Corpo rigido e moto di puro rotolamento

Corpo rigido

Sistema di punti materiali in cui la distanza tra tutte le coppie possibili di punti è costante.

Sistema di punti indeformabili (discreto)

_{CM TOT}

^{= ∑ _i=1 m_i}

^{= ∑ _i=1 x_i × m_i}

Corpo rigido esteso (continuo)

_CM

^M_TOT

^M_TOT

_CM = ∫_dm

_TOT = ∫ x_dm

Densità

Densità volumetrica: ρ =

Densità superficiale

Densità lineare

_CM = ∫ _dm

= ∫ / ∫

_TOT = ∫ x ρ

Corpo Rigido

Sistema di punti materiali in cui la distanza tra tutte le coppie possibili di punti e' costante.

Sistema di punti indeformabili (discreto)

Corpo rigido esteso (continuo)

• M_TOT
• M_TOT
• M_TOT

Densità

Densità Volumetrica:

Densità Superficiale:

Densità Lineare:

FORZA PESO SU UN CORPO RIGIDO

∫ dF_z = ∫ dm g

F_P = ∫ dF_P = ∫_M dm g = ∫ ρ(r) dV g = _MTOT g

M_P = ∫ z × dF_P = ∫ z × dm g = ∫ ( dm ) × g M_TOT = z_cm × M_tot g = r_cm × F_P

Il Centro di Massa e il Baricentro dei Sistema

Un corpo esteso ha più gradi di libertà (rotazioni) rispetto al punto materiale

DESCRIZIONE DEL MOTO

• TRASLAZIONE variazione di :x_o(t), y_o(t), z_o(t) ⇒ 3 gradi di libertà
• ROTAZIONE defl. assi x',y',z' rispetto a x,y,z

θ(t), φ(t), ψ(t) ⇒ 3 gradi di libertà

6 EQUAZIONI PER DESCRIVERE IL MOTO

Equazioni cardinai per il moto del corpo rigido

\( \dot{R}_{\text{est}} = \int_{\text{int}} \frac{d\vec{p}}{dt} = \dot{P}_{\text{tot}} = M_{\text{tot}} \cdot \vec{a}_{\text{moto di traslazione}} \)

\( \dot{M}_{\text{est}} = \frac{d\vec{L}_{\text{tot}}}{dt}, \quad \vec{L}_{\text{atm}} = \int_\Omega \vec{r} \times \vec{v} \, dv \)

\( \Delta_{\vec{a}, \text{asse}} \) fissa momento a origine O ≠ 0

Teorema dell'energia cinetica

\( \Delta E_k = L'^{\text{NT}} + L'^{\text{CST}} \)

\( dL = dL^{\text{MT}} + dL^{\text{CST}}, \quad dL^{\text{NT}} = \vec{F}_{i}^{\text{int}} \cdot d(\vec{r}_{i2} - \vec{r}_{i1}) = 0 \)

\(\Delta E_k = L'^{\text{est}}\)

Statica del corpo rigido

\( \dot{P}_{\text{tot}} - M_{\text{tot}} \cdot \vec{a}_{\text{cm}} = 0 \)

\( \dot{L}_{\text{tot}} = 0 \)

\( \frac{d\vec{r}_{\text{tot}}}{dt} = \frac{\vec{r}_{\text{tot}} - \vec{r}_{\text{0}}}{t} \)

Condizioni in statica

R = 0 \( \Rightarrow \vec{F}_{z1} + \vec{F}_{z2} + \vec{F}_P = 0 \Rightarrow F_1 = F_2 = M_{\text{tot}} \cdot g \)

\( M_{s2} = 0 \Rightarrow M_{x2} + M_{x1} + M_{P} = 0 \Rightarrow N_{x2} = N_{x1} \)

\( M = 0 \Rightarrow M_{x2} = \vec{r}_1 \cdot F_1 \)

Moto di traslazione del corpo rigido

3 gradi di libertà

\( \dot{R} = \frac{d\vec{P}_{\text{tot}}}{dt} = M_{\text{tot}} \cdot \vec{a}_{\text{cm}} \)

Energia cinetica

\( E_{c} = \frac{1}{2} M_{\text{tot}} \vec{v}_{\text{cm}}^2 \)

\( L'^{\text{est}} = \Delta E_k \)

Moto di rotazione attorno ad un asse fisso (no traslazione)

L_Z=ω_Z ^ds/_dt ∫ ^dL/_dt=LZ_TOT

Momento angolare totale

dL_Z=x⋅dm⋅v

∫dL=^x⋅dm⋅v/_dt ^{perch'é il dt è in ogni istante}

R

ω²

⇒L_Z=ωR²dm

=ωR²dm ^ωR2dm/ζω

L^ω_Z=ω⋅I_Z

(P=U⋅H) I_Z=tensione del corpo rispetto con afferasi al cambiamento di moto rotatorio rispettoad un asse Z

Osservazioni sulla rotazione attorno ad asse fisso

L_XL_Z

I_Z^diosi>dall'asse considerando

• I_Z^engnon dipende dal polo scelto sull'asse (Z_L dipende dal polo P)
• In generale _Z non è parallelo ω (Z=Z₃+Z³)

Moto di precesione (se L₄∪0), Z_Z

• Quando es un asse di simmetria del sistema => L_Z⇒Z_Xω₂
1. CM^conω
primitivo rispetto ai con la unes stress steso massa
tà
2. ∀P P' primitivo rispetto ai con la ness stessa massa

   1 è _eorizzontale

Moto rotatorio attorno a asse fisso e di simmetria

L_i = cost. ⇒ L_z = I_z ⋅ ω̅

P_IST = M_IST ⋅ J̇_CM J̇_CM = 0 ⇒ Ṗ_IST = 0 L_IST = cost. ⇒ R_EST = dL_IST/dt = 0 I eq. cardinale

dL_z/dt = dL_z/dt (I_z ⋅ ω̅) = I_z ⋅ dω̅/dt = I_z ⋅ α̅ = M_est

M_est = I_z ⋅ α̅ (vale anche per L≠0)

Rotazione si trasforma in un problema 1D

α̅ = M_ex/I_z ω(t) = ω₀ + α̅ ⋅ t θ(t) = θ₀ + ∫ ω(t') dt'

se M_z = 0 ⇒ ω(t) = ω₀ MCU θ(t) = θ₀ + ω₀t

se M_z = cost. ⇒ ω(t) = ω₀ + α̅ ⋅ t MCUA θ(t) = θ₀ + ω₀t + 1/2α̅t²

se M_z varia ⇒ moto vario

Moto di precessione di L̅

L≠0 asse di rotazione ≠ asse di simmetria

L = L_z + I_z

Se ω̅ = costante ⇒ |L| costante precessione uniforme

|L| = costante ⇒ dL_z/dt = I_z/dt

dL/dt relatore di Eulero

1/2 J' ω̅ x J' = M̅ ⇒ (1) L̇_z = M̅

L_z = O evoluzione di Eulero

Dinamica del bilanciere

M_est = dL_z/dt = L_z ⋅ ω̅

M = 2⋅π⋅m⋅g⋅R⋅cos θ ⇒ 2⋅π⋅m⋅ω² R⋅cos θ

Rotazione attorno ad un asse variabile

\(\mathbf{Z} = I_z\, \mathbf{\Omega} \)

\(\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{m}\mathbf{g} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}\)

\(\frac{d\mathbf{L}}{dt} \parallel \mathbf{Z}, \mathbf{\omega} \)

\(\frac{d\mathbf{\hat{u}}}{dt} = \vec{\omega} \times \hat{u}\)\(\mathbf{L} = I\mathbf{\omega}\hat{u} \Rightarrow \hat{u} \times \mathbf{m}\mathbf{g}\)\(\Rightarrow \mathbf{L} = \frac{L}{I\omega}\mathbf{\hat{u}} = \mathbf{r} \times \mathbf{m}\mathbf{g}\)

\(\mathbf{M}_p = \mathbf{r} \times \mathbf{F}_p = \mathbf{x} \times \mathbf{m}\mathbf{g}\)

\(\mathbf{M}_{\hat{z}} = I_z\, \ddot{\hat{\alpha}}\)

Energia cinetica e lavoro nel moto del corpo rigido

\(\cdot\) Asse fisso di rotazione \(\mathbf{Z} = I_z\, \mathbf{\omega}_z + \mathbf{Z}_1\)

\(dE_k = \frac{1}{2} I_z \omega_z^2 + \frac{1}{2} \int \omega^2 r^2 dv \Rightarrow E_k = \int dE_k = \int \frac{1}{2} \omega^2 r^2 dv = L_0^2 \int R^2 dv \)

\(\mathcal{E}_k = \frac{1}{2} I_z \omega^2\)

\(W_v = \Delta E_k = \frac{1}{2} I_z \vec{\omega}_2^2 - \frac{1}{2} I_z \omega_1^2\)

\(dW = dE_k \Rightarrow \mathbf{N} E_k = d\left(\frac{1}{2} I_z \omega^2\right) = dI_z \omega\omega \Rightarrow \mathbf{d}E_k = M_{\hat{d}}\mathbf{d}\theta \)

\(\cdot\) Moto di traslazione \(\vec{E}_c = \frac{1}{2} M_{\text{tot}} \cdot U_{\text{cm}}^2\)

Momento d'inerzia con che passa per CM

Asta omogenea

L, M_tot

I_z = ∫ x² dm = ∫ x² dV = ρ ∫ x² dx ⋅ S = x² dx ⋅ λ

dm = λ x² dx

λ =

[(x³)^1/2]_−1/2

=> I_z = 1/12 L³ M_tot

Disco omogeneo che ruota attorno a CM

I_z = 1/2 M_tot R²

Teorema Huygens - Steiner

I_z = I_CM + M_tot ℓ²

distanza tra l'asse I_z e l'asse del centro di massa

DIM.

x = x′ z = z′ y = y′ + ℓ

I_z = ∫ (R²) dV

I_Z = 1/12 M L² + M (L/2)² = M L²/3

PENDOLO FISICO

M_z = I_z ω̇

M_B = r̅ × F_P = r̅ × M_tot g̅ ⇒ |M_B| = r M_tot g sinθ

r M_tot g sinθ = I_z θ̈

equazione esatta del pendolo

PICCOLE OSCILLAZIONI

- r M_tot g θ ≅ I_z θ̈

θ̈ + x M_tot g θ / I_z = 0

equazione oscillatore armonico

ω̅_z = √(x M_tot g / I_z)

T = 2π / ω₀ = 2π √(I_z / x M_tot g)

PENDOLO SEMPLICE

M_s I_z = I_CM + M_L ℓ² ⇒ I_z = M_tot ℓ²

ω₀ = √(x M_tot g / M_tot ℓ) = √(g / ℓ)

ROTOTRASLAZIONE SENZA STRISIARE

• _CM

• _GM

• ^ω

• ^P

ǹ

_pCM + _PƳ + ^ω🌞

CONDIZIONE DI PURO ROTOlAMENTO

1. NJ =!
2. Ǩ
3. ^p
4. Ǩ

^Ǒ = ^ǎ

DINAMICA PURO ROTOLAMENTO

• ^Ƴ

• _Ǫ

EQUAZIONE CARDINALE ^/ = ^M_Ư

OSSERVAZIONI

• Ὀ _CM = ^ǩ

• _Ǘ

ὀ

PURO ROTOLAMENTO CON FORZE

I eq card

_x: F - Fas = m⋅a_cm

_y: N - m⋅g = 0

II eq card

M_B = dL_B/dt = I_z⋅α

Asse per CM

M̅_F = (r̅_c x F̅_t) = R⋅F (k̂_o)

M̅_poi = 0 (r̅_mf)

M̅_N = 0 (k̂_o)

M̅_AS = r_z x F_as = R⋅F_as (k̂_o)

I_cmα = R⋅F_as

F - F_as = m⋅a_cm

a_cm = α⋅R

R²F - I_cma_cm = m⋅a_cmR²

a_cm = ^FR²/_{Icm + mR²}

Asse per C

M̅_F = p̅_c x F̅_t = R⋅F (k̂_z)

M̅_poi = 0 (r̅_op)

M̅_N = 0 (k̂_o)

M̅_AS = 0 (k̂_z)

I_cα = -R⋅F

F - F_as = m⋅a_cm

a_cm = α⋅R

F = ^I_ca_cm/_R²

a_cm = ^FR²/_Ic

I_c = I_cm + m_totR²

F - F_AS = μ_sm_totg ≤ μ_sm_totg ( ^I_c/_{Ic + mtotR²})