Conduzione del calore in regime stazionario

Ipotizzando che nell'Eq. 5.1 lo spessore della parete tenda a zero (ovvero applicando l'equazione ad uno

spessore infinitesimo di parete) e conservando le ipotesi di flusso stazionario e monodimensionale, si

giunge alla forma differenziale della stessa equazione, nota come postulato di Fourier per la

conduzione:

Nell'equazione 5.4 dT/dx rappresenta il gradiente termico, ovvero la pendenza della curva di temperatura

su un diagramma T-x, parametro assai importante dal momento che, a parità di λ ed A, la potenza termica

trasmessa è ad esso proporzionale. Poichè il calore si trasmette spontaneamente nel verso delle

temperature decrescenti nella Eq. 2.4 si pone il segno negativo in modo da rendere positiva la potenza

termica trasmessa nel verso positivo di x.

E' agevole dimostrare come applicando l'Eq. 5.4 ad una parete piana di spessore L, area A, soggetta una

differenza di temperatura T1 - T2 è possibile ottenere nuovamente l'Eq. 2.1.

Esempio 5.1

Calcolare la potenza termica che attraversa una superficie vetrata dello spessore di 8 mm avente

dimensioni di 1.2x2.0 m nell'ipotesi che le due facce si trovino rispettivamente alla temperatura di 15°C e

5°C. Si assuma λ = 0.78 W/m°C

Impiegando l'Eq. 5.5 ed esprimendo tutte le grandezze con le giuste unità di misura, si ottiene:

La conduzione nelle pareti multiple

Nel caso in cui la conduzione di calore avvenga attraverso una parete composta da due o più strati

omogenei è possibile scrivere per ciascuno strato l'equazione 5.5, ottenendo:

poichè, d'altra parte, in condizioni stazionarie la potenza termica che attraversa ciascuno strato deve

essere la stessa (poichè non sono ammissibili accumuli o sottrazioni) e tale quantità deve coincidere con

la potenza che complessivamente attraversa la parete, è possibile scrivere:

A tal punto è possibile introdurre (in analogia con la resistenza elettrica), il concetto di resistenza

termica, inteso come il rapporto fra lo spessore della parete i-esima e il corrispondente prodotto fra λi ed

A:

In tal modo sostituendo nell'Eq. 5.5, dall'uguaglianza delle potenze termiche trasmesse deriva:

e tenendo conto che in una uguaglianza di rapporti è possibile sommare fra loro i numeratori e i

denominatori senza modificare il rapporto stesso si ottiene, sommando i primi due termini

, ovvero

Ciò può essere verificato anche graficamente riportando le resistenze termiche sull'asse delle x e la

temperatura su quello delle y. Osservando che il rapporto ΔT/R rimane costante in ciascuno strato è

possibile dedurre che esso sarà anche uguale al rapporto fra (T1-T2) e la resistenza totale ottenuta come

somma delle resistenze i-esime.

Dal grafico R-T, ovvero dall'Eq. 5.7, è altresì possibile determinare la temperatura Ti nello strato

intermedio, solitamente incognita dal momento che ciò che è noto sono le temperature delle facce più

esterne. E' possibile quindi scrivere:

ovviamente generalizzabile nel caso di pareti multistrato.

La variazione fra temperatura massima T1 e la temperatura Ti in un punto è proporzionale alla differenza

di temperatura totale (T1 - T2) mediante il rapporto fra le resistenze termiche attraversate dal flusso

termico fino a quel punto, e la resistenza termica totale. Più elevata sarà la resistenza termica

attraversata, maggiore sarà il salto termico osservato. Pertanto la distribuzione di temperatura in funzione

della distanza dalla parete (fig. a sinistra) non seguirà un andamento uniforme, ma mostrerà salti termici

più elevati negli strati con maggiore resistenza termica (indipendentemente dal loro spessore).

Esempio 5.2

Ripetere il calcolo dell'esempio precedente nell'ipotesi che il serramento sia costituito da due cristalli di

spessore 4 mm di uguali caratteristiche (λ ) separati da una intercapedine d'aria (λ

= 0.78 W/m°C =

) dello spessore di 10 mm.

0.026 W/m°C

Per risolvere l'esercizio è necessario procedere al calcolo delle resistenze termiche relative a ciascuno

strato. Chiamando 1 e 3 gli strati vetrati e 2 lo strato di aria si ha:

Da cui si evince che il contributo dei vetri alla resistenza termica totale è sostanzialmente trascurabile

rispetto al contributo, ben più significativo, dello strato di aria. La potenza termica trasmessa può quindi

essere calcolata con l'Eq. 5.7: