Conduzione - Fisica tecnica

2.3-EQUAZIONE GENERALE DELLA CONDUZIONE DEL CALORE IN GEOMETRIA PIANA

Immaginiamo di avere un cubetto elementare di lati e

, :

Applicando il Primo Principio della Termodinamica scriveremo che la potenza in ingresso più la potenza

eventualmente generata (se ci fosse una sorgente all’interno del cubetto) sarà uguale alla potenza in uscita più la

potenza accumulata all’interno del cubetto.

Applichiamo questa relazione solamente lungo la direzione

̇ + ̇ = ̇ + ̇ (1)

 La potenza in ingresso entra dalla faccia colorata in verde.

Quindi, applicando il Postulato di Fourier:

̇ = − ∙ ∙ = − ∙ ∙

 La potenza generata (che è una potenza che ha origine all’interno del sistema) la possiamo scrivere come

una potenza per unità di volume per il volume elementare

(̇ ) =

̇ = ̇ ∙

 La potenza in uscita esce dalla faccia colorata in arancione.

Quindi, applicando il Postulato di Fourier, considerando che la faccia in arancione si trova spostata di + :

̇ = − ∙ ∙ = − ∙ ∙

 La potenza accumulata è il prodotto di una massa per un calore specifico per la derivata della temperatura

rispetto al tempo:

̇ =∙∙ = ∙ ∙ ∙

Andiamo a sostituire nella e svolgiamo alcuni passaggi algebrici:

(1)

− ∙ ∙ + ̇ ∙ = − ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙

Abbiamo ottenuto l’Equazione della conduzione solamente lungo ma il cubetto ha anche le altre due direzioni e

,

per cui potremmo avere gradienti di temperatura non solo sulle due facce opposte nella direzione ma anche

,

sulle due facce opposte relativamente alle altre due direzioni.

Andiamo a lavorare tramite sviluppo in serie di Taylor la derivata:

= +

− ∙ ∙ = − ∙ ∙ +

Quindi:

− ∙ ∙ + ̇ ∙ = − ∙ ∙ − ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙

Dividendo per e spostando alcuni termini otteniamo l’Equazione Generale della Conduzione lungo la

coordinata :

∙ + ̇ = ∙ ∙

Se proiettiamo l’equazione anche lungo e lungo

:

∙ + + + ̇ = ∙ ∙

Definendo l’Operatore Laplaciano quadrato:

+ + =

Per cui:

∙ + ̇ = ∙ ∙

Dividendo per :

̇ ∙

+ = ∙

̇ 1

+ = ∙

Dove si definisce la Diffusività Termica:

=

Questa grandezza descrive la velocità con cui il calore si diffonde in un materiale. Più precisamente è la quantità di

calore che viene trasmessa attraverso una superficie unitaria di un materiale per unità di tempo, quando esiste una

differenza di temperatura tra le due estremità del materiale. In sostanza, se un materiale ha una diffusività termica

alta, il calore si diffonde rapidamente attraverso di esso, mentre se ha una diffusività termica bassa, il calore si

diffonde lentamente. Da notare che la capacità termica si trova al denominatore e intuire le relazioni con la

diffusività.

Abbiamo ricavato l’Equazione Generale della Conduzione:

̇ 1

+ = ∙

Questa equazione ha tre casi particolari che riportano a tre equazioni note:

1. Se ci troviamo in condizioni stazionarie la derivata della temperatura rispetto al tempo è nulla e quindi:

Si ottiene l’Equazione di Poisson:

̇

+ =0

2. Se non si ha generazione interna di potenza si ottiene l’Equazione di Fourier:

1

= ∙

3. Se il Laplaciano di è nullo si ottiene l’Equazione di Laplace:

̇ 1

= ∙

Ciò che cerchiamo dall’Equazione Generale della Conduzione, che è un’equazione differenziale, è una funzione dello

spazio e del tempo e cioè di e

, , : = (, , , )

APPLICAZIONE ALLA GEOMETRIA PIANA (Conduzione Monodimensionale Stazionaria senza generazione interna di

calore)

Vediamo un’applicazione ad una parete di un edificio.

Consideriamo una parete di spessore fatta tutta dello stesso materiale (quindi avrà un certo valore di conducibilità

termica la temperatura su una faccia è e sull’altra faccia è .

),

La consideriamo in una sola dimensione, quindi fissiamo un riferimento che parte dallo 0 e procede con la coordinata

.

Cerchiamo di capire come interpretiamo in modo unidimensionale una parete tridimensionale con un esempio: se

prendiamo un libro, ogni pagina del libro fa parte dello spessore di quest’ultimo; immaginando che ogni pagina sia

isoterma (cioè abbia la stessa temperatura sulla pagina) le due dimensioni e non sono rilevanti perché non si ha

differenza di temperatura. L’unica differenza di temperatura che si può trovare è lungo lo spessore della parete.

0

Applicando l’equazione della conduzione nella sua interezza:

̇ 1

+ = ∙

Consideriamo alcune ipotesi semplificative:

 Siamo in condizioni stazionarie

 Non c’è generazione interna di potenza (non c’è nulla che genera potenza all’interno della parete)

 Stiamo considerando una sola direzione

+ + =0

=0

Vogliamo ottenere il profilo di temperatura tra il punto 1 e 2: non sappiamo se questo è lineare, quadratico o che

andamento ha.

Dato che abbiamo un’equazione differenziale del secondo ordine ad una sola variabile, serviranno due condizioni al

contorno per la sua risoluzione e ce le abbiamo:

 Per = 0 → ( = 0) = 0 =

 Per (sullo spessore)

= → ( = ) =

Allora, integrando una prima volta: =

Integrando una seconda volta: () = +

Applicando

 La prima condizione al contorno: =

 La seconda condizione al contorno: = +

Quindi: −

=

Il profilo di temperatura sarà: −

() = +

Ed è un profilo del tipo (retta)

= +

Quindi all’interno di una parete il profilo di temperatura è lineare e la pendenza di questa retta è data da

Allora calcoliamo la potenza che attraversa la parete con il Postulato di Fourier:

− −

= − ∙ ∙ = − ∙ ∙ =

− −

= =

Definiamo la Resistenza Termica della parete:

= =

La parete è quindi in grado di trasferire più o meno calore a seconda di quanto questa resistenza è grande.

Quindi se consideriamo una parete con una superficie laterale molto grande, più è grande la superficie di scambio e

minore è la resistenza che oppone al passaggio del calore, mentre più è grande lo spessore della parete e maggiore è

la resistenza che la parete oppone al trasferimento di calore.

Più è grande la conducibilità e minore è la resistenza termica.

Se vogliamo una parete isolante o costruiamo uno spessore maggiore (a parità di materiale) o, volendo contenere lo

spessore, dobbiamo ridurre la conducibilità termica (e cioè dobbiamo usare un materiale poco conduttivo)

2.4-ANALOGIA ELETTRICA

Si parla di analogia elettrica perché vogliamo paragonare il trasferimento del calore con il passaggio di corrente

elettrica.

Consideriamo una parete con un suo spessore che la dimensione che terremo in conto prevalentemente (e

fissiamo un riferimento da a

0 ).

Alla parete associamo una resistenza elettrica e ai capi di questa resistenza immaginiamo vi sia una differenza di

potenziale e passerà corrente nel resistore in questione.

∆ >

Per la Legge di Ohm macroscopica: ∆

=

L’analogia elettrica (che consente di risolvere i problemi dello scambio termico più celermente) consiste nel rendere

proporzionale la alla corrente rendere proporzionale il alla differenza di temperatura e la resistenza

, ∆ ∆

elettrica alla resistenza conduttiva.

Per tale motivo assoceremo a questa parete un circuito elettrico che sarà tale da avere al posto del il al

∆ ∆,

posto della resistenza elettrica useremo una resistenza conduttiva e anziché calcolare il valore della corrente che

attraversa il resistore, andremo a determinare il valore della potenza termica che attraversa il resistore.

Andiamo a considerare questa volta una parete piana multistrato con temperature uniformi assegnate sulle due

superfici esterne, cioè un sistema costituito da un insieme di piastre infinite di diversi spessori e conduttività con

superfici a contatto perfetto tra di esse.

Paragoniamo il sistema multistrato ad un gruppo di resistenze elettriche in serie attraversate da corrente elettrica

costante.

→ ′

→ ′

Nel caso in esame sono note le temperature superficiali (uniformi) delle due facce esterne della parete multistrato e