Corso completo di Fisica I

MECC

Consideriamo un corpo in movimento su cui agiscono solo forze conservative. Per un dato spostamento A → B, da un lato, il teorema dell'energia cinetica ci dice che Ltot,A,B = EK,B - EK,A = ΔEK. Dall'altro, si ha anche Ltot,A,B = Utot(A) - Utot(B) = -ΔUtot. Combinando queste due relazioni, si ha ΔEK = -ΔUtot. In altre parole, il lavoro totale specifica la quantità di energia convertita dalla forma potenziale a quella cinetica (o viceversa, se negativo).

Raccogliendo i termini relativi rispettivamente agli stati iniziale e finale A e B, otteniamo: EK,A + Utot(A) = EK,B + Utot(B). Questa espressione mostra che la somma di energia potenziale totale ed energia cinetica è conservata nella trasformazione. Questa somma è denominata energia meccanica (ma anche solo "energia") ed è proprio quella che abbiamo considerato negli esempi all'inizio di questa lezione:

Energia meccanica (definizione): E = EK + Utot

fatto che l'energia meccanica è costante nel tempo è una manifestazione della legge di conservazione dell'energia. La sua validità è tuttavia condizionata al fatto che le forze in azione siano tutte conservative (da cui il nome). Teorema di variazione dell'energia meccanica Se alcune forze agenti sul corpo sono conservative e altre no, è possibile fare una semplice estensione del teorema dell'energia cinetica come segue. Distinguendo il lavoro di tutte le forze conservative (indicate con il simbolo C) da quelle non conservative (simbolo NC) e omettendo per brevità gli altri pedici che definiscono il lavoro, abbiamo il teorema dell'energia cinetica LC + LNC = EK,B e il legame tra il lavoro delle sole forze conservative e l'energia potenziale LC = U(A) - U(B). Mettendo insieme queste due relazioni e introducendo l'energia meccanica E = EK + U, abbiamo la seguente legge di variazione dell'energia.meccanica:
Variazione dell'energia meccanica: ΔE=EB-EA=LNC,γ(A,B)
In parole, la variazione energia meccanica è uguale al lavoro totale delle sole forze non conservative nella trasformazione considerata.
Ci sono due tipologie importanti di forze non conservative che possono comparire nei sistemi fisici: attriti e altre forze dissipative, che producono sempre una riduzione dell'energia meccanica e di cui parleremo più avanti; forze dipendenti dal tempo perché controllate in modo dinamico dall'esterno del sistema, che possono produrre sia un incremento che una riduzione dell'energia meccanica del sistema. Queste ultime sono generalmente associate ad un trasferimento di energia (meccanica o di altra forma) tra il sistema fisico e il sistema esterno che genera le forze (per esempio un motore).
Energia potenziale di forze comuni: forza peso
Calcoliamo ora il lavoro e l'energia potenziale associata ad alcune delle forzeconservative più comuni, utilizzando la definizione U(P)=LP,O+U(O). Sommando all’energia potenziale l’energia cinetica, possiamo così scrivere immediatamente anche l’energia meccanica del sistema (come negli esempi presentati a inizio lezione). Iniziamo dalla forza peso. Essendo questa una forza costante F=mg, possiamo usare la formula seguente per il lavoro: LA,B=F⋅Δr=mg(rB−rA)=−mg(yB−yA) (con asse y verticale verso l’alto), che chiaramente dipende solo dai punti iniziale e finale, il che conferma che si tratta di una forza conservativa (come tutte le forze costanti). Scegliendo come punto di riferimento O proprio l’origine delle coordinate e ponendo U(O)=0, otteniamo quindi l’energia potenziale seguente (dove omettiamo il pedice P per le coordinate del punto generico): Energia potenziale forza peso: U=mgy (nota: in questa espressione la coordinata verticale viene spesso indicata con h anziché y, dove h rappresenta l'altezza).

sta per “height”, ossia “a ltezza” o “quota”). Una formula simile può essere ricavata per l’energia potenziale di qualsiasi forza costante, scegliendo un asse cartesiano allineato con la forza.

Energia potenziale di forze comuni: forza gravitazionale

Consideriamo ora la forza gravitazionale tra una massa “sorgente” m_s posta nell’origine delle coordinate e che consideriamo bloccata (per esempio perché molto grande) e una massa qualsiasi m. L’espressione della forza agente sulla massa m è la seguente:

Forza gravitazionale:

F(r)=−G(m_sm)/|r|²(u_r)=−G(m_sm)/r²(u_r)

dove u_r è un versore “radiale”, ossia orientato come il raggio vettore r e abbiamo indicato con r=|r| la distanza dall'origine. Nel calcolare il lavoro di questa forza, compare il prodotto scalare u_r⋅dr=dr, per cui si ha

Lγ(A,B)=∫γ(A,B) F⋅dr=−Gm_ms∫rB_rA

1. 1/r²dr=Gmms/rB-Gmms/rA che dipende solo dai punti iniziale e finale e quindi conferma la conservatività della forza gravitazionale.
2. Scegliendo come punto di riferimento rO=∞ e ponendo U(O)=0, otteniamo l'energia potenziale seguente:

Energia potenziale forza gravitazionale (sorgente in origine): U=-G mms/r

Energia potenziale di forze comuni: forza elastica

Consideriamo ora la forza elastica agente su un estremo della molla, assumendo che l'altro sia tenuto bloccato. Adottiamo l'espressione Fx=-kx, valida avendo posto l'origine nel punto in cui la molla assume la lunghezza di riposo e consideriamo possibili solo spostamenti lungo l'asse x. Il lavoro è quindi dato dalla seguente espressione:

Lγ(A,B)=∫γ(A,B)Fxdx=-k∫_xA^xBAxdx=-1/2kx²B+1/2kx²A che dipende solo dai punti iniziale e finale. Scegliendo come punto di riferimento O il punto di riposo della molla (cioè l'origine) e ponendo U(O)=0,

otteniamo l'energia potenziale seguente: Energia potenziale forza elastica (origine in punto equilibrio molla): U = 1/2kx^2 Se l'origine non è nel punto di equilibrio, si ha ovviamente U = 1/2k(x - x0)^2 Energia potenziale di forze comuni 4: reazione normale e tensione Forze vincolari come la reazione normale di una superficie o la tensione del filo agiscono sempre in direzione perpendicolare al movimento possibile del corpo (quando c'è un solo corpo in movimento), oppure si annullano (se il corpo si stacca dalla superficie oppure il filo cessa di essere teso). Pertanto, il loro lavoro è identicamente nullo. Possono essere considerate forze conservative e la loro energia potenziale è anch'essa nulla, U = 0. Questo è il motivo per cui il pendolo ha la stessa energia potenziale totale (e quindi energia meccanica) di un corpo in moto balistico, perché oltre alla forza peso agisce solo la forza di tensione del filo la cui energia è nulla.

potenziale è nulla. Lo stesso vale per un piano inclinato e altri sistemi in cui compare solo la forza peso e un vincolo. Nel caso in cui ci siano più corpi in movimento tra cui agiscono forze vincolari si (ad esempio un filo teso che collega due corpi, oppure una reazione normale con la quale due corpi si spingono reciprocamente), queste forze fanno lavoro non nullo su ciascun corpo preso separatamente. È tuttavia facile verificare che il lavoro totale si continua ad annullare, perché gli spostamenti per coppie di corpi interagenti sono uguali mentre le forze sono uguali e opposte in verso. Pertanto, resta vero in generale che queste forze sono conservative e l'energia potenziale totale è nulla.

Lavoro dell'attrito radente. È interessante considerare infine un esempio di

lavoro di una forza non conservativa, e in particolare scegliamo l'attrito radente, per la sua semplicità. Consideriamo quindi un corpo che si muove su una superficie piana dotata di attrito. La forza è data dall'espressione A= -μdNu, dove u è un versore tangente alla traiettoria (parallelo alla velocità). Nel calcolare il lavoro di questa forza, compare il prodotto scalare u·dr=|dr|=ds, lunghezza infinitesima dello spostamento infinitesimo dr (spazio percorso) e il risultato deriva dal fatto che il vettore dr è parallelo a u. Pertanto, si ha Lγ(A,B)=∫γ(A,B) A·dr= -μdN∫γ(A,B)ds= -μdNsγ(A,B) dove sγ(A,B) è la lunghezza totale della curva γ(A,B), ottenuta come somma delle lunghezze di tutti gli spostamenti infinitesimi in cui è suddivisa. In questo caso è evidente che il lavoro non dipende solo dalla posizione dei punti A e B, madell'energia è sempre valida. Infatti, le forze fondamentali, come la forza gravitazionale, elettromagnetica e nucleare, sono tutte conservative e non dissipative. La legge di conservazione dell'energia a livello macroscopico può essere espressa come segue: L'energia totale di un sistema isolato rimane costante nel tempo. Questo significa che l'energia può essere trasformata da una forma all'altra, ma la somma totale di tutte le forme di energia rimane costante. Ad esempio, se un oggetto cade da una certa altezza, l'energia potenziale gravitazionale si trasforma in energia cinetica mentre l'oggetto si muove verso il basso. Durante questa trasformazione, l'energia meccanica totale (somma di energia cinetica e potenziale) rimane costante. Tuttavia, se consideriamo anche la presenza di forze dissipative come l'attrito, l'energia meccanica non si conserva più. L'energia meccanica viene gradualmente dissipata sotto forma di calore e non può essere recuperata completamente. In conclusione, la legge di conservazione dell'energia è una legge fondamentale della fisica che si applica a livello microscopico e macroscopico. Tuttavia, la presenza di forze dissipative può portare a una diminuzione dell'energia meccanica totale di un sistema.dall'esterno), l'energia totale di un sistema rimane costante. Questo principio è noto come principio di conservazione dell'energia. Per comprendere come l'energia si conserva a livello microscopico e si riduce a livello macroscopico a causa degli attriti, è necessario considerare che l'energia non può essere creata né distrutta, ma può solo trasformarsi da una forma all'altra. Quando un oggetto si muove a livello macroscopico, parte dell'energia cinetica viene convertita in energia termica a causa degli attriti. Questa energia termica è associata al movimento microscopico degli atomi e delle molecole che costituiscono l'oggetto. Anche se l'energia sembra "scomparire" a livello macroscopico, in realtà rimane presente a livello microscopico. Tuttavia, non è più visibile nel movimento macroscopico dei corpi. Questa energia "invisibile" può essere misurata utilizzando grandezze fisiche non direttamente legate al movimento, come la temperatura. Quindi, l'energia si conserva a livello microscopico e simultaneamente si riduce a livello macroscopico a causa degli attriti. L'energia che sembra essere persa a livello macroscopico è in realtà presente a livello microscopico, ma non è più visibile nel movimento macroscopico dei corpi.

All'esterno del sistema), la legge di conservazione dell'energia totale viene ripristinata anche al livello macroscopico.

Altre leggi di conservazione

L'energia non è l'unica grandezza fisica per la quale vale una legge di conservazione. Ne esistono diverse altre. Alcune di queste sono