Corpo Rigido
Si definisce corpo rigido un sistema di p.ti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di p.ti mai possono variare.
Il modello ideale molto spesso in fisica è quello del corpo indeformabile ...
Da un p.t.o di vista microscopico le forze che garantiscono la rigidità dei solidi sono essenzialmente forze elettriche ...
Ultimamente è possibile individuare un moto d’insieme riconducibile al moto dei C.M. uno in realtà i vari p.ti possono descrivere diverse traiettorie tra loco e da quella dei C.M.
Definiamo gradi di libertà del sistema il numero di parametri necessari per descrivere il moto di un sistema
Moto del Corpo Rigido
Il moto del corpo rigido è determinato da forze esterne che, in generale, sono più di uno e applicate in p.ti diversi.
Il lavoro delle forze interne è nullo => ΔEk = Wf(t)
Il moto più generale che può avere un corpo è di tipo rototraslatorio ed è descritto dalle Eq.ni
Cardinali
F(e) = mtot · acm = dPˆ / dt
Qsta è legata al moto traslatorio
HL = dLˆ / dt + √3.(x) mtot Vcm
Qsta è legata al moto rotatorio
Il prodotto vettoriale vale a definire il momento angolare e il momento delle forze
Corpo Rigido
Si definisce corpo rigido un sistema di P.T. materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di P.T. non possono variare.
Il modello ideale molto spesso in fisica è quello del corpo indeformabile.
Da un p.to di vista microscopico le forze che garantiscono la rigidità dei solidi sono essenzialmente forze elettriche.
Furtunatamente è possibile suddividere un moto d'insieme riconducibile al moto del C.M. uno in relativo i vari p.t. possono descrivere diverse traiettorie rispetto a quella dei C.M.
Definiamo gradi di libertà del sistema il numero di parametri necessari per descrivere il motore di un sistema
Moto del corpo rigido
Il moto del corpo rigido è determinato da forze esterne che, in generale, sono più di uno e applicate in P.T. diversi.
Il lavoro delle forze interne è nulla ⇒ ΔEk = Wf (e)
Il moto più generale che può avere un corpo è di tipo rototraslatorio ed è descritto dalle Eq. Ni
Cardinali
F(e) = mtot . acm = d𝕡&d{}t; (th. dei cm)
Questa è legata al moto traslatorio
M(e) = dI𝕡&d{}t; + v2 × mtot . vcm
Questa è legata al moto rotatorio
(⇒ fare = zero se il polo è fisso)
Il prodotto vettoriale serve a definire il momento angolare e il momento delle forze.
Traslazione di un corpo rigido
Tutti i pt. descrivono traiettorie uguali percorse con la stessa velocità v≡Vcm, la quale può variare nel tempo in modulo, direzione e verso.
F(e) = mtot · acm eq.ue del moto del cm
P = m tot · Vcm qtà di moto
Ek = Σi MiVi2 = 1/2 mtot Vcm2
L = Lcm =Rcm x P
Rotazione di un corpo rigido
w // a
ω = r x v (rad/s)
Vi = Ri · w -> è la stessa per tutti i et.i
M(e) = dL / dt eq.ue del moto
Densità. Posizione del CM
Prendiamo una piccola porzione del corpo rigido avente massa infinitesima dm.
Si definisce densità il rapporto tra detta massa e il volume dv da essa occupato.
La massa totale del corpo risulterà quindi
Il corpo avente densità costante è detto omogeneo.
In alcuni casi la massa può essere distribuita su una superficie S o lungo una linea l, avremo così:
- ρs = dm/ds ⇒ ρsds = M densità superficiale
- ρl = dm/dl ⇒ ρldl = M densità lineare
Definiamo inoltre volume specifico la q.tà:
Analizziamo ora come si trova la posizione del CM.
Sappiamo che la posizione di ciascun punto del corpo rigido avente massa dm = ρdv è individuata dal raggio vettore r rispetto la posizione del CM è data dalla somma degli infiniti vettori rdm diviso per la massa totale:
(Se corpo omogeneo)
ROTAZIONI RIGIDE ATTORNO A UN ASSE FISSO IN UN SRI
L'asse di rotazione del corpo può essere esterno o interno al corpo.
La velocità angolare ω è la derivata fissa lungo quella dell'asse di rotazione.
Se si varia è diverso da zero il vettore accelerazione angolare
α = dω/dt Anche esso parallelo all'asse di rotazione.
CALCOLO DEL MOMENTO ANGOLARE. MOMENTO D'INERZIA
Prendiamo 2 come asse di rotazione;
avremo cosί ωi/2.
Prendiamo O come polo.
Il raggio vettore ri del p.to Pi forma un angolo θi con 3 e un angolo π/2 con la velocità vi.
Ri (raggio della traiettoria) forma pari e rism θi.
Il momento angolare del p.to Pi
rispetto al polo O risulta :
Li = ri × mivi ed è l' al piano individuato dai vettori ri e vi
su manimo riemure
Li = mirivi = mi ωi · ri
Calcoliamo ora le proiezioni del momento angolare Li sull'asse di rotazione z ovvero il momento angolare
ASSIALE: Li,z = Li cos(π/2-θ) = Li sinθ = m i r i vi
Li,z = m i R i2 ω
Il momento angolare assiale del corpo sarà
Lz = ∑ Li,z = (∑m i R i2) ω = Iz ω
con Iz = momento di inerzia del corpo rispetto all'asse z.
Possiamo quindi affermare che la componente del momento angolare rispetto all'asse di rotazione è
proporzionale alla velocità angolare e dipende tramite il coeff. Iz solo dalla forma del corpo e
dalle posizioni delle masse rispetto al corpo.
Calcoliamo ora la componente ortogonale all'asse
Li,⊥ = Li cosθ = m i r i R i vi cosθ
L // ω̂ quando z è asse di simmetria,
L = Iz ω̂ con L = Lz e L⊥ = 0
Il moto di un vettore, e in questo caso di L̂, attorno
ad un asse è detto MOTO di PRECESSIONE, se è uniforme
M̂ = dL̂/dt = ω̂ x L̂
Esempi: effetti non parallelismo tra L e W
Le due sferette di massa m collegate da una barretta ruotano attorno a un asse verticale.
I momenti angolari dei due punti saranno uguali:
M = 0 ← costante ← L = Lz = 2mRυ = 2mR2ω = Izω
L⊥ = 0
Sui due corpi è applicata la forza mg ← e la forza centrifuga mω2r
L ⊥ asse
→ Lz = 2m(Rsinθ)ω2ω = 2mR2ω∙cosθ
L⊥ = 2mRωcosθ ← variabile in direzione
→ DM = L⊥ω = 2m2R2ω2cosθ
Le forze peso hanno momenti uguali ed opposti mentre le forze centrifuge = mω2r sono una coppia di braccio 2rcosθcon M = 2mR2ω2cosθ
→ L'azione del momento tende a modificare la direzione dell'asse di rotazione
→ Si sviluppa un momento uguale e contrario a M
Eq.ne del moto in f.me del momento
- L //
L = L3 = I3·ω L⊥ = 0
dL/dt = d/dt (I3ω) = I3 dω/dt = I3 α
⇒ = I3 α eq.ne del moto di rotazione
α = /I3 ⇒ d ω(t) = ω0 + ∫αdt ⇒ dS(t) = S0 + ∫ω dt
Se = 0 il corpo è in quiete
α = 0 ω = ω0 Θ = Θ0 + ωt
il corpo si muove di moto circ. uniforme
Se = cost ⇒ MCUA
α = cost , ω = ω0 + αt , S = S0 + ω0t + 1/2 αt2
- L × ω
M3 = I3 α ⇒ α = Mz/I3
M⊥ = dL⊥/dt
è responsabile delle prec. u.u. orolog
- Se CM e asse
ach, t = R CM
ach, n = ω2 R CM
Energia cinetica e lavoro
Ek = Σi 1/2 mi vi2 = Σi 1/2 mi ri2 ω2 = 1/2 Iz ω2
- L//ω̅ E̅k = L2 / 2Iz
- L×ω̅ E̅k = L2 / 2Iz
Se il corpo rigido, in quiete e in rotazione con velocità angolare ωin, viene portato a ruotare con ωfin a seguito dell'applicazione di un momento esterno => l' Ek subisce una variazione => è stato compiuto un lavoro W
W = ΔEk = 1/2 Iz ωfin2 - 1/2 Iz ωin2
Relazione tra M e W
dW = dEk = Iz ω dω = Iz dθ/dt dθ = Mz dθ
⇒ W = ∫0θ Mz dθ
⇒ dW/dt = Mz dθ/dt - Mz ω
MOMENTO DI INERZIA
Misura la sua inerzia rotazionale
Per parlare di un momento di inerzia di un corpo di data massa e forma, bisogna specificare l'asse di rotazione.
I = ∫ r² dm
I = Ic + md²
calcolato sugli assi -> possente per CM
calcolato su un'asse ->
a quello possente per CM
Ic = 1/2 mR²
-> se d = R: I = 3/2 mR²
Riprendiamo Ek = 1/2 Iω² e applichiamo il th. di H-S
Ek = 1/2 (Ic + md²) ω² = 1/2 Ic ω² + 1/2 md² ω²
e il momento dell'inerzia calcolato rispetto all'asse passante per CM -> I = 2/3
-ΔEk = 1/2 Ic ω² + 1/2 md² ω²
TH di Koenig
- rotaz. rispetto ai CM
- eu. cinetica dei CM
- teoremi di Lavo stabiliscono che le relazioni tra momento angolare e la Ek
- L = Ltra x mω
- Ek = Ekt + Ekm
Pendolo Composto
È un corpo rigido che può oscillare, per azione della sua forza peso, in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il CM.
La forza peso è una forza di richiamo pertantoha un momento che si oppone alla rotazione
MFp = OCM x Fp = R · P sin θ = -mgh sin θ = - I2 θ..
Eqnz. del moto del pendolo
d2θ./dt2 + mgh sin θ/I2 = 0
Ipotizziamo piccole oscillazioni ⇒ quindi sin θ ≈ θ
d2θ./dt2 + θ · mgh/I2 = 0
θ.. + Ω2θ = 0 ⇒ Ω = √(mgh)/√(I2)
θ(t) = θ0 sin (Ωt + φ)
Per il pendolo semplice con fA = 0 si effettua la
conservazione dell'energia e questo vale anche per
il pendolo composto
RN ∑F = m · aCM
N aCM,N = ω2R
⭘ RN - Pcosθ = m · aCM,N
T T RT - Psinθ = m · aCM,T
mg aCM,T = α · R
PT con α = d2θ/dt2 = -mghsinθ
L'energia cinetica del p.t.o è di tipo rotazionale
nel SR' con centro o è l'Ek del pendolo composto che
ruota rispetto e ' e poi a.
1 2
Ek = 1/2 I2 ω2
Questa per un th. di König risulta nel SRcm.
1 1 2 2
Ek = 1/2 I2 ω2 - 1/2 m Vcm2
Ek' Ecm
Nel SRcm il CM è tesod e tutti gli P ruotano rispetto
al CM
Calcoliamo infine ω
EM,i = EM,f
Epi = Epf + Ek,f
mg ycm,i = mg ycm,f + 1/2 I3 ω2 con ycm,i = 2h - hcosθ0
ycm,f = 2h - hcosθ
mgh (2 - cosθ0) = mgh (2 - cosθ) + 1/2 I3 ω2
μgh (cosθ0 - cosθ) = 1/2 I3 ω2
Moto di puro rotolamento
Consideriamo ora come asse di rotazione un asse
geometrico che si sposta insieme al corpo.
Se le velocità di tutti i p.ti sono uguali tra loro e
parallele al piano abbiamo un moto di traslazione
e il corpo striscia sul piano.
Se il punto di contatto ha velocità nulla rispetto al piano
il corpo rotola e striscia, se invece è nulla anche
si ha un moto di puro rotolamento
la velocità di ogni p.to è in
numero proporzionale alla
distanza da c *
Vp = ω |PC|
VC = Vcm + ω × r̅
-> Vcm = - ω × r̅ -> acm = ar
Supponiamo ora un corpo di massa m e raggio r che
rotola senza strisciare su una superficie piana
orizzontale sotto l'azione di una forza F orizzontale,
costante e applicata all'asse.
Sul corpo agiscono anche m g̅ e la reazione del piano
R→ che ha componente verticale N̅ e orizzontale fa.
Poiché F spinge il corpo verso destra, fa si oppone
Equazioni del moto:
- F - fa = m acm
- N = mg
Equazioni momento angolare:
N̅ x r̅ x a̅ = I α̅
acm = F/m(1 + I/mr2)
fa = F/1 + mr2/I
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