Corso completo di Algebra lineare

Algebra lineare

Campo

Sia un insieme non vuoto, che contiene due elementi distinti (es. 0,1∈ con 0 ≠ 1) e provvisto di due operazioni binarie su . (Op. binarie sono funz. x ⇒ )

(, +, ·) è detto CAMPO se soddisfa le seguenti proprietà:

1. Prop. commutativa rispetto alla somma ∀x,y ∈ x+y = y+x
2. Prop. commutativa rispetto al prodotto ∀x,y ∈ x·y = y·x
3. Prop. associativa rispetto alla somma ∀x,y,z ∈ x+(y+z) = (x+y)+z
4. Prop. associativa rispetto al prodotto ∀x,y,z ∈ (x·y)z = x(y·z)
5. Prop. distributiva: ∀x,y,z ∈ x·(y+z) = x·y + x·z
6. 0 è l'elemento neutro rispetto alla somma ∀x ∈ x+0 = x = 0+x
7. 1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto ∀x ∈ x·1 = x = 1·x
8. Opposto: ∀x ∈ ∃y ∈ x+y = 0 y = (−x)
9. Reciproco o inverso: ∀x ∈ \{0} ∃y ∈ x·y = 1 y = ¹/_x (x⁻¹)

Def. (Caratteristica del Campo)

Dato un campo , la caratteristica di è il più piccolo numero naturale m > 1:

1 + 1 + ... + 1 = 0

m volte

Nota: Se ∄ m tale che 1 + 1 + ... + 1 = 0 ⇒ il campo ha caract. 0

• ℚ è un campo di caratteristica 0.
• ℝ è un campo di caratteristica 0.
• ℙ è un campo di caratteristica 2.

Proprietà deducibili dagli assiomi di campo

1. P₁ a+b = a+c ⇒ b = c
2. P₂ ∃! x a+x = 0
3. P₃ Dato x ∈ , l'opposto è unico.
4. P₄ (−a) = a = 0
5. P₅ a·0 = 0 = 0·a
6. P₆ a+b = a+c ⇒ b = c
7. P₇ a·x = b ⇒ ∃! x ∈
8. P₈ Dato x ∈ \{0}, l'inverso è unico.
9. P₉ a·b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0

Def (sottocampo)

Sia (K, +, ⋅) un campo e X ⊆ K; X è sottocampo di K se:

• 0, 1 ∈ X
• x + y ∈ X, ∀x, y ∈ X
• x ⋅ y ∈ X, ∀x, y ∈ X
• -x ∈ X, ∀x ∈ X
• x^-1 ∈ X, ∀x ∈ X\{0}

Dunque (X, +, ⋅) è, a sua volta, un campo.

Proposizione

Dato un campo K, l'intersezione di tutti i sottocampi di K è un campo.

Dimostrazione

Sia {K_i}_i∈I la famiglia di tutti i sottocampi di K.

Th: ⋂_i∈I K_i è un sottocampo di K.

Occorre dimostrare che è vero usando le proprietà di chiusura:

1. 0, 1 ∈ ⋂_i∈I K_i?

0 ∈ K_i, ∀i ∈ I ⇔ 0, 1 ∈ ⋂_i∈I K_i

2. ∀i ∈ I ∃x, y ∈ K_i; x + y ∈ K_i, ∀i ∈ I perché K_i è generico sottocampo.
3. ∀i ∈ I ∃x, y ∈ K_i; x ⋅ y ∈ K_i, ∀i ∈ I perché K_i è generico sottocampo.
4. ∀i ∈ I ∃x ∈ K_i; -x ∈ K_i, ∀i ∈ I
5. ∀i ∈ I ∃x ∈ K_i\{0}; x^-1 ∈ K_i, ∀i ∈ I

Def (sottocampo minimo)

Sia K un campo; ⋂_i∈I K_i (con K_i sottocampo di K) è detto sottocampo minimo di K.

6. Rappresentazione Cartesiana

|z|=√(x²+y²) indica la distanza di z dall'origine del sistema di riferimento.

• z ∈ ℂ. Im(z)=0 (z=x+ai) ⟷ (x,0) cioè (Re(z),0) ∈ ℝ²_xx
• z ∈ ℂ. Re(z)=0 (z=0+ai) ⟷ (0,y) cioè (0,Im(z)) ∈ ℝ²_xy

Per la somma vale la regola del parallelogramma.

|z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂|

Si dimostra banalmente usando la geometria.

Consideriamo l'automorfismo di coniugio, oss.

Geometricamente è una simmetria rispetto all'asse delle ascisse.

• ∀r ∈ ℝ, r > 0 consideriamo:
• {z ∈ ℂ : |z| = r}
• {(a,b) ∈ ℝ² : √(a²+b²)=r}
• {(a,b) ∈ ℝ² : a²+b²=r²}

ρ = |z| ∈ ℝ⁺

Coordinate Polari (ρ, θ)

ρ è il modulo

θ è l'argomento (o fase)

• ρ = |z| = √(a²+b²)
• a = ρ cos θ
• b = ρ sin θ
• tan θ = b/a
• Arg(z) = arctg(b/a)

Rappresentazione Trigonometrica

z = ρ (cos θ + i sin θ)

Spazi Vettoriali

Def. (Spazio Vettoriale)

Sia V un insieme non vuoto e O ∈ V e sia K un campo finito.

Sia + : V x V → V detta somma vettoriale

Sia ⋅ : K x V → V detto prodotto per scalari

tale che:

1. (x+y)+z = x+(y+z) ∀x,y,z ∈ V Prop. associativa di +.
2. x+y = y+x ∀x,y ∈ V Prop. commutativa di +.
3. x+O = x = O+x ∀x ∈ V O elemento neutro di +.
4. ∀x∈V ∃!y∈V x+y=O = y+x = O = y = -x Opposto di x.
5. ∀a,b ∈ K (a+b)⋅x = a⋅x + b⋅x ∀x ∈ V
6. ∀a ∈ K a⋅(x+y) = a⋅x + a⋅y ∀x,y ∈ V
7. ∀a,b ∈ K a⋅(b⋅x) = (a⋅b)⋅x ∀x ∈ V
8. 1⋅x = x (1∈K) ∀x ∈ V

Allora V e detto spazio vettoriale su K e gli elementi di V si dicono vettori. (O e detto vettore nullo)

Proprietà immediatamente deducibili

9. x+y=z ⇔ z=(z-y) ∀x,y,z ∈ V
10. x-y=O ⇔ x=y ∀x,y ∈ V
11. x+y=O ⇔ x=-y ∀x,y ∈ V
12. x+x = x ⇔ x = Θ ∀x ∈ V
13. x+y=x+z ⇔ y=z ∀x,y,z ∈ V
14. (-(-x)) = x ∀x ∈ V
15. (-(x+y)) = (-x)+(-y) = (-x-y) ∀x,y ∈ V
16. -O = O
17. a⋅O = O (o ∈ K) ∀a ∈ K
18. o⋅x = O + O⋅x = O = O⋅x = O = O⋅x + O⋅x = O⋅x + O⋅x = O (o ∈ K)(O ∈ V)
19. ∀x∈V, ∀t ∈ K
20. -t⋅x = (-t)⋅x = t⋅(-x) ∀x ∈ V, ∀t ∈ K
21. t⋅x = (-(t))⋅(-x) ∀x ∈ V, ∀t ∈ K
22. -(-x) = x ∀x ∈ V
23. ∀a∈K\{O} a⋅(a^-1⋅x) = X ∀x ∈ V
24. a⋅x⋅y = x = a^-1⋅y ∀x,y ∈ V, ∀a ∈ K\{O}
25. a⋅x⋅O = O (O) ∀x ∈ V
26. a⋅x = a⋅y ⇔ x=y ∀x,y ∈ V, ∀a ∈ K\{O}
27. a⋅x = β⋅x ⇔ a =β ∀x ∈ V\{O}, ∀a,β ∈ K

V₂(R) <-> Spazio vettoriale dei segmenti orientati del piano afficcati in O.

{a₁, a₂}: a₁, a₂ ε R

(0,0)

(a₁, a₂)

u₁(1,0)

u₂(0,1)

Genereio vettore :- ci := a₁u₁ + a₂u₂ = (a₁, a₂)

Analogamente V₃(R) <-> Spazio vettoriale dei segmenti orientati nello spazio, afficcoti in O.

Nota: V_m(IK) IK campo fissato e n ε N, m>oV₁(K) = {a₁, a₂ ε IK}IK spazio vettoriale su IK stessoIK = K, V_m(R) = KK = C, V_(C) = c e spazio vettoriale su se stesso.R < C {a + bi : a, b ε R} è uno spazio vettoriale su R.

donc: * vett. nullo: o=o+i

* somma : (a+bi) + (c+di ) := (a+c)+ (b+d )i

* oposta := (a+bi ) = -a + (-b)i

* prodotto per scalari ∀ λ ε ∀ a.i.b ε (C) λ (a+bi) = λa + λbi

Consideriamo se:i Una generica combinazione lineare di se:i a.t. + b.i. con a,b:ε