Cinematica del punto materiale e moti

CINEMATICA UNIDIMENSIONALE

Lo scopo della cinematica è dunque quello di quantificare il moto. Per farlo

consideriamo il caso unidimensionale, nel quale il moto si svolge lungo una sola

direzione. Difatti una particella si muove solamente su una linea retta, lungo l’asse

x. Può variare la velocità e invertire il senso di marcia, ma il moto si svolge sempre e

comunque su quella retta.

Si considera solo la coordinata x e la sua componente

La prima caratteristica da descrivere del moto, in questo caso unidimensionale è

la velocità, o per meglio dire la velocità media nell’intervallo di tempo

La velocità media è

una funzione di

due parametri

la velocità media di una particella durante un certo intervallo di tempo dipende

solamente dalla sua posizione all'inizio e alla fine dell'intervallo; non dipende da

eventuali accelerazioni che essa abbia eventualmente subito durante l'intervallo, né

da eventuali variazioni di percorso o inversioni di marcia.

Esempio

La velocità media serve come stima della velocità vera e propria, ossia quella nel

limite in cui tende a diventare 0, quindi il più piccolo possibile. Si definisce

così la velocità istantanea Base del calcolo differenziale, si

occupa di trovare le derivate e il loro

Il limite di questo opposto gli integrali

rapporto è detto derivata

prima di

Difatti la velocità è la derivata

Notazione della derivata prima Derivate:

Indicano quanto cambia rapidamente la funzione

da punto a punto. La derivata è il coefficiente

angolare della retta tangente alla funzione in

Notazione Notazione

di Newton quel punto

di Leibniz

Esempio Argomento delle

derivate non deve

avere dimensioni

Per definire e descrivere il moto, non basta la velocità. Serve conoscere anche la

derivata seconda della posizione, ossia l’accelerazione. Si definisce pertanto

l’accelerazione media:

Così come con la velocità, esiste l’accelerazione istantanea:

Ad ogni tempo possiamo quindi associare una velocità e un’accelerazione

Notazione della derivata seconda

Ricapitolando

Posizione Derivate prima e

seconda del moto

Finora abbiamo ragionato in modo lineare a partire dalla posizione, passando

per la velocità sino ad arrivare all’accelerazione, utilizzando le derivate

Tuttavia il problema fondamentale nel moto, soprattutto considerando la

caduta dei gravi, è tornare indietro dalla dinamica (che produce accelerazione)

sino ad arrivare al moto iniziale. Quindi partire dall’accelerazione

Consideriamo di aver trovato la funzione a(t) dalla dinamica. La velocità

può essere scritta come la funzione inversa della derivata: l’integrale

Velocità iniziale che coincide con una costante arbitraria per cui essa

tenderà a portare la derivata dell’accelerazione a 0

Dalla velocità si passa poi all’integrale del moto

Indica derivata

Integrale definito: Posizione iniziale

funzione limitata

tra l’istante 0 e un

certo tempo t

Casi particolari

MOTO UNIFORME

Per definizione il moto uniforme ha un’accelerazione nulla e una velocità costante,

che coincide con la velocità iniziale. La rappresentazione grafica è una retta sul

piano.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Per definizione l’accelerazione è costante. Graficamente è una parabola

Simbolo chiusura integrale Dati iniziali

COSA SUCCEDE INVECE IN UN SISTEMA TRIDIMENSIONALE EUCLIDEO

LA VELOCITà VETTORIALE Vettore differenza, ossia la diagonale secondaria del

parallelogramma

Mi dà informazioni sulla velocità del moto e della traiettoria

Vettore velocità media Velocità istantanea vettoriale

Ha la stessa direzione di

Nota: Il vettore incremento si avvicina alla curva.

Il limite del rapporto precedente sarà il vettore

tangente alla curva. Il vettore velocità istantanea è

la tacente alla curva in quel punto

VELOCITà ISTANTANEA IN COMPONENTI

Vx media Vz media

Vy media

Incremento

in componenti 3 velocità istantanee dei tre assi

Il vettore velocità ha per componenti

le tre derivate delle velocità, lungo i

tre assi

Nota: In generale

In componenti

Derivate del vettore

v lungo gli assi

ACCELERAZIONE VETTORIALE IN COMPONENTI

Incremento della velocità

Accelerazione media vettoriale Accelerazione istantanea vettoriale

Le componenti

dell’accelerazione

sono le derivate

della velocità

Com’è fatto il vettore accelerazione? Dove si trova? Prima di poterlo dire, definiamo il

versore velocità Il versore in questo caso non è costante poichè contiene il modulo e di

conseguenza dipende dal tempo. Segue il moto

Il modulo

dipende dal

tempo

Per la regola del prodotto della derivata: La derivata di un versore è invece una particolare

derivata poichè ha modulo costante. Pertanto al

fine di risolverla considero la derivata di un

generico vettore di modulo costante c

Formula dell’accelerazione

tangenziale

Derivata del modulo