Controlli automatici

Bibbia per controlli automatici (Scuto)

Diagramma di Bode

1. Una qualsiasi funzione va prima ridotta in forma canonica di Bode esplicitando i termini:

F(s) = K _i=1^m1∏(1 + _ξis) _i=1^m2∏(1,2 _ξisiωi1 + _s²ω²i1)_________s^m3_i=1^m4∏(1 + _ξis) _i=1^m5∏(1 + 2_ξi(_sωpi) + _s²ω²pi)

Poi si studiano tutti i contributi:

Termine costante K

• Modulo: 20 log₁₀|K| Retta costante
• Fase: 0 se K > 0, −π se K < 0

Termine monomio numeratore (jw)

• Modulo: È rappresentato da una retta inclinata di +20dB/DEC che passa per 0 quando ω=1
• Fase: ∠jw = 90°

Termine monomio denominatore (1/jw)

• Modulo: È una retta inclinata di 20dB/DEC che vale 0dB quando la ω=1
• Fase: ∠1/jw = -90°

Termine trottolio alla m (jw)^m o 1/(jw)^m

• Modulo: 1/|(jw)^m|db = -m*20log₁₀|w| aumenta la pendenza e quindi la retta sarà -mx20db/dec
• Fase: ∠(jw)^m = -m*∠(w) = -m*90^o per (jw)^m uguale in tutto al positivo

Termine binodio al numeratore (1+jwτ)²

• È una linea "spezzata" che segue il seguente sistema:
  • 0^o alla decade prima di w = 1/τ₁
  • π/4 esattamente nel punto w = 1/τ₁
  • π/2 alla decade successiva a w = 1/τ₁
• Questa regola dipende dal segno di τ₂ e di τ₂>0 lasciare così; se <0 cambiare tutti i seguenti angoli.
• Modulo: è una linea spezzata in un punto detto pulsazione di rottura pari a w_R = 1/k√1. La linea segue le seguenti regole:
  • 0 dB per ogni w prima di 1/k√1 = w_R
  • +20dB/DEC θw ≥ 1/k√1

Termine binomio al denominatore (1/(1+jw√1))

• Modulo:
  • 0 dB θw ≤ 1/k√1
  • -20dB/DEC θw > 1/k√1
• Fase:
  • x > 0, 0° w > 1/k√1
  • x, 0° w > 1/k√1

Termine smorzato

(s + a + j b) / (s + a - j b) = [1 + 2 ξ ^s/_ωm + ^s2/_(ωm)²]

Dove a = ξ ω_m e a² + b² = ω²_m

• Modulo:
  • 0    ω << ω_m
  • +40 dB/dec    ω >> ω_m
  • +40 se al numeratore, -40 se al denominatore
• Fase:
  • ξ > 0, 0°    ω << ^ω_m/₁₀
  • 90°    ^ω_m/₁₀ ≤ ω < 10 ω_m
  • 180°    ω >> 10 ω_m
  • ξ < 0, 0°    ω << ^ω_m/₁₀
  • -90°    ^ω_m/₁₀ ≤ ω < 10 ω_m
  • -180°    ω >> 10 ω_m

Per ξ = 0, la fase può assumere 2 valori: 0 e 180°

Correzione del diagramma di Bode

Correzione del modulo

1. Termine binomio (+) numeratore (-) denominatore

In corrispondenza di ω = 1 / T si fa un errore di circa ±3dB in dipendenza dalla posizione del binomio.

2. Termine trinomio

Correzione della fase

1. Termine binomio

Per il diagramma asintotico si prendono 2 frequenze intorno alla pulsazione di rottura _WR = _1/|Z|, esattamente in corrispondenza della decade che precede e rispettivamente a quella che segue. Divido le _W che ho preso per _WR e trovo un valore da leggere sulla carta di correzione di Bode. Ciò che trovo è il valore in gradi per l' _W scelto. Quel valore va diviso per 2.

Smorzato

Teorema di noto

Prendiamo 2 ω prima di una ω_R scelta. Dividiamo le 2 ω prese per ω_R, controllare il valore sulla carta di conversione delle fasi, e prendiamo il valore in gradi, dividerlo per 2 e seguire la seguente regola:

• -(Valore scelto)/2 se al numeratore
• +(Valore scelto)