Controlli automatici, parte 4 - Stabilità di sistemi

4-STABILITA’ DEL SISTEMA

4.1-RIEPILOGO DI QUANTO VISTO FINO AD ORA

Abbiamo cominciato a sfruttare come strumento per i nostri scopi le Equazioni Differenziali

Lineari perché rappresentano uno strumento già noto.

Dopodiché abbiamo imparato a trasformare l’equazione differenziale lineare in una

descrizione equivalente, per la quale è cambiato solamente il modo di rappresentare il

sistema e questo nuovo modo lo abbiamo chiamato Funzione di Trasferimento; ci siamo

passati attraverso la Trasformata di Laplace.

Abbiamo scoperto che la Trasformata di Laplace è una funzione di variabile complessa che

ha una struttura particolare: dal punto di vista della struttura le funzioni di trasferimento

(tranne una sola che vedremo alla fine del corso) sono tutte funzioni razionali (rapporti di

polinomi) e sono completamente equivalenti alle equazioni differenziali, nel senso che è

possibile passare dall’una all’altra e senza nessuno sforzo (semplicemente i coefficienti delle

equazioni differenziali diventano i coefficienti della funzione razionale).

Ma perché siamo passati dalle equazioni differenziali alla funzione di trasferimento?

Per quelli che sono i nostri scopi è comune prendere più sistemi e collegarli tra di loro per

formare un sistema più grande: volendo fare ciò con le equazioni differenziali sarebbe anche

possibile ma sarebbe molto complesso, invece con la funzione di trasferimento è un attimo.

Inoltre, prediligere la funzione di trasferimento ha un fatto di utilità nel senso che se queste

due descrizioni sono equivalenti ci devono raccontare la stessa cosa del sistema ma non è

detto che entrambi gli strumenti le raccontano con la stessa chiarezza.

La Funzione di Trasferimento metterà in evidenza con maggiore chiarezza alcune proprietà

importanti sia del sistema in sé sia di ciò che accade quando più sistemi vengono uniti

assieme.

Abbiamo visto anche che la Funzione di Trasferimento è una funzione razionale e le funzioni

razionali le sappiamo antitrasformare, ma qual è il significato della grandezza alla quale si

arriva? −1

ℒ

() → () ()

Nel momento in cui avviene il passaggio ci siamo chiesti il significato di e

abbiamo visto essere la Risposta Impulsiva perché siamo arrivati a dimostrare che se

potessimo applicare un Impulso di Dirac al sistema, la risposta che osserveremmo sarebbe

()

esattamente ()

() = ()

Questo discorso viene dal legame generale ma se l’ingresso è la

()

distribuzione di Dirac, abbiamo dimostrato che la sua trasformata è pari ad 1.

()

Quindi applicando al sistema che ha una funzione di trasferimento come ingresso la

() = () () = ().

distribuzione di Dirac come uscita avremo

Dal punto di vista fisico sarà un discorso “virtuale” dal momento in cui non è possibile

applicare un impulso al sistema: la funzione di risposta all’impulso sarebbe la risposta che il

sistema darebbe se potessimo applicare come ingresso un impulso.

()

La motivazione più importante per cui introduciamo come ulteriore grandezza è

proprio perché vogliamo una garanzia che il nostro sistema non ci conduca in condizioni

pericolose.

La funzione di risposta impulsiva la si può utilizzare anche per calcolare la risposta ad un

qualsiasi ingresso, in alternativa alla scomposizione in fratti semplici, e tramite lo strumento

dell’Integrale di Convoluzione. () = ()(),

Abbiamo visto che se l’ingresso e l’uscita sono legati tra loro dalla legge

che discende direttamente da un’equazione differenziale, allora le tre grandezze

(), (), () sono legate tra di loro tramite il Teorema della Convoluzione: ogni volta che

si prende il prodotto di due trasformate di Laplace, in quel prodotto nel dominio del tempo

si nasconde un integrale di convoluzione:

() = ∫ () ( − )

0

Tale strumento si può usare come modo alternativo per calcolare la risposta (invece di

())

antitrasformare

4.2-FUNZIONE LIMITATA

Una funzione è limitata quando: |()| ≤ ∀ ≥ 0

O, allo stesso modo: − ≤ () ≤ ∀ ≥ 0

"∀ ≥ 0 "

La precisazione vale dal momento in cui abbiamo visto come per tempi negativi le

funzioni che considereremo sono nulle.

Geometricamente questa condizione corrisponde al fatto che la funzione è compresa in una

−:

fascia orizzontale tra i valori e

Abbiamo già visto che la limitatezza esponenziale corrisponde alla condizione per cui:

|()| ≤

= 0

Per otteniamo lo stesso risultato, per cui la semplice limitatezza la si può intendere

come un caso particolare della limitatezza esponenziale (o, al contrario, la limitatezza

esponenziale è una generalizzazione della limitatezza semplice).

A livello ingegneristico questo concetto è estremamente importante dal momento in cui si

vuole essere sicuri che le grandezze che descrivono un sistema si mantengono entro i

limiti di sicurezza del sistema stesso.

Ad esempio, non è possibile fare crescere sempre di più il carico su una trave dato che la

trave si flette e potrebbe anche rompersi.

Vogliamo quindi essere certi che, in condizioni normali, il nostro sistema sia sicuro: le

grandezze che descrivono tale sistema devono essere funzioni limitate.

Tutto ciò ci introduce al concetto di Stabilità del Sistema.

4.3-STABILITA’ DEL SISTEMA (STABILITA’ ESTERNA O BIBO STABILITY)

Un Sistema Lineare è Esternamente Stabile se e solo se ogni ingresso limitato provoca una

Risposta Forzata limitata (quella parte di risposta che non dipende dalle condizioni iniziali o

analogamente quando le condizioni iniziali sono nulle*).

L’aggettivo Esterna fa riferimento ai segnali esterni al sistema (cioè l’ingresso e

l’uscita/risposta)

*Se le condizioni iniziali non fossero nulle il problema potrebbe diventare più complesso ma

se vale quanto detto sul fatto che non ci sono radici comuni tra numeratore e denominatore,

allora anche se le condizioni iniziali non sono nulle continua a valere quanto affermato.

Il problema potrebbe insorgere in alcuni casi nel momento in cui ci sono semplificazioni tra

numeratore e denominatore (ma su questo approfondiremo più avanti)

Viceversa, un Sistema Lineare è Esternamente Instabile se esiste almeno un ingresso

limitato che provoca un’uscita illimitata.

ESEMPIO/CURIOSITA’

Alfred Nobel divenne famoso perché fu in grado di stabilizzare la nitroglicerina, inventando

la dinamite.

La nitroglicerina è pericolosissima, in quanto esplode anche per un piccolo urto.

Nobel riuscì a stabilizzarla, mantenendo le proprietà esplosive: brevettò la dinamite,

esplosivo formato da nitroglicerina e segatura, che esplode solamente nel momento in cui si

accende la niccia.

• Nel momento in cui si sbatte una bottiglia di nitroglicerina contro il muro questa

esplode (instabilità)

• Nel momento in cui si sbatte un candelotto di dinamite contro il muro non succede

nulla (stabilità)

ESEMPIO 1

Possiamo provare che il seguente sistema è instabile?

′′ ′

() ()

+ = 2()

′ (0)

(0) = 0 = 0

{ () = ()

Trasformando con Laplace, utilizzando la linearità e il teorema della derivata con condizioni

iniziali nulle, otteniamo che: 1 2

2

() + () = 2 ∙ → () = 2

( + 1)

Antitrasformiamo e spezziamo in fratti semplici:

2

1 2 3

() = = + +

2 2

( + 1) +1

Per lo scopo dell’esempio possiamo evitare di calcolare i tre residui.

Antitrasformando:

1 2 3

−1 −1 −1 −

() = ℒ + ℒ + ℒ = ∙ + ∙ 1 + ≥ 0

[ ] [ ] [ ] 1 2 3

2

+1

()

Vogliamo capire se è una funzione limitata.

≠ 0

Teniamo solamente conto che e intuiamo che la funzione non è limitata perché

1

→ ∞

quando si fa tendere succede che il termine tende ad infinito.

1

L’uscita di questo sistema avrà un grafico corrispondente a quello che segue e questo

perché: ′

→ (0) = 0 ( )

′ (0)

→ = 0 ( ℎ )

−

→ → ∞ ℎ → 0 ℎ +

3 1 2

() ,

Questo grafico ci fa capire che più il tempo passa e più la grandezza che può essere una

temperatura, una pressione, una corrente, …, cresce sempre di più.

Se la grandezza fosse una temperatura il tutto non andrebbe per niente bene dato che si

verificherebbero condizioni di pericolo in un eventuale situazione reale.

Vedremo ora un esempio concreto di un sistema che riporterà all’equazione differenziale

appena presa in esame.

Consideriamo un serbatoio, con un termine di perdita lungo le pareti (che rallenta solo un

po' la crescita del livello del fluido), che è alimentato da una sorgente con portata costante

() ≔

() ≔

Il livello del fluido cresce sempre di più illimitatamente: si tratta di un sistema instabile

perché abbiamo considerato un ingresso limitato che ha provocato una risposta illimitata.

ESEMPIO 2

Riprendiamo un esercizio che era annoverato tra gli “Esercizi da svolgere” e che andava

risolto antitrasformando, ma in questo caso le antitrasformate le utilizzeremo parzialmente;

′

.

invece della ha la

Si consideri: ′′ ()

+ () = 2()

′ (0)

(0) = 0 = 0

{ () = sin()

Trasformando con Laplace: 1 2

2

() + () = 2 ∙ → () =

2 2 2

(

+ 1 + 1)

Svolgendo precedentemente questo esercizio si era trovato che si avevano quattro radici

complesse doppie a due a due: = =

1 3

= = −

2 4

Dopodiché si dovevano calcolare quattro residui (due li si calcolano facilmente con il

metodo dei residui, gli altri due necessitano la costruzione del sistema), applicare le formule

di Eulero ecc…

Vediamo una strada alternativa, che non è detto che sia più agevole, ma potrebbe essere

preferibile (dipende da come ci si trova meglio).

Non scriviamo in maniera esplicita l’ingresso del sistema e quindi:

2

() + () = 2()

2

( + 1)() = 2()

() 2

= () = 2

(

() + 1)

Conosciamo già che: () = 2sin ()

Inoltre:

() = ∫ ()( − ) = ∫ 2 sin() sin( − ) = 2 ∫ sin() sin( − )

0 0 0

Svolgendo ulteriori calcoli si arriva a: 1 (sin()

() = − ())

2

() = sin () −1 1)

L’ingresso del sistema è una funzione limitata (compresa tra e

1

() ()

La risposta (o uscita) è non limitata dato che il termine diventa sempre più

2

grande al crescere di

()

Con l’operazione stiamo prendendo la funzione coseno che oscilla e la stiamo

moltiplicando per qualcosa che diventa sempre più grande, quindi le oscillazioni della

funzione coseno vengono amplificate linearmente.

Graficamente, questo secondo pezzo della funzione sarà: → ∞

Bisogna fare attenzione al fatto che la funzione non ha limite per perché oscilla

sempre ma, l’ampiezza di queste oscillazioni è sempre più grandi.

Si tratta di una funzione non regolare perché non ammette limite ma non è limitata.

Abbiamo dimostrato come anche questo sistema è instabile: ingresso limitato e risposta

illimitata.

Per provare che un sistema è instabile dobbiamo trovare, con un po' di fortuna o di

esperienza, un ingresso limitato che provochi un’uscita non limitata.

Per ciò che sappiamo fino ad ora (definizione di stabilità), per provare che un sistema è

stabile bisogna effettuare infinite prove: deve essere garantita un’uscita limitata per ogni

ingresso limitato.

Abbiamo bisogno di un criterio, di una condizione necessaria e sufficiente per la stabilità del

sistema (e tale condizione si baserà sul concetto di risposta all’impulso).

Ma prima di analizzare il criterio andiamo a fare una premessa riguardo la definizione di

Funzione Sommabile.

4.4-FUNZIONE SOMMABILE +

: ℝ → ℝ

Una Funzione Reale di Variabili Reali si dice Sommabile se l’integrale del valore

assoluto della funzione stessa fornisce una quantità finita:

+∞ |()|

∫ ≤

0

ESEMPIO: Funzione Scalino

Si tratta di una funzione che non è sommabile dato che l’integrale che bisogna calcolare

corrisponde all’area sottesa da un rettangolo di altezza 1 e base infinitamente grande e

quindi l’area vale infinito.

ESEMPIO: Funzione Seno sin () |sin ()|:

Osserviamo, in ordine, il grafico di e di noteremo come l’integrale della

funzione dia come risultato un’area infinita e quindi il seno non è una funzione sommabile:

ESEMPIO

Consideriamo la funzione: −

() = , ≥ 0

Integrando:

+∞ +∞ →∞

− − − − 0

| | [ ] ( )

∫ = ∫ = − = − lim − = −(0 − 1) = 1

=0 →∞

0 0

Anche graficamente:

Quindi la funzione presa in esame è sommabile e ciò sarà fondamentale per i concetti che

illustreremo sulla stabilità del sistema

ESEMPIO

Consideriamo la funzione: 1

() = +1 −

Tale funzione presenta un grafico molto simile a quello di ma vedremo come non sarà

sommabile:

∞ ∞

1 1 →∞

[ln(

∫ = ∫ = + 1)] = lim ln( + 1) − ln(1) = +∞

| | =0

+ 1 + 1 →∞

0 0

Questo perché il grafico di questa funzione, pur essendo molto simile a quello

dell’esponenziale visto poc’anzi, decresce molto lentamente, mentre quello

dell’esponenziale decresce più velocemente.

Di conseguenza sotto l’esponenziale si ha un’area finita, sotto questa funzione l’area è

infinitamente grande.

4.5-TEOREMA: CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE DI STABILITA’

Un Sistema Lineare è Esternamente Stabile se e solo se la sua Risposta Impulsiva è

sommabile.

Per provare che un sistema è stabile possiamo calcolare la risposta impulsiva e poi verificare

che sia sommabile e quindi che: +∞ |()|

∫ <

0

DIMOSTRAZIONE

SUFFICIENZA (Se la risposta è sommabile allora il sistema è stabile)

(∗)

Per ipotesi la risposta impulsiva è sommabile:

+∞ |()|

∫ <

0 ()

La tesi da dimostrare consiste nel fatto che qualunque sia l’ingresso limitato la risposta

è limitata.

Quindi: |()| |()|

∀ (): ≤ , ∀ ≥ 0 ≤ à

Allora sappiamo che possiamo calcolare la risposta attraverso l’integrale di convoluzione e

dopodichè facciamo il valore assoluto al primo e al secondo membro:

+∞ +∞ +∞

|()| |()( |()||(

= ()( − ) ≤ ∫ − )| = ∫ − )|

|∫ |

0 0 0

Dato che l’ingresso è limitato: ∞ ∞

|()| |()| |()|

≤ ∫ = ∫

0 0

(∗):

Poiché vale l’ipotesi |()| ≤ ∙

Si tratta di una quantità finita

NECESSARIETA’ (Se il sistema è stabile, allora la risposta impulsiva è sommabile oppure se la

risposta impulsiva non è sommabile allora il sistema non è stabile; esiste almeno un

ingresso limitato che provoca un’uscita illimitata)

Per ipotesi la risposta impulsiva non è sommabile e quindi:

∞ |()|

∫ = +∞

0

Dobbiamo trovare una funzione di ingresso limitata che faccia divergere l’uscita.

Consideriamo la Funzione Segno: 1 > 0

() = { −1 < 0

Si tratta di una funzione limitata.

Scegliamo come ingresso del nostro sistema la funzione limitata:

( − ) = (())

|()|

() = ∫ ()( − ) = ∫ () (()) = ∫

0 0 0

Da notare che: ||

() = → > 0 ℎ ∙ 1 = , < 0 ℎ (−1) = ||

Quindi: |()|

lim () = lim ∫ = +∞

→∞ →∞ 0

ESEMPIO 1

Abbiamo visto che il sistema che segue è instabile:

′′ ′

() ()

+ = 2()

′ (0)

(0) = 0 = 0

{ () = () () = ()

Vediamo come verificare l’instabilità senza utilizzare come ingresso

Con il Teorema appena visto si può verificare ciò con un semplice algoritmo composto dai

seguenti due passi:

()

1. Calcola ()

2. Verifica che sia sommabile

()

Per calcolare dall’equazione differenziale iniziale andiamo a calcolare la trasformata:

2

ℒ

′′ ′ 2

() ()

+ = 2() → () + () = 2() → () = ()

2

+

Individuiamo: 2

1 2

() = = +

( + 1) +1

Calcolando i residui si ottiene: = 2 = −2

1 2

():

Calcoliamo 2 2 −1

ℒ −

() = − → () = 2 − 2

+1

()

Procediamo con il passo 2 e verifichiamo se è sommabile.

Proviamo a disegnare il grafico della funzione disegnando step by step:

−

2

- Funzione −

−2

- Funzione −

2 − 2

- Funzione −

2 − 2

L’area sottesa alla curva è approssimabile ad un rettangolo con base

()

infinitamente grande e quindi non è sommabile.

Possiamo in alternativa calcolare esplicitamente l’integrale:

∞ ∞ ∞

− −

|2 |

∫ () = ∫ − 2 = 2 ∫ 1 − = ⋯ = ∞

0 0 0

()

Segue che non è sommabile e quindi il sistema non è stabile.

ESEMPIO 2

Abbiamo già provato che il sistema che segue è instabile utilizzando come ingresso limitato

() = sin () e ottenendo una risposta/uscita non limitata.

Ora consideriamo: ′′ ()

+ () = 2()

{ ′ (0)

(0) = 0, = 0

()…

Come prima ricaviamo 2

ℒ

′′ 2

()

+ () = 2() → () + () = 2() → () = ()

2

+ 1

Allora: 2

() = → () = 2sin ()

2

+ 1

()

Verifichiamo ora che sia sommabile, ma abbiamo già visto che le funzioni sinusoidale

|sin ()|

non sono sommabili; l’area sottesa a è infinita.

ESEMPIO 3

Verifichiamo la stabilità del seguente sistema:

′′ ′

() ()

+ 5 + 6() = 7()

{ ′ (0)

(0) = 0, = 0

Come al solito: 7

ℒ

′′ ′

() ()

+ 5 + 6() = 7() → () = ()

2

+ 5 + 6

Quindi: 7 −1 [()]

() = → () = ℒ

2

+ 5 + 6

()

Calcoleremo con l’espansione in fratti semplici, iniziando a ricavare i poli:

2

+ 5 + 6 = 0 → = −2, = −3

1 2

7

1 2

= +

2

+ 5 + 6 + 2 + 3

Per capire se la funzione di risposta impulsiva è sommabile o meno, non serve a nulla

calcolare e , serve solo sapere che non siano pari a 0 (e si garantisce che non sono 0)

1 2

Quindi: 1 1

−1 −1 −1 −2 −3

[()]

() = ℒ = ℒ + ℒ = + , ≥ 0

[ ] [ ]

1 2 1 2

+2 +3

()

Ora vediamo se è sommabile:

∞ ∞ ∞

−2 −3 −2 −3

|()| | | | | | |

∫ = ∫ + ≤ ∫ + =

1 2 1 2

0 0 0

∞ ∞

−2 −3

| | | | | | | |