Cinematica del punto materiale

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

La cinematica è lo studio del moto senza considerarne le cause o il perché. Il moto di una particella si descrive mediante vettori che individuano la sua posizione, velocità e accelerazione. Consideriamo un sistema di riferimento levogiro e un punto materiale P di coordinate x, y, z che si può muovere di qualsiasi moto. Si definisce vettore posizione, quel vettore che esce dall'origine e individua il punto P. Questa relazione rappresenta la legge oraria di un punto materiale, la quale afferma che ad un certo orario il punto materiale si trova in una certa posizione. Per descrivere il moto bisogna introdurre anche una nuova grandezza fisica: il vettore spostamento, la variazione di posizione intervenuta nel tempo newtoniano. Difatti secondo newton nell'intervallo di tempo considerato il tempo è lo stesso in ogni punto dello spazio, si definisce perciò tempo universale. L'Unità di misura è il.secondo. Pertanto si considerano i vettori in funzione del tempo. Esempio: Ricorda: z viene verso di noi, quindi non appare rappresentato nel piano. Focus sul vettore spostamento. Supponiamo che all'istante gt la particella si trovi nella posizione individuata dal vettore r, e si muova poi lungo il suo percorso fino a raggiungere nell'istante i la posizione individuata da r2. Definiamo il vettore spostamento Ar come la variazione di posizione intervenuta nell'intervallo di tempo considerato. CINEMATICA UNIDIMENSIONALE Lo scopo della cinematica è dunque quello di quantificare il moto. Per farlo consideriamo il caso unidimensionale, nel quale il moto si svolge lungo una sola direzione. Difatti, una particella si muove solamente su una linea retta, lungo l'asse x. Può variare la velocità e invertire il senso di marcia, ma il moto si svolge sempre e comunque su quella retta. Si considera solo la coordinata x e la sua componente. La prima caratteristica da descrivere del moto, inquesto caso unidimensionale è la velocità, o per meglio dire la velocità media nell'intervallo di tempo. La velocità media è una funzione di due parametri. La velocità media di una particella durante un certo intervallo di tempo dipende solamente dalla sua posizione all'inizio e alla fine dell'intervallo; non dipende da eventuali accelerazioni che essa abbia eventualmente subito durante l'intervallo, né da eventuali variazioni di percorso o inversioni di marcia. Esempio: La velocità media serve come stima della velocità vera e propria, ossia quella nel limite in cui tende a diventare 0, quindi il più piccolo possibile. Si definisce così la velocità istantanea. Base del calcolo differenziale, si occupa di trovare le derivate e il loro limite. Il rapporto è detto derivata prima di. Difatti la velocità è la derivata prima della posizione. Notazione della velocità media:

derivata prima Derivate:Indicano quanto cambia rapidamente la funzione da punto a punto. La derivata è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in Notazione Notazione di Newton quel punto di Leibniz Esempio Argomento delle derivate non deve avere dimensioni

Per definire e descrivere il moto, non basta la velocità. Serve conoscere anche la derivata seconda della posizione, ossia l'accelerazione. Si definisce pertanto l'accelerazione media:

Così come con la velocità, esiste l'accelerazione istantanea:

Ad ogni tempo possiamo quindi associare una velocità e un'accelerazione Notazione della derivata seconda

Ricapitolando Posizione Derivate prima e seconda del moto Finora abbiamo ragionato in modo lineare a partire dalla posizione, passando per la velocità sino ad arrivare all'accelerazione, utilizzando le derivate Tuttavia il problema fondamentale nel moto, soprattutto considerando la caduta dei gravi, è tornare

indietro dalla dinamica (che produce accelerazione) sino ad arrivare al moto iniziale. Quindi partire dall’accelerazione

Consideriamo di aver trovato la funzione a(t) dalla dinamica. La velocità può essere scritta come la funzione inversa della derivata: l’integrale

Velocità iniziale che coincide con una costante arbitraria per cui essa tenderà a portare la derivata dell’accelerazione a 0

Dalla velocità si passa poi all’integrale del moto

Indica derivata

Integrale definito: Posizione iniziale funzione limitata tra l’istante 0 e un certo tempo t

Casi particolari

MOTO UNIFORME

Per definizione il moto uniforme ha un’accelerazione nulla e una velocità costante, che coincide con la velocità iniziale. La rappresentazione grafica è una retta sul piano.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Per definizione l’accelerazione è costante. Graficamente è una parabola

Simbolo chiusura integrale Dati iniziali

COSA

SUCCEDE INVECE IN UN SISTEMA TRIDIMENSIONALE EUCLIDEO

LA VELOCITà VETTORIALE

Vettore differenza, ossia la diagonale secondaria del parallelogramma

Mi dà informazioni sulla velocità del moto e della traiettoria

Vettore velocità media

Velocità istantanea vettoriale

Ha la stessa direzione di

Nota: Il vettore incremento si avvicina alla curva.

Il limite del rapporto precedente sarà il vettore tangente alla curva. Il vettore velocità istantanea è la tangente alla curva in quel punto

VELOCITà ISTANTANEA IN COMPONENTI

Vx media Vz media Vy media

Incremento in componenti 3 velocità istantanee dei tre assi

Il vettore velocità ha per componenti le tre derivate delle velocità, lungo i tre assi

Nota: In generale

In componenti

Derivate del vettore v lungo gli assi