Controlli automatici, parte 7 - Banda passante e tempo di salita

7-ALTRI PARAMETRI: BANDA PASSANTE E TEMPO DI SALITA

7.1-SISTEMA AMPLIFICATORE PER COMPRENDERE COS’E’ LA BANDA PASSANTE

Consideriamo un sistema che è l’Amplificatore (già retroazionato): ci sarà un ingresso che

può essere il suono di una chitarra, l’amplificatore che genera l’uscita che andrà alle casse

(all’altoparlante). L’altoparlante traduce (o meglio, trasduce) la corrente che esce

dall’amplificatore e la trasforma in un’onda di pressione (quindi in suono).

Dal nostro amplificatore si desidera la non distorsione del suono:

() ≅ ()

Quest’obiettivo è proprio l’inseguimento ma il riferimento questa volta non sarà un segnale

costante bensì un segnale periodico che però può avere una forma molto strana (sappiamo

che i suoni oltre che essere caratterizzati dalla frequenza sono caratterizzati anche dalla loro

forma d’onda; ad esempio un LA di una chitarra è diverso da un LA del pianoforte e questo

perché la forma d’onda è diversa).

Immaginiamo di avere tre amplificatori, ciascuno dei quali ha una sua funzione di

trasferimento: 1

= # − 1

1 +1

1

= # − 10

2 0,1 + 1

1

= # − 100

3 0,01 + 1

Si immagini che la seguente sia la forma d’onda di una nota di una chitarra, si tratta della

corrente che entra nell’amplificatore ed è quindi il riferimento:

Si mostrano le risposte dei tre amplificatori e la curva in grigio è il riferimento.

PRIMO AMPLIFICATORE

Iniziamo già a capire come non ci sia una somiglianza tra riferimento e uscita.

SECONDO AMPLIFICATORE

Le due curve non sono uguali: i picchi sono un po' più bassi e sono anche sfasati, sono i

ritardo uno rispetto all’altro (e sappiamo che lo sfasamento è il ritardo temporale, quindi

questo amplificatore rischia di non fare sentire gli strumenti sincronizzati tra di loro). Con il

secondo amplificatore però la situazione è migliorata di molto.

TERZO AMPLIFICATORE

In questo caso la curva grigia non si vede, per vedere la differenza bisognerebbe zoomare di

molto sul grafico. Siamo quindi in una condizione di inseguimento quasi perfetto.

Dalle espressioni delle funzioni di trasferimento degli amplificatori notiamo che sono tutte

funzioni di trasferimento del prim’ordine, hanno tutte un solo polo e quindi ciò che fa la

differenza è la posizione del polo. Per capire il perché di queste differenze analizziamo

teoricamente il tutto.

Noi abbiamo un sistema dinamico lineare (l’amplificatore è, nei limiti di funzionamento e nei

limiti della sua qualità, un sistema dinamico lineare) soggetto ad un ingresso e tira fuori a

regime un’uscita. Ma com’è fatta quest’uscita?

()

A stabile stiamo applicando un ingresso (immaginiamolo come il LA della chitarra):

() = 1 + sin() + sin(3) + sin (7)

Questo ingresso è la somma di una costante e tre termini sinusoidali.

Siccome il sistema è lineare la risposta a regime conseguente a quell’ingresso sarà la

.

risposta a regime conseguente ad ognuno dei termini della

Siamo interessati solamente alle risposte a regime perché i circuiti elettronici hanno dei

transitori così brevi che l’orecchio umano non è in grado di apprezzarli.

Ricordiamo che la risposta a regime ad un segnale costante è una costante il cui valore è

(0)

pari a per l’ampiezza del segnale d’ingresso. Per gli ingressi sinusoidali sfruttiamo

invece il teorema della risposta frequenziale.

|(1)| |(3)| |(7)|

()

= (0) ∙ 1 + sin ( + arg((1)) + sin (3 + arg((3)) + sin (7 + arg((7))

Questa uscita sarà uguale all’ingresso che siamo andati ad applicare?

Andiamo a valutare nel caso dell’amplificatore 1 (sistema pessimo) e dell’amplificatore 3

(buon sistema).

• Sistema 1 (0) = 1

1 1

|(1)|

(1) = =

1 + 1 √2

1 1

|(3)|

(3) = =

1 + 3 √10

1 1

|(7)|

(7) = =

1 + 7 √50

1 1 1

( ) (1)) (3)) (7))

= 1 + sin ( + arg( + sin (3 + arg( + sin (7 + arg(

√10

√2 √50

Confrontiamo con: () = 1 + 1 ∙ sin() + 1 ∙ sin(3) + 1 ∙ sin (7)

• Sistema 3 (0) = 1

1 1

|(1)|

(1) = = ≅1

1 + 0,011 2 2

√1 + 0,01

1 1

|(3)|

(3) = = ≅1

1 + 0,013 2

√1 + 0,03

1 1

|(7)|

(7) = = ≅1

1 + 0,017 2

√1 + 0,07

( ) (1)) (3)) (7))

= 1 + 1 sin ( + arg( + 1 sin (3 + arg( + 1 sin (7 + arg(

Confrontiamo con: () = 1 + 1 ∙ sin() + 1 ∙ sin(3) + 1 ∙ sin (7)

Per quanto riguarda i coefficienti di amplificazione, in questo caso coincidono.

Questo sistema quindi riproduce esattamente le ampiezze del segnale di riferimento.

Si lascia allo studente la discussione sugli argomenti: si scoprirà che per il terzo sistema

(terzo amplificatore) gli argomenti saranno circa zero, mentre per il sistema uno (quello

pessimo) gli argomenti saranno grandi.

Abbiamo calcolato i moduli e gli argomenti di ciascuna parte di risposta a regime… ma c’è

bisogno di calcolarli o possiamo leggerli da qualche altra parte? Ovviamente dai Diagrammi

di Bode.

Sia la curva blu quella relativa al primo sistema e la curva rossa quella relativa al secondo

sistema:

Anche dai Diagrammi di Bode abbiamo conferma del fatto che il terzo sistema tratta tutte le

sinusoidi allo stesso modo.

Anche dal diagramma delle fasi vediamo che la curva blu introduce un grande sfasamento

per quelle frequenze che stavamo prendendo in considerazione: è come se quei tre

strumenti non suonassero sincronizzati.

La giustificazione sul fatto che il sistema 3 dà una riproduzione molto migliore del sistema 1

risiede proprio nei diagrammi di Bode, che ci dicono come viene amplificato ciascun suono:

la curva rossa amplifica tutti i suoni allo stesso modo, la curva blu amplifica suoni bassi (e

nemmeno tanto) mentre i suoni alti li amplifica poco e oltre a fare ciò sfasa i suoni bassi e

sfasa ancor di più i suoni alti.

Ma come facciamo allora a scegliere quale amplificatore comprare? Noi sappiamo che la

16000

soglia di udibilità dell’orecchio umano è di circa (esagerando) e quindi

l’amplificatore deve trattare bene, e quindi amplificare allo stesso modo, tutti i suoni che

0 16000 .

vanno da a Se amplifica di più quelli bassi e amplifica di meno quelli bassi si

sentirà un suono acuto, se fa il contrario si sentirà un suono stridulo. Quindi il Diagramma di

Bode dei moduli dell’amplificatore dovrebbe essere costante da 0 a 20000 Hz???

La Banda Passante di un amplificatore è la fine del tratto piatto del diagramma dei moduli

e va interpretata come lo spartiacque tra ciò che viene amplificato correttamente e ciò

che viene amplificato sempre meno.

In seguito a quanto detto sul fatto che l’orecchio umano (abbondando) ha una soglia di circa

20000 Hz, allora dobbiamo comprare un amplificatore che ha una banda passante di 20000

Hz e cioè che amplifichi allo stesso modo solo i suoni che sono compresi in quell’intervallo?

La risposta è No perché mentre il diag