Cinematica dei sistemi rigidi

Cinematica Dei Sistemi Rigidi

Coordinate Lagrangiane e Grado Di Libertà (Cenni)

Il punto nel piano può essere individuato univocamente attraverso le proprie componenti cartesiane, per tanto le componenti cartesiane vengono dette coordinate lagrangiane mentre il grado di libertà del punto materiale è 2.

Se ad esempio consideriamo un punto nello spazio le componenti (x,y,z) costituiscono una terna di coordinate lagrangiane e diciamo che il grado di libertà del punto è 3.

Definizione: Si intendono per coordinate lagrangiane i parametri indipendenti tra di loro capaci di descrivere univocamente il moto del sistema.

Si intende per grado di libertà il numero delle coordinate lagrangiane.

Osservazione

Considerato un punto nel piano sappiamo che le coordinate cartesiane sono in corrispondenza biunivoca con le coordinate polari, infatti le coordinate lagrangiane possono essere espresse mediante più rappresentazioni quindi non sono univoce.

Esempio: Sia γ una curva e P un punto che si muove su di essa.

SE grado di libertà è pari ad 1 dato l possiamo individuare la posizione di P possiamo servirci dell'ascissa curvilinea.

Moti Rigidi

Configurazione

Si intende per configurazione la regione dello spazio occupata dal corpo in un certo istante. La configurazione relativa all'istante iniziale è detta configurazione di riferimento e generalmente si identifica con C_t₀, inoltre quella relativa al generico istante t è detta configurazione iniziale C_t.

• Configurazione iniziale → C_t₀ → Riferita al tempo t₀
• Configurazione attuale → C_t → Riferita al tempo t

Spostamento Finito

Consideriamo una configurazione iniziale e un punto che nella configurazione iniziale occupi P e in quella attuale occupi P". La retta x = P" - P definisce lo SPOSTAMENTO FINITO del punto materiale.

Mollo lo spostamento di tutto il sistema C dalla configurazione iniziale alla configurazione attuale definisce l'insieme degli spostamenti di tutti i punti del sistema. (L'insieme degli spostamenti di tutti i punti.)

Definizione - Lo spostamento del sistema C si definisce rigido se si conservano le distanze di tutti i punti del sistema durante lo spostamento.

Durante lo spostamento le distanze devono rimanere inalterate.

(1) X(t) = X_o + A^T(t) y_c

Dalla (1) si evidenziano il numero dei parametri indipendenti mediante i quali si può determinare il moto del sistema. Per individuare tali parametri:

1. Posizione dell'origine della terna solidale rispetto alla terna solidale (x_o') si determina con tre parametri
2. Determinare i parametri indipendenti presenti nella matrice A.

   La matrice A presenta 9 parametri tuttavia essendo una matrice ortonormale deve soddisfare le 6 equazioni di ortonormalità, per tanto solo 3 parametri restano liberi. Possiamo quindi dire che la matrice dipende solo da 3 parametri indipendenti.

3. Ricordiamo che il vettore y_c è l'etichetta portante rimane costante nel tempo e quindi non crea problemi.

Possiamo quindi dire che il grado di libertà in un moto rigido libero nello spazio è 6.

Proprietà Caratteristica

• Moto rigido traslatorio ⟺ _ω = 0

Dimostrazione — Se il moto rigido è traslatorio vuol dire che i versori della terna solidale rimangono costanti durante tutto il moto