Compendio di appunti di Fisica

FORZE DI ATTRITO

Quando un corpo è in movimento, in effetti, compaiono sempre delle forze che si oppongono al

moto, le cosiddette forze di attrito.

Se si sposta un corpo come in figura, su di esso agiscono le forze rappresentate.

Nell’immagine in questione si deve applicare una certa forza prima che il

statico

bidone si metta in moto (attrito f ). Mentre per mantenere il bidone in

s dinamico

moto è sufficiente una forza minore (attrito f ).

d

Inoltre, la forza da applicare per vincere queste forze di attrito dipende anche

dalla massa del bidone. Le forza di attrito si oppongono al moto e sono quindi

dirette nel verso opposto al moto.

Si ha

Le quantità µ e µ sono adimensionali e rappresentano rispettivamente i coefficienti di attrito

s d

statico dinamico

e attrito

In tabella sono descritti alcuni coefficienti di attrito

È opportuno notare che le forze di attrito sono sempre perpendicolari alle forze che le

generano, ad esempio, premendo con una forza F un blocco di massa m contro un

muro, si hanno le forze rappresentate. La forza di attrito è dovuta alla forza F applicata

e non alla forza peso del corpo, ed è perpendicolare ad essa.

Ma, affinché il corpo non scivoli, è necessario che >

f mg

s

I coefficienti di attrito statico e dinamico possono essere misurati con il

dispositivo della figura. Sul blocco agiscono la forza di gravità mg, la forza

normale n e la forza di attrito statico f.

Si può scrivere quindi:

Aumentando l’inclinazione del piano inclinato (e di conseguenza aumentando l’angolo si arriva

θ)

all’angolo critico in cui il blocco inizia a scivolare, punto in cui la forza di attrito statico raggiunge

θ

c

il suo valore massimo µ n e le precedenti espressioni diventano:

s

Cioè il valore di µ è pari alla tangente dell’angolo a cui il blocco inizia a scivolare. Ovviamente il

s

valore dipende dal materiale del blocco, da quello del piano inclinato e dalla lavorazione delle

superfici.

Quando il blocco inizia a scivolare, il modulo della forza di attrito dinamico è pari a µ n. Il corpo

d

scivola accelerando. Se si riduce l’angolo si trova per quale valore il corpo scivola con velocità

θ, θ’

costante, per il quale vale quindi radente,

Le forze di attrito trattate fino ad ora sono di tipo ma nei moti reali possono entrare in

volvente f

gioco anche forze di attrito (o di rotolamento) che viene generalmente indicato con .

r

Quando un corpo si muove in un mezzo, oltre alle forze di attrito tra le superfici esistono anche

forze di attrito R tra il corpo ed il mezzo (forze di resistenza). Tali forze dipendono dalla velocità

relativa tra il corpo ed il mezzo.

In genere sono complicate e si studiano alcuni casi particolari: forze di attrito

à 2

proporzionali alla velocità v e proporzionali a v .

Per basse velocità si può dire che

In cui il simbolo indica proporzionalità e b è una costante che dipende dal mezzo, dall’oggetto e

∝

dalla forma e dimensioni dell’oggetto.

Ad esempio, per una sfera di massa m che cade in un liquido (come nell’immagine),

si ha che

Che, matematicamente, è un’equazione differenziale in v con andamento v (t)

L’accelerazione della sfera m aumenta fino a quando la sua velocità è tale che la forza viscosa è

pari alla forza di gravità e quindi a = dv/dt = 0 e poi il corpo si muove di moto rettilineo uniforme

con una velocità limite v , data da

l

Più in generale si trova che la soluzione dell’equazione differenziale precedente è data da

In cui b è una costante che dipende dal mezzo, dall’oggetto e dalla forma e dimensioni dell’oggetto.

In altri casi, ad esempio per oggetti grossi che si muovono in aria come un aereo, o un’automobile

etc, la forza di attrito è proporzionale al quadrato di v:

densità A l’area

in cui è la dell’aria, della sezione dell’oggetto misurata in un piano perpendicolare

ρ D costante

al moto e una che dipende dalla forma del mezzo, adimensionale e determinata

coefficiente di resistenza

empiricamente, chiamata

Ad esempio, per una sfera che cade in aria, si ha che:

Che, anche in questo caso, matematicamente è un’equazione differenziale e la velocità limite, che

a = dv/dt 0,

si ottiene con = si ha per LAVORO

Data una forza costante F, si definisce lavoro L svolto dalla forza F su un corpo la quantità

Il prodotto dei due vettori F e s è un prodotto scalare; quindi, il

lavoro è una quantità scalare. Se la forza e lo spostamento s = x

sono paralleli si può scrivere semplicemente

Altrimenti, se si forma un angolo tra F e x, la forza è data da

Chiaramente, se la forza e lo spostamento sono ortogonali (90°)

Analogamente, se un corpo viene trascinato su un piano orizzontale,

la forza di gravità mg, e la forza normale n, che sono ortogonali allo

spostamento, non compiono lavoro.

Affinché ci sia lavoro, ci deve essere spostamento. Quindi ad

esempio reggere un corpo non comporta alcun lavoro, anche se si

applica una forza per sostenerlo

Nel sistema internazionale SI, il lavoro si misura in joule (J) 1 J = 1 N x 1 m

à

Dalla definizione si vede inoltre che il lavoro può essere sia positivo che negativo:

se i versi di F e r sono lavoro

concordi positivo,

Þ se sono il lavoro è

discordi negativo

Þ

O in altri termini, se

Se più forze agiscono su un corpo, il lavoro totale sarà pari alla somma del lavoro fatto dalle

singole forze.

Ad esempio, per uno spostamento lungo x si ha:

∆x

Se su un corpo agisce una forza costante F, dalla definizione data si

vede che il lavoro è rappresentato dall’area del grafico forza-

spostamento, tra i due punti dello spostamento x e x

∆x 1 2

Se la che compie il lavoro allora l’espressione

forza non è costante,

del lavoro si complica.

Se la forza F che agisce su un corpo essa varia come in figura, ed il

lungo x, il lavoro è ancora

moto è rettilineo

rappresentata dall’area del grafico forza –

spostamento, che può essere determinata tenendo conto di tanti

spostamenti molto piccoli e sommando tutti i contributi:

∆xi

Dunque, esistono forze non costanti?

Un esempio di forza è la

non costante

FORZA ELASTICA

La forza elastica è una forza che si esercita fra due punti ed è

direttamente proporzionale alla loro distanza. In particolare, si è

soliti fare riferimento alla forza esercitata da una molla ideale

rispetto alla posizione di riposo.

Solitamente si immagina la molla che si allunga verso destra,

pertanto si avrà:

Questa relazione può anche essere espressa mediante gli integrali,

ove il lavoro fatto per allungare la molla in uno spostamento x è

dato da:

Integrando risulterà

e se e si può trovare il fatto per

x = 0 x = x lavoro allungare la molla di un tratto x:

i f

Si poteva trovare lo stesso risultato considerando che la forza

è come rappresentato in figura e quindi l’area nel grafico forza

– spostamento, che, come visto, precedentemente

rappresenta il lavoro, può essere calcolata semplicemente:

ENERGIA CINETICA

Teorema dell’energia cinetica

È complicato dare una definizione esaustiva di energia, pertanto la maniera più chiara per

descriverla, in meccanica, è affermando che

l’energia è la capacità a compiere un lavoro

Per spiegare cosa sia l’energia, si può fare riferimento ad un corpo dotato di massa m che

si muove di moto rettilineo con velocità iniziale v , al quale viene applicata una forza F che

i

lo fa muovere per un tratto e che ne accelera la velocità, che diventerà v .

∆x f

Sapendo che la Forza è data dal prodotto della massa per l’accelerazione e conoscendo

la formula per l’accelerazione nel moto rettilineo uniformemente accelerato, si può

riscrivere anche così: Ricavando la formula dell’accelerazione

e riscrivendola in quella del lavoro, ne deriverà

Semplificando rimarrà 2

Ciò che si evince, dunque, è che il dipende da quella quantità composta da ,

lavoro m v

½

tale quantità prende il nome di energia cinetica.

(traslazionale, cioè valida per i moti traslazionali nelle 3 dimensioni)

L’energia cinetica

viene definita come

Il è, quindi, dato dalla

lavoro variazione dell’energia cinetica à

Nonché ciò che il (o delle forze vive) enuncia

Teorema dell’energia cinetica

Il lavoro totale compiuto su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica.

Nota: talvolta al posto della lettera T si utilizza K per indicare l’energia cinetica (kinetic

energy.)

Un qualsiasi corpo in moto ha quindi un’energia cinetica, poiché è una proprietà di un corpo

che che si muove. è una quantità

L’energia cinetica scalare.

Per arrivare ad una più corretta definizione di energia cinetica, bisognerebbe partire dalla

“vera” formula del lavoro

Allora, si dovrebbe dire che il lavoro è (poiché la

l’integrale della forza per lo spostamento

forza deve essere variabile e, in questo modo, lo si può dimostrare)

Risulta chiaramente che si misura in (J) e che dimensionalmente

l’energia cinetica Joule

-1

equivale a [MLT ], cioè uguale al ogni forma di energia si misura in Joule

lavoro à

Esempi pratici: LAVORO E ATTRITO

Valutiamo l’effetto dell’attrito con un esempio concreto:

Un blocco di 6 kg, inizialmente fermo, è tirato verso destra da una

forza costante orizzontale di modulo su una superficie

F = 12.0 N

scabra. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e superficie è

0.150.

Trovare la velocità del blocco dopo uno spostamento = 3.00 m.

∆x

Quali sono le forze che agiscono sul corpo?

Lungo y forza peso (mg) e n che si annullano

à

Lungo x F (che essendo contraria allo spostamento ha segno -) e F

à d

Ricordando che il lavoro fatto su un corpo se su di esso agiscono più forze è pari alla somma

e tenendo conto dei segni, il teorema dell’energia

del lavoro fatto da ogni singola forza

cinetica in questo caso si può scrivere come:

(le forze hanno segno opposto perché una è rivolta verso sx e l’altra verso dx)

Da qui ne deriva

Ma, siccome i