................................................................... 8

PARTE SFERICA E PARTE DEVIATORICA DELLA TENSIONE ........................................... 9

Esempio (Scomposizione in parte sferica e parte deviatorica di una matrice) ............................ 9

CRITERIO DI RESISTENZA DI VON MISES ........................................................................... 10

CRITERIO DI RESISTENZA DI TRESCA ................................................................................. 11

1/12

6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

STATO DI TENSIONE PIANO

L’obiettivo finale della scienza delle costruzioni, noti i carichi applicati su una trave, è quello di

verificare che la trave non ceda. Per fare ciò dobbiamo calcolare la tensione dovuta ai carichi

(assiale e tangenziale) in tutti i punti della trave.

Le tensioni, nel problema di Saint-Venant, possono essere soltanto tangenziali o assiali.

Lo stato tridimensionale di tensione, nel problema di Saint-Venant, può essere rappresentato con la

seguente matrice delle tensioni:

τ

0 0 1

τ

=

T 0 0 in cui compaiono solo tensioni tangenziali o assiale.

2

τ τ σ

1 2

Ciò che dobbiamo fare ora, dato (o calcolato) uno stato di tensione, è quello di verificare che il ma-

teriale di cui è composta la trave sia in grado di resistere a tali tensioni. La verifica viene effettuata

accertandosi che la tensione, in tutti i punti di una struttura, non superi certi criteri di resistenza.

Di particolare importanza, quindi, è il confronto di diversi stati di tensione.

Vediamo cosa dobbiamo fare, cominciando a dare alcune definizioni.

Definizione di Stato di Tensione Piano

Uno stato di tensione si dice piano se e solo se il determinante della matrice delle tensioni T è nullo.

=

Cioè se det T 0 , allora si tratta di uno stato di tensione piano. In particolare:

=

det T 0 se e solo se almeno una faccia è scarica 2/12

6 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

RAPPRESENTAZIONE DI MOHR DI UNO STATO DI TENSIONE PIANO (CERCHI DI MOHR)

Il cerchio di Mohr è una rappresentazione grafica di uno stato di tensione piano. Rappresentando

con un cerchio ogni stato di tensione che vogliamo confrontare, siamo in grado di stabilire quale

stato di tensione sia più gravoso rispetto agli altri (in base alla dimensione del relativo cerchio).

sia fatto come segue:

Immaginiamo che, nello spazio tridimensionale, uno stato di tensione T

σ τ 0

1 12

τ σ

=

T 0

12 2

0 0 0 =

T

Osserviamo che si tratta di uno stato di tensione piano, infatti il det 0 perché la faccia di

e t e

normale è scarica (il vettore della tensione ( ) è nullo):

(col. 3)

3 3

= =

e t e e

T ( ) 0 (la faccia di normale è scarica)

3 3 3

Dato che la colonna 3 è nulla, per la simmetria del tensore delle tensioni, sarà nulla anche la riga 3:

×

possiamo quindi rappresentare tale stato di tensione piano con una matrice 2 2 (cioè un tensore

della tensioni nello spazio bidimensionale):

σ τ

1 12

= ×

T I 2 2

n generale, uno stato di tensione piano può essere espresso con una matrice

τ σ

12 2

Utilizzando un elementino quadrato, rappresentiamo graficamente tale

stato di tensione piano.

e (scarico) è rappresentato dal piano avente normale

Il piano di normale 3 e

uscente dal foglio, quindi stiamo vedendo frontalmente la faccia scarica. 2 e

e e

Tracciando le tensioni assiali e tangenziali sulle facce di normale ed , 1

1 2

abbiamo ottenuto la rappresentazione dello stato di tensione piano.

ϕ

Se, con un piano avente un generico angolo di giacitura , eseguiamo un

t (n )

taglio dell’elementino, avremo che la tensione sulla risultante faccia

di normale , sarà data dalla seguente relazione (Teorema di Cauchy):

n

=

t ( n ) T n ( )

=

n n ,n

Per sviluppare tale relazione, vediamo che componenti ha il vettore normale :

1 2

{ }

ϕ ϕ

= − −

n cos(

90 ), sin(

90 ) ovvero

ϕ ϕ

= (sin , cos )

n

Sviluppando il pr