Corpo rigido e moto di puro rotolamento

Corpo rigido

Sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le coppie possibili di punti è costante.

Sistema di punti indeformabili (discreto)

r_CM = ∑ r_i m_i / ∑ m_i

L_tot = ∑ r_i × m_i v_i

Corpo rigido esteso (continuo)

r_CM = ∫ r dm / ∫ dm

L_tot = ∫ r × v dm

Densità

Densità volumetrica: ρ = dm/dV

Densità superficiale: σ = dm/dA

Densità lineare: λ = dm/dl

r_CM = ∫ r dm / ∫ dm = ∫ r ρ(r) dV / ∫ ρ dV

L_tot = ∫ r × ρ(r) v dV

FORZA PESO SU UN CORPO RIGIDO

∫ F_z = dm g̅

F_P = ∫ F_p = ∫ ρ(x) dV g̅ = M_tot g̅

M_P = ∫ x × F_P = ∫ x dm g̅ = ∫ x (x) g dm

Il centro di massa è il baricentro del sistema

Un corpo esteso ha più gradi di libertà (rotazione) rispetto al punto materiale

DESCRIZIONE DEL MOTO

SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CORPO RIGIDO

o' = CM

• TRASLAZIONE variazione di T₀: (x₀(t), y₀(t), z₀(t)) ⟹ 3 gradi di libertà
• ROTAZIONE degli assi x', y', z' rispetto a x, y, z

θ(t), ϕ(t), ψ(t) ⟹ 3 gradi di libertà

6 EQUAZIONI PER DESCRIVERE IL MOTO

Rotazione attorno ad un asse variabile

Z_z = I_z Ω

M = π x ηg = dZ_f / dt

dZ / dt ⊥ Z, ω

Z = (dZ / dt) x û = z x z = z x ηg ⇒ z_x = I_ω û x ηg

I_ω û

⇒ I_ω x û = -n ηg x û

z = -n ηg û

M_p = π x F_p = x x ηg

M = I_g α

M_p = x x ž_z = dJ_z / dt

J_z ≠ 0

dJ_z / dt ⊥ Z, ω

M_p = x x ž_z = ž_z x M_g

(n inverts verticali: devono dare

le stesse verso del momento M_p)

Energia cinetica e Lavoro nel moto del corpo rigido

• Asse fisso di rotazione Z_l = I_z ω_z + Z_l

dE_K = 1 / 2 L_z ω_z + 1 / 2 ω_r² L_z dν = E_K = ∫dE_K = ∫1/2 * ω_r² dν = L_^2 / 2 ∫R² dν

E_K = 1 / 2 I_z ω_z²

W₁ = ΔE_K = 1 / 2 I_z fps + 1 / 2 I_z ω_z²

dW = dE_K ⇒ dW = dE_K = d(1 / 2 I_z ω_z²) ⇒ J = I_z ω_z dω ⇒ dE_K = M_o dθ

∫θ_o W = W t dθ

dW = M_o dθ

• Moto di traslazione E_C = 1 / 2 M_gt U_M^0² < L^ext < ΔE_K = ∫^θ rest dδ

Puro Rotolamento con Momento

I eq. card. R̅ = m tot a_cm x: F_x = m_tot a_cm y: N - mg = 0

II eq. card. M_c = dL_z/dt = α I_z

• M_P = 0 (x = 0)
• M_N = 0 (x = 0, N = 0)
• M_as = F_ix R_f (x = - R)
• N₁ = M (L = 2c)

F_ix = α R = F_B - F_as

F_as = m_a a_cm

A_cm = αc R

=> I_cm a_cm = R m a_cm = MR = Q_cm (R² m_tot + I_cm) =>

A_cm = M R / (R² M_tot + I_cm)

Urti tra Corpi Rigidi

I eq. cardinale d